吉林省梅河口市第五中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

吉林省梅河口市第五中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

梅河口五中高三下学期模拟考试 数学（文科）‎ ‎1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) £ 0 } ，则 A Ç B 等于( ) A. {1} B. {1, 2} C. {0,1, 2, 3} D. {-1, 0,1, 2, 3}‎ ‎2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, -2) ， i 为虚数单位，则 z + 2 = ( )‎ z - 1‎ A. -1 - i B. 1+ i ‎3‎ C. 1 - i ‎2‎ D. 1 + 3 i ‎2‎ ‎3、命题"‎ ‎"x Î R, x 3 - x 2 + 1 £ 0 "的否定是( )‎ ‎4、已知向量 a = (4, -1), b = (-5, 2) ，且 (a + b) / /(ma - b) ，则实数 m = （ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. 7‎ ‎5‎ ‎D. - 7‎ ‎5‎ ‎2‎ ç ÷ ‎5、已知 a = 21.2 ， b = æ 1 ö è ø ‎‎ -0.8‎ ‎‎ ‎， c = 2 log5 2 ，则 a, b, c 的大小关系为( )‎ A. c < b < a B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a ‎6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹 日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a, b 分别为 8, 2 ， 则输出的 n = ( )‎ A.2 B‎.3 ‎C.4 D.5‎ ‎7、在△ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 A = 30°, b2 = ‎2ac ，则 b sin B = c ‎（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 1‎ ‎2‎ ‎‎ D. 3‎ ‎2‎ ‎8、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ，则sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的概率为 ‎4 4 2‎ ‎（ ）‎ A. 3‎ ‎4‎ D. 1‎ ‎3‎ ‎‎ B. 2‎ ‎3‎ ‎‎ C. 1‎ ‎2‎ ‎9、已知直线 y = kx(k ¹ 0) 与双曲线 x ‎2 y 2‎ - ‎‎ = 1(a > 0, b > 0) 交于 A, B 两点，以 AB 为直 a2 b2‎ 径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若△ABF 的面积为 ‎4a 2 ，则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 2 D. 5‎ ‎10、设函数 f ( x) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x Î D ，都有 f ( x + m) > f ( x) ，则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的 奇函数，且当 x > 0 时， f ( x) = ‎x - a - a （ a Î R ）．若 f ( x) 为 R 上的“20 型增函数”，‎ 则实数 a 的取值范围是（ ）‎ A． a > 0‎ ‎B． a < 5‎ ‎C． a < 10‎ ‎D． a < 20‎ ‎11、已知过球面上三点 A, B, C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 AC = BC = 6, AB = 4 ，则球面面积为( )‎ A. 42p B. 48p C. 54p D. 60p ‎12、已知直线 l : y = -2 x - m(m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2 - 2x - 2 y - 23 = 0 ，直线 l 与圆 C 相 交于不同两点 M , N .若| MN |£ 2 | CM + CN | ，则 m 的取值范围是（ ）‎ A. [ 5, 5) B. [2, 5 5 - 3)‎ ‎C. (5, 5 5 ) D.‎ ‎( 3, 2)‎ ‎13、设曲线 y = ax2 在点 (1, a) 处的切线与直线 x + 2 y - 6 = 0 垂直，则 a = .‎ ì x - 2 y £ 0‎ í ‎14、已知 x, y 满足约束条件 ï2 x + y - 4 £ 0 ，则 z = x + y 的最小值为 ．‎ î ï x ³ 1‎ ‎15、已知正数 x, y 满足 3x + 4 y = xy ，则 x + 3 y 的最小值为 .‎ ‎16、△ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a = b cos C + c sin B ，且 b = 2 ，‎ 则△ ABC 面积的最大值是 .‎ ‎17、已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 8，a3 + a8 = 2a5 + 2 ．‎ ‎(1)求 an ；‎ ‎(2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为T ，求证T < 3 .‎ S ‎4‎ n n n ‎18、如图，在三棱柱 ABC - A1 B1C1 ，侧棱垂直于底面， AB ^ BC, E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点.‎ ‎(1).求证：平面 ABE ^ 平面 B1 BCC1 ；‎ ‎(2).求证： C1 F / / 平面 ABE .‎ ‎19、如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ^ 平面 ABCD ，‎ AB / /CD, AB ^ BC, AB = BC = 4, CD = 2CE = 2 .‎ ‎（1）证明：平面 PAD ^ 平面 PDE ；‎ ‎（2）若△PAB 的面积为 2 21 ，求三棱锥 P - ADE 的体积.‎ ‎2‎ ‎20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x ‎y 2‎ + = 1 的左顶点为 A，右焦点为 F，P，‎ ‎4 3‎ Q 为椭圆 C 上两点，圆 O : x2 + y2 = r 2 (r > 0) .‎ ‎（1）若 PF ^ x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；‎ ‎（2）若圆 O 的半径为 2，点 P，Q 满足 k 值.‎ ‎21、设函数 f ( x ) = ln x - 1 ax 2 - bx .‎ ‎2‎ ‎‎ OP × kOQ ‎‎ = - 3 ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大 ‎4‎ ‎（1）若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围；‎ ‎（2）当 a = 0 , b = - 1 时，方程 x2 = 2mf ( x) （其中 m > 0 ）有唯一实数解，求 m 的值.‎ ‎22、选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系 ìï x = 中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 í ‎3 - t ‎‎ ‎( t 为参数)，曲线 C 的极坐标 æ p ö ‎3‎ 方程为 r= 4 sin çq+ ÷ .‎ è ø ‎ïî y = 1 + 3t ‎(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点，求△MON 的面积．‎ ‎23、已知函数 f (x) = x - 3 - 2 x . (1)求不等式 f ( x) £ 2 的解集；‎ ‎(2)若 f ( x) 的最大值为 m，正数 a, b, c 满足 a + b + c = m ，求证： a2 + b2 + c2 ³ 3 .‎ ‎1 答案及解析：‎ 答案：B 解析：∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) £ 0}= {x -1 £ x £ 2 } ，‎ ‎∴ A Ç B = {1, 2} .故选 B.‎ ‎2 答案及解析： 答案：D 解析： z + 2 = 3 - 2i = 1 + 3 i ，故选 D.‎ z - 1‎ ‎-2i 2‎ ‎3 答案及解析：‎ 答案：C 解 析 ： 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 命 题 "x Î R,x3 - x 2 + 1 £ 0‎ ‎的 否 定 是 ‎“ 3 2‎ $x0 Î R,x0‎ ‎- x0‎ ‎+ 1 > 0 ”，故选 C.‎ ‎4 答案及解析：‎ 答案：B 解析：易知 a + b = (-1,1), ma - b = m(4, -1) - (-5, 2) = (4m + 5, -m - 2) ，因为 ‎(a + b) / /(ma - b) ，所以 (-1) ´ (-m - 2) - 1´ (4m + 5) = 0 ，解得： m = -1， 故选 B.‎ ‎5 答案及解析： 答案：A ‎2‎ ç ÷ 解析：∵ a = 21.2 > 2 ， b = æ 1 ö è ø ‎-0.8‎ ‎‎ ‎5 5‎ = 20.8 < 21 = 2 ， c = log 4 < log 5 = 1 ，‎ ‎∴ c < b < a .故选 A.‎ ‎6 答案及解析：‎ 答案：D 解析：输入的 a, b 分别为 8, 2, n = 1‎ 第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件，‎ 第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件，‎ 第四次执行循环体后 n = 4, a = 81 , b = 32 ，不满足退出循环的条件，‎ ‎2‎ 第五次执行循环体后 n = 5, a = 243 , b = 64 ，满足退出循环的条件，‎ ‎4‎ 故输出的 n = 5 ，故选 D.‎ ‎7 答案及解析： 答案：A 解析：因为 b2 = 2ac ，由正弦定理，得 sin 2 B = 2 sin A sin C = 2 sin 30o sin C = sin C ，所 b sin B 以 c ‎sin 2 B = = 1，‎ sin C 故选 A.‎ ‎8 答案及解析： 答案：D π π π 3‎ 解析：所有的基本事件构成的区间长度为 ‎- (- ‎) = ，由 0 £ sin 2 x £ ，解得：‎ ‎4 4 2 2‎ ‎0 £ 2 x £ π ，则 0 £ x £ π ，所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的 ‎3 6 2‎ π - 0‎ ‎6 1‎ 概率为 P = π = 3 ，‎ ‎2‎ 故选:D.‎ ‎9 答案及解析： 答案：D ‎∵AB 为圆的直径 ‎∴ÐAFB = 90° 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF ' 为矩形 ‎∴S = 1 S = S ‎△ABF 2 AFBF ' △FBF '‎ ‎2‎ 又 b 2 2 2 2‎ S△FBF ‎' = = b tan 45° ‎= 4a ‎，可得： c ‎= 5a ‎∴e2 = 5 Þ e = ‎5 .故选 D.‎ ‎10 答案及解析：‎ 答案：B 解析：若 a £ 0 ：当 x > 0 时， f ( x) =| x - a | -a =| x |= x ， 又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( x) = x ，符合题意；‎ ì- x, 0 < x < a 若 a > 0 ：当 x > 0 时， f ( x) =| x - a | -a = í ，‎ î x - 2a, x ³ a 又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x) 对于任意 x Î R 恒成 立，∴问题等价于将 f ( x) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f ( x + 20) 图象恒在 f ( x) 图象上方，可知 4a < 20 ，即 0 < a < 5 ，综上实数 a 的取值范围是 (-¥, 5) ，故选 B.‎ ‎11 答案及解析： 答案：C ‎1 2 2‎ Rt△ACD 中，‎ ‎cosA = ，则 sinA = .‎ ‎3‎ 在△ABC 中，由正弦定理得 6 sin A ‎3‎ = 2r, r = 9‎ ‎4‎ ‎2 ，△ABC 外接圆的半径 r = 9 2 = ‎‎ ‎3 R Þ R2 = 27 ，S= 4pR2 = 54p .故选:C.‎ ‎4 2 2‎ ‎12 答案及解析：‎ 答案：B 解析：圆 C 方程可化为： ( x -1)2 + ( y -1)2 = 25 Þ C (1,1) ，圆 C 半径 r = 5‎ ‎| MN |£ 2 | CM + CN |=| MN |2 £ 4 | CM + CN |2‎ 即| MN |2 £ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM × CN ‎∴| MN |2 £ 100 + 100 + 8 | CM | × | CN | cos ÐMCN uuuur ‎2 uuuur Þ| MN |2 £ 100 + 100 + 200 ´ 25 + 25- | MN |‎ ‎50‎ ‎‎ Þ| MN |£ 4 5‎ 设圆心 C 到直线 y = -2 x - m 的距离为 d 则 2 r 2 - d 2 = 2 25 - (| 3 + m |)2 £ 4 5 Þ m ³ 2‎ ‎5‎ 又直线 y = -2 x - m 与圆 C 相交，可得 d < r ‎| 3 + m |‎ 即 ‎5‎ ‎‎ < 5 Þ m < 5 5 - 3‎ 综上所述： m Î[2, 5 5 - 3)‎ 故选 B.‎ ‎13 答案及解析： 答案：1‎ 解析： y ' = 2ax ，所以切线的斜率 k = 2a ，‎ 又切线与直线 x + 2 y - 6 = 0‎ 垂直得 2a ´ æ - 1 ö = -1 ，解得 a = 1.‎ ç 2 ÷ è ø ‎14 答案及解析：‎ 答案： 3‎ ‎2‎ ‎‎ ì x - 2 y £ 0‎ í 解析：作出 x，y 满足约束条件 ï2 x + y - 4 £ 0 对应的平面区域如图：‎ î ï x ³ 1‎ 由 z = x + y 得 y = -x + z 表示，斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线，‎ 平移直线 y = -x + z 当直线 y = -x + z 经过点 A 时，直线 y = -x + z 的截距最小，此时 z 最小，‎ ì x = 1 1‎ 由 í Þ A(1, ) ，‎ î x - 2 y = 0 2‎ z = 1 + 1 = 3 ．‎ 此时 min 2 2‎ ‎3‎ 故答案为： ．‎ ‎2‎ ‎15 答案及解析：‎ 答案：25‎ 解析：由正数 x，y 满足 3x+4y=xy，∴．‎ ‎∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当 x=2y=10 时， 取等号．‎ ‎∴x+3y 的最小值为 25． 故答案为：25．‎ ‎16 答案及解析：‎ 答案：‎ ‎2 + 1‎ ‎2‎ 解析：由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得，‎ sin A = sin B cos C + sin C cos B ，即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ， 又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，于是可得 sin B = cos B ，‎ 即 tan B = 1, B = 45° .‎ 在△ ABC 中，由余弦定理得 a2 + c2 = 2ac cos 45° = 2 ，即 a2 + c2 - ‎2ac = 2 ，‎ 又因为 a2 + c2 ³ 2ac ，‎ ‎∴ 2 = a2 + c2 - ‎2ac ³ (2 - ‎2 ) ac ，‎ 由此可得 ac £ 2‎ ‎2 - ‎‎ = 2 + ‎2‎ ‎2 ，当且仅当 a = c 时等号成立，‎ ‎△ ABC 面积 S = 1 ac sin B = ‎2 (2 + ‎2 ) = ‎2 +1 ，‎ ‎2 4 2‎ 故△ ABC 面积 S 最大值为 2 +1 .‎ ‎2‎ ‎17 答案及解析：‎ í 答案：（1）设公差为 d，由题意有 ì ‎‎ ‎2a1 + d = 8 ，‎ î2a1 + 9d = 2a1 + 8d + 2‎ 解得 a1 = 3, d = 2 ，‎ 所以 an = 2n + 1 .‎ ‎（2）由（1）知， Sn ‎‎ = n (3 + 2n + 1) = n2 + 2n ，‎ ‎2‎ 则 1 = 1‎ ‎= 1 ( 1 - ‎1 ) ，‎ Sn n(n + 2) 2‎ ‎n n + 2‎ 所以T ‎= 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + × × × + ( 1‎ ‎- 1 ) + ( 1 - ‎1 )]‎ n 2 3 2 4 3 5‎ ‎n - 1‎ ‎n + 1‎ ‎n n + 2‎ = 1 (1 + 1 - 1 - ‎1 ) < 3 .‎ ‎2 2 n + 1‎ ‎n + 2 4‎ ‎18 答案及解析：‎ 答案：(1).在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中， BB1 ^ 底面 ABC 所以 BB1 ^ AB 又因为 AB ^ BC BC Ç BB1 = B BC, BB1 Ì 平面 B1 BCC1‎ 所以 AB ^ 平面 B1 BCC1‎ 又 AB Ì 平面 ABE 所以平面 ABE ^ 平面 B1 BCC1‎ ‎(2).证明： AB 取的中点 G，连接 EG, FG 因为 E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点 所以 FG / / AC ，且 FG = 1 AC ‎2‎ 因为 AC / / A1C1 ，且， AC = A1C1 ，所以 FG / / EC1 ，且 FG = EC1 ，所以四边形为 FGEC1 平行 四边形 所以 C1 F / / EC 又因为 EG Ì 平面 ABE ， C1 F Ë 平面 ABE 所以 C1 F / / 平面 ABE ‎19 答案及解析：‎ 答案：（1）在直角梯形 ABCD 中， AB =‎ ‎‎ BC =‎ ‎‎ ‎4 ，CD =‎ ‎‎ ‎2 ，CE = 1，Ð ABE = Ð ECD ‎ DE =‎ ‎CE 2 + CD2 =‎ ‎5 ， AB =‎ ‎BE 2 +‎ ‎AB2 = 5‎ AD =‎ ‎(AB - CD)2 +‎ ‎BC 2 = 2 5‎ ‎ DE 2 +‎ ‎AE 2 =‎ ‎AD2 ，‎ ‎ AD ^ DE Q PD ^ 平面 ABCD ， DE Ì 平面 ABCD ，‎ ‎ PD ^‎ ‎DE ，又 AD I PD = D ‎ DE ^ 平面 PAD ，又 DE Ì 平面 PDE ，‎ ‎ 平面 PAD ^ 平面 PDE ‎（2）设 PD =‎ ‎h ， BD =‎ ‎CD2 +‎ ‎BC 2 =‎ ‎2 5 ， AD = 2 5‎ ‎ PA =‎ ‎PB =‎ ‎h2 + 20‎ ‎ S ΔPAB =‎ ‎1 鬃AB PA2 - ( 1 AB)2 =‎ ‎2 2‎ ‎2×h2 + 16 =‎ ‎‎ ‎2 21‎ ‎ h = 5‎ 又 S△ADE =‎ ‎1 AD ×DE = 5‎ ‎2‎ ‎ 1 5 5‎ VP- ADE =‎ ‎S△ADE ×h =‎ ‎3 3‎ ‎20 答案及解析：‎ x2‎ 答案：（1）因为椭圆 C 的方程为 ‎2‎ y + = 1 ，所以 A (-2, 0) , F (1.0) .‎ ‎4 3‎ 因为 PF ^ x 轴，所以 P æ1, ± 3 ö ，而直线 AP 与圆 O 相切，‎ ç 2 ÷ è ø ç ‎2‎ è ÷ 根据对称性，可取 P æ1, 3 ö ，‎ ø 则直线 AP 的方程为 y = 1 ( x + 2) ，即 x - 2 y + 2 = 0 .‎ ‎2‎ ‎2 4‎ 由圆 O 与直线 AP 相切，得 r = ，所以圆 O 的方程为 x2 + y 2 = .‎ ‎5 5‎ ‎（2）易知，圆 O 的方程为 x2 + y 2 = 3 .‎ ‎①当 PQ ^ x 轴时， k × k ‎‎ = -k ‎2 = - 3 ，所以 k = ± 3 ，‎ OP OQ OP 4‎ ‎OP 2‎ 此时得直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 2 2 .‎ ‎②当 PQ 与 x 轴不垂直时，设直线 PQ 的方程为 y = kx + b ，P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ¹ 0) ，‎ 首先由 k × k ‎= - 3 ，得 3x x ‎‎ + 4 y y ‎‎ = 0 ，‎ OP OQ 4‎ ‎1 2 1 2‎ ‎2 2‎ 即 3x1 x2 + 4 (kx1 + b) (kx2 + b) = 0 ，所以 (3 + 4k ‎) x1 x2 + 4kb ( x1 + x2 ) + 4b ‎‎ = 0 （*）‎ ì y = kx + b ï 联立 í x2‎ ï ‎‎ y 2‎ + = 1‎ ‎，消去 x，得 (3 + 4k 2 ) x2 + 8kbx + 4b2 - 12 = 0 ，在 D > 0 时 î 4 3‎ ‎8kb ‎4b 2 -12‎ ‎）式，得 2b2 = 4k 2‎ ‎3 + 4k 2‎ 代入（*‎ ‎3 + 4k 2‎ x1 + x2 = - ‎, x1 x2 = ‎+ 3 .‎ 由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d = ‎b ‎，‎ k 2 + 1‎ 所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l = 2 4 - d 2 = ‎8 + 2‎ k 2 + 1‎ ‎‎ ‎，故当 k = 0 时，l 有最大值 为 10 .‎ 综上，因为 10 > 2 2 ，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为 10 .‎ ‎21 答案及解析：‎ 答案：（1）由题意，函数 f ( x) 的定义域为 (0, +¥) ，则导数为 f '( x) = 1 - ax - b x 由 f (1) = 0 ，得 b = 1 - a ，‎ ‎∴ f '( x) = 1 - ax + a - 1 = -(ax + 1)( x - 1)‎ x x ‎①若 a ³ 0 ，由 f '( x) = 0 ，得 x = 1 .‎ 当 0 < x < 1时， f '( x) > 0 ，此时 f ( x) 单调递增； 当 x > 1 时， f '( x) < 0 ，此时 f ( x) 单调递减.‎ 所以 x = 1 是 f ( x) 的极大值点 ‎②若 a < 0 ，由 f '( x) = 0 ，得 x = 1 ，或 x = - 1 .‎ a 因为 x = 1 是 f ( x) 的极大值点，所以 - 1 > 1 ，解得 -1 < a < 0‎ a 综合①②：a 的取值范围是 a > -1‎ ‎（2）因为方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解，所以 x2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解 ‎2 x2 - 2mx - 2m 设 g ( x) = x 2 - 2m ln x - 2mx ，则 g '( x) = ，‎ x 令 g '( x) = 0 ，即 x2 - mx - m = 0 .‎ m - 因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x1 = ‎m2 + 4m ‎2‎ ‎m + < 0 （舍去）， x2 = ‎m2 + 4m ‎2‎ 当 x Î (0, x2 ) 时， g '( x) < 0 ， g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减，‎ 当 x Î (x2 , +¥) 时， g '( x) > 0 ， g ( x) 在 ( x2 , +¥) 单调递增 当 x = x2 时， g '( x) = 0 ， g ( x) 取最小值 g ( x2 )‎ ï ìg ( x ) = 0 ì x 2‎ 则 2 ，即 2‎ ‎- 2m ln x2 - 2mx2 = 0‎ ‎，‎ í îg '( x2 ) = 0‎ ‎í 2‎ ïî x2‎ ‎- mx2 - m = 0‎ 所以 2m ln x2 + mx2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x2 + x2 -1 = 0(*)‎ 设函数 h( x) = 2 ln x + x - 1，‎ 因为当 x > 0 时， h( x) 是增函数，所以 h( x) = 0 至多有一解 m + 因为 h(1) = 0 ，所以方程 (*) 的解为 x2 = 1 ，即 ‎m2 + 4m ‎2‎ ‎= 1 ，解得 m = 1‎ ‎2‎ ‎22 答案及解析：‎ ìï x = 答案：(1)由 í ‎‎ ‎3 - t ‎‎ ‎，消去参数 t 得 3x + y = 4 ，直线 l 的普通方程为 3x + y - 4 = 0 .‎ ïî y = 1 + 3t ‎2‎ æ p ö 由 r= 4 sin çq+ ÷ = 2 sinq+ 2 3 cosq 得， r = 2rsinq+ 2 3rcosq，‎ è 3 ø 即 x2 + y 2 = 2 y + 2 3x ，‎ ‎∴曲线 C 的直角坐标方程是圆： ( x - ‎3)2 + ( y - 1)2 = 4 .‎ -4‎ ‎(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d = = 2 .‎ ‎( 3)2 + 12‎ 直线 l 过圆 C 的圆心 ( 3,1) ，∴ MN ‎= 2r = 4 ，‎ 所以△MON 的面积 S = 1 MN ´ d = 4 .‎ ‎2‎ 解析：‎ ‎23 答案及解析：‎ 答案：（1）当 x £ 0 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) + 2x = x + 3 ，由 f ( x) ³ 2 ，得 x + 3 ³ 2 ， 解得 x ³ -1 ，此时 -1 £ x £ 0 ；‎ 当 0 < x < 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) - 2x = 3 - 3x ，由 f ( x) ³ 2 ，得 3 - 3x ³ 2 ，‎ 解得 x £ 1 ，此时 0 < x £ 1 ；‎ ‎3 3‎ 当 x ³ 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = ( x - 3) - 2x = -x - 3 £ -6 ，此时不等式 f ( x ) ³ 2 无解.‎ 综上所述，不等式 f ( x ) ³ 2 的解集为 é-1, 1 ù ；‎ ê 3 ú ë û ì x + 3, x £ 0‎ í3‎ ‎（2）由 1 可知 f ( x ) = ï - 3x, 0 < x < 3 .‎ ï- x - 3, x ³ 3‎ 当 x £ 0 时， f ( x ) = x + 3 £ 3 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = 3 - 3x Î (-6, 3) ；当 x ³ 3 时，‎ f ( x ) = -x - 3 £ -6 .‎ 所以，函数 y = f ( x) 的最大值为 m = 3 ，则 a + b + c = 3 .‎ 由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a2 + b2 + c2 ) ³ (a + b + c )2 ，即 3(a2 + b2 + c2 ) ³ 32 ， 即 a2 + b2 + c2 ³ 3 ，当且仅当 a = b = c = 1 时，等号成立.‎ 因此， a2 + b2 + c2 ³ 3 .‎