数学卷·2018届江苏省淮安市高二下学期期末数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届江苏省淮安市高二下学期期末数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B=　 　．‎ ‎2．已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m=　 　．‎ ‎3．若函数的最小正周期为，则正数k=　 　．‎ ‎4．函数f（x）=的定义域为　 　．‎ ‎5．若角α的终边经过点（﹣4，3），则sinα的值为　 　．‎ ‎6．已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为　 　．‎ ‎7．若f（x）=，则f（f（））=　 　．‎ ‎8．已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为　 　．‎ ‎9．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间为　 　．‎ ‎10．已知，且﹣π＜θ＜﹣，则=　 　．‎ ‎11．已知函数f（x）=lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n=　 　．‎ ‎12．已知定义在上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为　 　．‎ ‎13．函数f（x）=﹣4x3+kx，对任意的x∈，总有f（x）≤1，则实数k的取值为　 　．‎ ‎14．已知函数f（x）=x2﹣mx对任意的x1，x2∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围　 　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎15．已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）‎ ‎（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值；‎ ‎（2）当实数m=﹣1时，求的值．‎ ‎16．已知函数f（α）=‎ ‎（1）化简f（α）；‎ ‎（2）若f（α）=＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．‎ ‎17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示 ‎（1）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．‎ ‎18．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．‎ ‎（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．‎ ‎19．已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；‎ ‎（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx．‎ ‎（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲线y=h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；‎ ‎（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B=　{1，3}　．‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．‎ ‎【分析】由集合的交集的定义：由两集合的公共元素构成的集合，即可得到所求．‎ ‎【解答】解：集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，‎ 则A∩B={1，3}．‎ 故答案为：{1，3}．‎ ‎　‎ ‎2．已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m=　4　．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：（2+i）（m﹣2i）=2m+2+（m﹣4）i是实数，‎ 则m﹣4=0，解得m=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎3．若函数的最小正周期为，则正数k=　3　．‎ ‎【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】先根据三角函数的性质表示出函数的最小正周期，进而根据最小正周期求得k．‎ ‎【解答】解：∵函数最小正周期为，‎ ‎∴=‎ ‎∴k=3‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=的定义域为　=sin（+θ）=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n=　5　．‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】判断的单调性以及函数的连续性，然后利用零点判定定理求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=lgx+x﹣9是连续的单调增函数，‎ f（5）=lg5+＜0，‎ f（6）=lg6+9﹣9＞0，‎ 因为f（5）f（6）＜0，‎ 所以函数的零点在（5，6）之间，‎ 所以n=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为　上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，‎ 则函数f（x）为奇函数，‎ 又由且，则函数f（x）在其定义域上为减函数，‎ 若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则有f（1﹣t）＜f（t2﹣1），‎ 则有，解可得﹣1≤t＜1，‎ 即实数t的取值范围为，总有f（x）≤1，则实数k的取值为　3　．‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．‎ ‎【分析】通过讨论x的范围问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立且k≥4x2+在恒成立，‎ x=0时，显然成立，‎ x∈（0，1]时，问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立，‎ 令g（x）=4x2+，x∈（0，1]，‎ g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞，‎ 令g′（x）＜0，解得：x＜，‎ 故g（x）在（0，）递减，在（，1]递增，‎ 故g（x）min=g（）=3，‎ 故k≤3，‎ x∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围　　．‎ ‎【考点】3R：函数恒成立问题．‎ ‎【分析】依题意，f（x）max﹣f（x）min≤9，函数f（x）=x2﹣mx的对称轴方程为：x=，分①若≤0，即m≤0时，②若0＜≤1，即0＜m≤2时，③若1＜≤2，即2＜m≤4时，④若＞2，即m＞4时，四类讨论，利用二次函数的单调性与最值分别求得各类中m的取值范围，最后取并即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2﹣mx对任意的x1，x2∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，‎ ‎∴f（x）max﹣f（x）min≤9，‎ ‎∵函数f（x）=x2﹣mx的对称轴方程为：x=，‎ ‎①若≤0，即m≤0时，函数f（x）=x2﹣mx在区间上单调递增，f（x）max=f（2）=4﹣2m，f（x）min=f（0）=0，依题意，4﹣2m≤9，解得：m≥﹣，即﹣≤m≤0；‎ ‎②若0＜≤1，即0＜m≤2时，同理可得，f（x）max=f（2）=4﹣2m，f（x）min=f（）=﹣，依题意，4﹣2m﹣（﹣）≤9，解得：﹣2≤m≤10，即0＜m≤2；‎ ‎③若1＜≤2即2＜m≤4时，同上得：f（x）max=f（0）=0，f（x）min=f（）=﹣，依题意，0﹣（﹣）≤9，解得：﹣6≤m≤6，即2＜m≤4；‎ ‎④若＞2即m＞4时，函数f（x）=x2﹣mx在区间上单调递减，f（x）max=f（0）=0，f（x）min=f（2）=4﹣2m，依题意，0﹣（4﹣2m）≤9，解得：m≤，即4＜m≤；‎ 综合①②③④得：﹣≤m≤．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎15．已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）‎ ‎（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值；‎ ‎（2）当实数m=﹣1时，求的值．‎ ‎【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，可得m2+5m+6=m2﹣2m﹣15，解得m．‎ ‎（2）当实数m=﹣1时，z=（1﹣5+6）+（1+2﹣15）i=2﹣12i．再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，‎ 所以m2+5m+6=m2﹣2m﹣15，…‎ 解得m=﹣3．…‎ ‎（2）当实数m=﹣1时，z=（1﹣5+6）+（1+2﹣15）i=2﹣12i．…‎ ‎∴，‎ 所以的值为．…‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（α）=‎ ‎（1）化简f（α）；‎ ‎（2）若f（α）=＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．‎ ‎【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GI：三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数式f（α）的解析式，可得结果．‎ ‎（2）利用同角三角函数的基本关系求得 sinα•cosα 的值，结合 sinα与cosα 的符号，可得（sinα﹣cosα）2的值，可得sinα﹣cosα的值．‎ ‎【解答】解：（1）f（α）==+=sinα+cosα=sin（α+）．‎ ‎（2）由，平方可得，‎ 即，∴sinα•cosα=﹣，∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，‎ 又，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=﹣．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示 ‎（1）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．‎ ‎【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】（1）求出振幅与周期，利用特殊点求解φ，求出函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．‎ ‎（2）求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由图象得A=2．最小正周期T=.，‎ 所以f（x）=2sin（2x+φ）．…‎ 由得，，‎ 又|φ|＜π得，所以，所求函数的解析式为．…‎ 由得．所以，‎ 函数f（x）的单调减区间为．…‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 即f（x）的取值范围是．…‎ ‎　‎ ‎18．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．‎ ‎（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．‎ ‎【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；5D：函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，推出当0≤x＜80时，当x≥80时，的函数的解析式即可．‎ ‎（2）当0≤x＜80时，利用函数的导数求解函数的最值，当x≥80时，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果．‎ ‎【解答】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，‎ 依题意得，当0≤x＜80时， =，‎ 当x≥80时， =．‎ ‎…‎ ‎（2）当0≤x＜80时，．‎ ‎，x=±60．‎ 此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950（万元）…‎ 当x≥80时，，…‎ 当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值1000（万元）．‎ 因为950＜1000，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．‎ 答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．…‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；‎ ‎（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．‎ ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）+f（﹣x）=0，即loga+loga=0，结合对数的运算性质可得（）（）=1，解可得m的值，验证即可得答案；‎ ‎（2）由（1）可得函数的解析式，设x1＞x2＞1，结合对数的运算性质可得f（x1）﹣f（x2）=loga（），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论f（x1）﹣f（x2）的符号，综合可得答案；‎ ‎（3）由（1）可得函数的解析式，进而求出函数f（x）的定义域，分n＜a﹣2＜﹣1和1＜n＜a﹣2两种情况讨论，求出a、n的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函数，‎ 则有f（x）+f（﹣x）=0，‎ 即loga+loga=0，‎ 则有loga（）（）=0，‎ 即（）（）=1，‎ 解可得：m=±1，‎ 当m=1时，f（x）=loga，没有意义，‎ 故m=﹣1，‎ ‎（2）由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga，‎ 设x1＞x2＞1，‎ f（x1）﹣f（x2）=loga﹣loga=loga=loga（），‎ 又由x1＞x2＞1，‎ 则0＜＜1，‎ 当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）为减函数，‎ 当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）为增函数，‎ ‎（3）由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga，‎ 其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），‎ 当n＜a﹣2＜﹣1时，有0＜a＜1，‎ 此时函数f（x）为增函数，有，无解；‎ 当1＜n＜a﹣2时，有a﹣2＞1，即a＞3，‎ 此时函数f（x）为减函数，有，解可得a=2+；‎ 故n=1，a=2+．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx．‎ ‎（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲线y=h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；‎ ‎（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，计算h′（1）的值，求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（3）通过讨论k的范围，求出函数的单调性，结合题意求出k的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，h（x）是偶函数，‎ 故h（x）=lnx﹣2x，（x＞0），‎ h′（x）=﹣2，故h′（1）=﹣1，‎ 故切线方程是：y+2=﹣（x﹣1），‎ 即x+y+1=0；‎ ‎（2）g（x）=lnx﹣mx，（x＞0），‎ g′（x）=﹣m，‎ m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，函数无极值，‎ m＞0时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：x＞，‎ 故g（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，‎ 故g（x）的最大值是g（）=﹣lnm﹣1；无极小值；‎ ‎（3）证明：设g（x）=f（x）﹣x2﹣（k﹣1）x+k﹣，x∈（1，+∞），‎ 则g′（x）=，‎ 当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，‎ 所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，‎ 即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；‎ ‎①当k=1时，由（2）知，当x＞1时，f（x）＜x﹣1，‎ 此时不存在x0＞1，不满足题意；‎ ‎②当k＞1时，x＞1，f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），‎ 此时不存在x0＞1，不满足题意；‎ ‎③当k＜1时，设h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x＞1，‎ 则h′（x）=，‎ 令h′（x）=0，即﹣x2+（1﹣k）x+1=0，‎ 得x1=＜0，x2=＞‎ ‎1，‎ 所以当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x2）上单调递增，‎ 取x0=x2，所以当x∈（1，x0）时，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x﹣1），‎ 综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1）．‎