高中数学好题速递400题（351—400）

高中数学好题速递400题（351—400）

好题速递351题 对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 ． ‎ 解：令 则 当且仅当，即时取得等号。‎ 故，即 点评：本题因为分母比较复杂不整洁，所以将分母进行换元是常见的方法。‎ 好题速递352题 若向量满足，则的最大值为 。‎ 解：由极化恒等变形得 ‎，‎ 故 即 即 故 好题速递353题 已知函数，且。对恒成立，则的最小值为 。‎ 解法一：齐次化思想 根据条件有，则 因此 令，则 解法二：由题意可知，即 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除 则 当且仅当及时，即时取得。‎ 解法三：根据条件有，则 故 令得 当且仅当及时取得最小值，即时取得。‎ 解法四：令，得，代入 得 解法五：待定系数法 假设，化简为 又 故比对系数得，得 因为，所以 因为，所以 好题速递354题 空间四点满足，，，，则的值为 。‎ 解：‎ A B C D ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 点评：这里用到了向量点积的余弦定理形式，‎ 即 好题速递355题 已知圆，，直线，在圆上，在直线上，满足，，则的最大值为 ． ‎ 解：设，，所以 因为，，‎ 故知就是绕着顺时针或逆时针旋转得到 所以或 即或 在圆上，‎ 所以或 即或 两个方程中有一个有解即可，‎ 所以 或 综上， ‎ 好题速递356题 已知实数满足关系式，则的最小值是 ． ‎ 解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。‎ 由或 所以 点评：这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性，所以不能直接用来求的取值范围，所以改为用重要不等式来来做。虽然答案正好一样，但做法要注意。‎ 解法二：遇到结构，所以用代数的极化恒等式变形。‎ 令，则问题转变为已知，求的最小值。‎ 因为 所以还需要计算定义域，即 所以 解法三：设，则视为的两根 所以 所以或 当且仅当时取得最小值。‎ 好题速递357题 已知点为圆与圆的公共点，圆，圆，若，，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为 ． ‎ 解：设，，则，‎ 所以，即 同理 所以是方程的两个实根 所以 所以点的轨迹方程为 所以点到直线的最短距离为 好题速递358题 已知向量满足，，则的取值范围是 ．‎ 解：（一）几何角度 由和可以画图，找到向量模长的几何意义。‎ O A B C D b a ‎-2b ‎3‎ ‎1‎ 解法一：基底法 因为 因为三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。‎ 那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然两个向量长度已知，适合做基底。‎ ‎（这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就不会是求最小值了。）‎ 所以由三点共线，且，可知 所以 O A B C D b a ‎-2b ‎3‎ ‎1‎ 解法二：解三角形 设，‎ 则在与中运用余弦定理得 解得 又在中，利用三角形两边之和大于等于第三边得，即 所以 ‎（二）代数角度 解法三：换元思想 令，，则反解得，，且 所以 这个做法本质上其实就是转基底，只是不是从几何图形出发，采用换元法。‎ 解法四：平方角度 我们常说：“向量的模长一次想几何，二次想代数运算”，所以本题的两个条件也可以平方。‎ 即，‎ 这里将解得三者视为整体，那么就属于“三个字母，两个方程，少一个，求取值范围，合情合理！”的问题 所以用要求的表示得 所以由题干知，‎ 即 即 即 所以 故 解法五：‎ 在解法四的基础上，也可解得 所以要求的最小值，只需要求的最小值即可 这里用代数中的三角不等式“”来解决。‎ 由，即，所以 所以 好题速递359题 ‎（2015天津文科第14题）已知函数，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 ．‎ 解：由在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，可得，且，得 所以，得 好题速递360题 若椭圆过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长的最小值为 ，的面积的最大值为 ．‎ 解：连接，则由椭圆的中心对称性可得 好题速递361题 ‎（2015湖北理科第10题）设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 ．‎ 解：由得 由得 由得，所以 由得，所以 由得与矛盾，故正整数的最大值是4‎ 好题速递362题 过点的直线交圆于点，为坐标原点，若在线段上的满足，则 ．‎ 解：设，，，直线 则，，‎ 由得 由得 所以，‎ 所以 所以 整理得点满足的轨迹方程为 所以 好题速递363题 如图，已知点为的边上一点，，为边上一列点，满足，其中数列满足，，则的通项公式为 ．‎ 解：由可得 又，且 故 即 因为不共线，故，‎ 两式相除消去得，又，所以 好题速递364题 若点在圆:上运动,点在轴上运动,则对定点而言,的最小值为 ．‎ 解法1：设,,则.‎ 若设,则由题意可得.即,点在以为圆心,以为半径的圆:上.‎ 由圆与圆有公共点可得,从而.‎ 解法2：设,,则.‎ 从而,.‎ 解法3：由点在圆上可设,,‎ 则.‎ 故.‎ 解法4：设为的中点,则,过作轴的垂线,垂足分别为.‎ 由于,‎ 因此,即.‎ 解法5：设为点关于点的对称点，‎ 则.‎ 由于点在直线上,点在圆:上可得.‎ 解法6：同解法5，设为点关于点的对称点,则 ‎.‎ 由于点在圆:上,点在轴上可得 好题速递365题 设实数满足，则的取值范围为 ．‎ 解：可行域如图所示，，，，‎ 所以 设点是可行域内一动点，‎ 目标函数既是关于的减函数，又是关于的减函数 所以当点与点重合时，此时取得最大值4，‎ 同时取得最大值2，此时取得最小值为 对于每一个固定的的值，要使取得最大值，应使取得最小值，即点应位于线段上，此时 所以，此时与点重合 综上所述，‎ 好题速递366题 已知点是双曲线右支上两个不同的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．‎ 解法一：韦达定理 当存在时，设 当不存在是，，则 综上，‎ 解法二：‎ 由于两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在点确定的情况下，让点运动到最小值，然后再让点运动，即取最小值的最小值。‎ 如图，不妨设直线 由，可得，‎ 故 显然点运动到，在点处的双曲线的切线（即）与垂直时，此时在上的投影达到最小值 此时切线的方程为 故在上的投影等于点到直线的距离为 故 解法三：设 又因为，，所以 所以 解法四：设 ‎，‎ 两式相乘得 即 等式两边同时加上，得 故 解法五：三角换元 设，‎ 所以 解法六：前同解法五，令，则 故 故 即 故，又因为，所以，‎ 好题速递367题 设关于的方程和的实根分别为和，若，则的取值范围是 ．‎ 解：‎ 在同一个坐标系中画出和的图象如图所示 由，化简得 显然有根，故可因式分解为 解得或或 当时，；当时，，‎ 由图可知，‎ 好题速递368题 设，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列，若，则的取值范围是 ．‎ 解：设等比数列为，从而有 由题意知 令，故在上单调递增，故 好题速递369题 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．‎ 解法一：设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为，共同的半焦距为 则，则 在中应用余弦定理得 化简得，即，问题要求的取值范围。‎ 设，则 解法二：‎ 在中运用正弦定理得 当且仅当时取得等号。‎ 好题速递370题 已知函数，且，，集合，则（ ）‎ A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 解：有题干条件可知 于是函数是开口向上的二次函数，由和知一个零点为1，另一个零点 结合选项知问题就是研究两个零点间的距离与3的大小关系，即与的大小关系。‎ 因为 故画出大致图象知两个零点间的距离小于3，故A选项正确。‎ 好题速递371题 若正数满足，则的最小值为 ．‎ 解法一：分母复杂时采取换元。‎ 令，则问题变为已知，求的最小值。‎ 当且仅当，即，时取得等号。‎ 解法二：齐次化 记，视为线段上的点与坐标原点连线的斜率 设，‎ 反思：这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的。‎ 好题速递372题 在中，边上的高与边的长相等，则的最大值为 ．‎ 解：由得 则 当且仅当时，取得等号。‎ 同类题：在中，边上的高与边的长相等，则的取值范围是 ．‎ 解：，则 由余弦定理有 所以 又，故 好题速递373题 若沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的为“和谐三角形”。设的三个内角分别，则下列条件中能够确定为“和谐三角形”的有 ．‎ ‎①；②；③；‎ ‎④‎ 解：本题是三角形翻折问题，主要考查了一个结论：“三棱锥任意一个顶角引出的三条棱，两两构成三个角，这三个角（三面角）有一个结论：任意两个的和都大于第三个”‎ P A B C O 先证明如下：如图所示作面，作，则，作，则，‎ 因为，‎ 所以，‎ 同理 所以 即三面角中的两个之和大于第三个。‎ 回到这道题目，形成的三棱锥的顶角的三面角恰好是原的三个内角，又三面角中的两个之和大于第三个，故这个为锐角三角形。‎ 故检验四个条件，易知①③④这三个条件构成锐角三角形。‎ 好题速递374题 已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是 ．‎ 解：看到本题时是不是第一反应就是三次函数求导做呢？这确实是一个办法，这里再从方程的根其实就是函数的交点的角度，给出一个更妙的解法。‎ 既可以看成是关于的三次函数，也可以视为关于的二次函数 即转换主元得 则 所以，即或 因为已经有一个根，‎ 所以没有实数根，即 ‎，解得 点评：这种转换主元和方程根与函数交点互换的思想，在好题速递367、286等题目中都有涉及。‎ 好题速递375题 已知是非零向量，，，则与的夹角为 ．‎ 解法一：几何法 如图作 则都是直角三角形 是的中线，故 是的中线，故 所以是正三角形，所以与的夹角为 解法二：代数法 故，且，故与的夹角为 好题速递376题 设函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数的取值构成的集合是 ．‎ 解：‎ 方程的根有且仅有三个，即左右两个函数的交点有且仅有三个，‎ 故考查函数与的图象 这里要注意的图象虽然随着的变化在移动，但是有规律的移动，“V”型图的尖底是沿着移动的，而的图象是确定不变的。‎ 由解得， ‎ 由解得，‎ 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限，一个在第一象限（此时）或三个交点都在第一象限（此时））‎ 即（如左图）或（如右图）‎ 即 或 又因为此时，故舍去 综上，‎ 好题速递377题 已知锐角的内角，点为三角形外接圆的圆心，若，则的取值范围是 ．‎ 解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题，常用“作三点共线”的办法来解决。‎ 由，得，不妨如图固定三点，因为是锐角三角形，所以点在上运动，取的中点为 这样就构造出了系数和 作直线与直线交于，于是作出了三点共线。‎ 因为三点共线，所以 即，此处的由同向反向决定 显然，当点位于时，，当点位于时，‎ 综上，‎ 解法二：由，得，不妨如图固定三点，因为是锐角三角形，所以点在上运动，‎ 设圆半径为1，建立坐标系，则，，‎ 由得，‎ 所以 解法三：由，两边同时点积得 即 所以 因为是锐角三角形，所以，所以 好题速递378题 已知实数，且，，则实数的取值范围是 ．‎ 解：因为，，可将视为关于的方程的两个大于的根 故 点评：本题是韦达定理的逆用和方程根的分布问题。‎ 好题速递379题 已知中，，点为三角形外接圆的圆心，若，且，则面积的最大值为 ．‎ 解：取中点为，则 又，所以三点共线 又因为为弦心距，所以 故，所以 当且仅当时取得等号 好题速递380题 若函数是上的单调函数，且对任意的实数都有，则 ．‎ 解：由是上的单调函数得存在唯一实数，使得 于是，即 又，因为关于单调递增，且 所以必有，即 故 点评：本题的同类题有好题速递318题 好题速递381题 已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，使得成立，则点运动的轨迹长度为 ．‎ 解：‎ 对于圆外一定点，当都和圆相切时，最大 当时，四边形构成正方形，此时 所以点在圆内运动，点又在直线上运动，故点的轨迹就是在圆内部分，可求得其长度为 好题速递382题 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若集合，则实数的取值范围是 ．‎ 解：两个一次绝对值之和的图象是平底锅，且 当时，，显然符合题意 当时，画出图象如图所示，等价于函数的图象任何一点都不能在图象的上方，而的图象是将图象向右平移一个单位得到的。‎ 故，即，综上得 好题速递383题 已知函数，其中，若有实数使得且同时成立，则实数的取值范围是 ．‎ 解：因为，开口向上，且 且，所以满足或 因为是存在实数，故或 好题速递384题 已知实数满足，则的最小值是 ．‎ 解：‎ 要求的目标式可以视为点上半个椭圆上的点到点和到的距离之和 注意到点恰好是椭圆的右焦点，设左焦点为 所以 当且仅当点三点共线时取得等号，此时点是直线与椭圆在第一象限内的交点。‎ 点评：本题中出现平方加平方的式子，就要联想几何中的两点间距离。‎ 解析几何中遇到曲线上的一个点到一个焦点的距离出现时，不妨马上连结辅助线。‎ 求双变量代数式的最值问题，常见的转化方式有：通过代换转化为一元函数求最值问题；转化为均值不等式求最值；转化为线性规划求最值；转化为数形结合求最值。‎ 好题速递385题 已知函数，若关于的不等式恰好有一个整数解，则实数的取值范围是 ．‎ 解：画出的图象如图所示 当时，得或 此时化为，‎ 若，则此时有两解或，违背题意，‎ 故 此时 若，则关于的不等式恰有一个整数解。‎ 结合图象可知，可得 若，则关于的不等式恰有一个整数解。‎ 结合图象可知，可得 综上，或 好题速递386题 在正方形中，，分别是边上的两个动点，且，则的取值范围是 ．‎ 解：因为为定值，所以优先考虑使用极化恒等式 设为的中点，则 这来关键就要找到点的运动轨迹，注意到为直角三角形，是斜边上的中线等于斜边的一半，即，故点在以为圆心，为半径的圆弧上运动 故，即 所以 好题速递387题 在中，分别表示角所对的边长，为边上的高，若，则的最大值是 ．‎ 解法一：不妨设，则，‎ 这里求的最大值有技巧，我们注意到式子中有出现，因此考虑使用三角换元，设 ‎，‎ 则 A B C D 所以 解法二：建系设点 不妨设，，‎ 则 要使最大，显然时更大 则 解法三：设，则 即 所以 显然是齐次化了，所以令，‎ 则 解法四：，‎ 所以，‎ 令，则，即 解得 点评：这道解三角形的问题，无论是建系还是平面几何，最终都将目标转化为函数求值域的问题求解。因此求取值范围问题转函数求值域还是主流思想。‎ 好题速递388题 已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 ．‎ 解：由和，得 如图，由对称性可知四边形是平行四边形，故 又因为，所以 所以在，由余弦定理可得，即 好题速递389题 已知函数（其中为常数，，若实数满足：①，②，③，则的值为 ．‎ 解：‎ 一般情况下，此函数可以合二为一为最小正周期是的周期函数，同时满足条件①和③时，必有，与②矛盾。‎ 所以只有一种特殊情况可以同时满足三个条件，即两个系数都为0，‎ 即，解得 好题速递390题 已知向量，，定义，其中，若，的取值范围是 ．‎ 解法一：按条件，，‎ 可如图作出 此时为圆的直径，‎ 由且，可知在上的投影为 即的终点落在的中垂线上（图中虚线）‎ 又因为由知，的终点共线，又由于，所以的终点在之间 故当运动到时，为临界状态，此时取得最大为1，当运动到时，此时取得最小为。‎ 解法二：如图作矩形，‎ ‎，‎ 所以 因为，所以 所以，即 解法三：如图建系设点，，，，‎ 由 得 所以，所以，‎ 即 好题速递391题 在平面直角坐标系中，为轴正半轴上两个动点，点（异于原点）为轴上的定点，若以为直径的圆与圆相外切，且的大小为定值，则线段的长为 ．‎ 解：设以为直径的圆的圆心为，半径为 则 由两圆外切得 而，‎ 因为的大小为定值，故上式与无关，则，此时为定值。‎ 点评：这又是一个山高模型的好题。‎ 好题速递392题 已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 解：与的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合。‎ 因为且，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于 因此取纵坐标之差最小的状态为，此时 故 点评：本题是考查了二次函数的本质，要充分理解“管开口”这句话的真正含义，不仅只管抛物线开口方向，还决定了开口的大小程度。同类型关于“一只碗”的题还有很多，大家要注意，掌握好了，在选择填空题中可以秒杀。但大题要注意书写，至少说清楚每个步骤后面的奥秘。‎ 好题速递393题 已知点和圆，是圆上两个动点，且，则（为坐标原点）的取值范围是 ．‎ 解：取的中点为，则弦心距，所以点的运动轨迹为 ‎，‎ 由 所以 点评：圆的问题，弦心距是必添的辅助线，千万不能忘记。‎ 好题速递394题 已知椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率 ．‎ 解：设左焦点，连结 设，则，得 解得 点评：本题的解法很巧妙的利用了直线的斜率就是倾斜角的正切值和正弦定理，简化了计算。当然也可以用常规的点关于直线对称的方法去计算点坐标，然后代入椭圆方程成立也可以。‎ 好题速递395题 已知点在圆，点，且，，则的最小值为 ．‎ 解：取中点为，则 因为，所以中，斜边中线等于斜边一半得 连结，则在中，‎ 转化为点到圆上一点的距离最小值的问题 即 所以 好题速递396题 已知椭圆，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上关于轴对称的两点，为短轴的端点，线段恰好过右焦点，若，则椭圆的离心率 ．‎ 解：设，，，，‎ 即，则 所以，‎ 点在椭圆上，所以 化简得