专题62 巧妙分类灵活分步解决排列组合问题（理）-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题62 巧妙分类灵活分步解决排列组合问题（理）-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ‎(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.‎ ‎(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.‎ ‎2.排列与组合 ‎(1)理解排列、组合的概念.‎ ‎(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.‎ ‎(3)能解决简单的实际问题.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1+ m2+…+mn种不同的方法．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝_____________________种不同的方法．‎ ‎3．两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。‎ ‎2．排列与排列数 ‎(1)排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A.‎ ‎(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.‎ ‎ A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1.‎ ‎3．组合与组合数 ‎(1)组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．‎ ‎ (3)组合数公式C＝＝＝.‎ ‎ (4)组合数的性质性：C＝C. C＝C＋C (m≤n，n∈N*，m∈N*)．‎ 应用举例:‎ 类型一、两个原理的综合应用 ‎1、涂色问题 例1、如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有______种(用数字作答)．‎ ‎ ‎ 解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．‎ 例2【2017届东北三省三校第二次联合模拟】在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ）‎ A. 20 B. 21 C. 22 D. 24‎ ‎【答案】B ‎ 2、几何问题 例3、如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)‎ A．48　 　B．18 C．24 D．36‎ ‎ 解析：分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．‎ ‎3、集合问题 例4【2017届四川省资阳市高三上学期期末】设集合，那么集合中满足条件“ ”的元素个数为（ ）‎ A. 60 B. 65 C. 80 D. 81‎ ‎【答案】D ‎ 点评：1、在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．‎ ‎ 2、用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步：‎ ‎ (1)分类做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．‎ ‎ (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成了任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．‎ ‎ (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．‎ 类型二、解决排列问题常用方法 例5、7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：‎ ‎（1）甲、乙两人相邻；‎ ‎（2）甲、乙之间隔着2人；‎ ‎（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；‎ ‎（4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；‎ ‎（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；‎ ‎（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.‎ 试题解析：（1） （捆绑法）‎ ‎（2） （捆绑法）‎ ‎（3） （插空法）‎ ‎（4） （分步计数,从7人中任取3人,如a,b,c,则改变原位置站法有2种,b,c,a和c,a,b）‎ ‎（5） （等可能）‎ ‎（6）6× （固定模型,甲、乙两人坐法有（2,4）（2,5）（2,6）（3,5）（3,6）（4,6）6种）‎ 点评：解决排列问题常用方法:‎ 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中 先整体后局部：“小集团”排列问题中先整体后局部 定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法;正难则反，等价转化的方法 类型三、解决组合问题常用方法 例6【2017届重庆市第八中学高三高考适应性月考（七）】某学校开设校本选修课，其中人文类4门，自然类3门，其中与上课时间一致，其余均不冲突.一位同学共选3门，若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有__________种选课方式．（用数字填空）‎ ‎【答案】25‎ 例7、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队．‎ ‎(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？‎ ‎(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？‎ ‎(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？‎ ‎(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？‎ 解析　(1)共有C＝816(种)．(2)共有C＝8 568(种)．‎ ‎(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CC＋C＝6 936 (种)．‎ ‎(4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．‎ 点评：两类组合问题的解法 ‎(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ 类型四、排列与组合的综合问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.‎ ‎1、整体均匀分配 例8、国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法．‎ ‎ 解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法．‎ ‎2、部分均匀分配 例9【2017届江西省新余市第一中学高考全真模拟】某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）‎ A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520‎ ‎【答案】C ‎ 3、不等分配 例10【2017届福建省莆田第六中学二模】学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D 点评：解决分组分配问题的策略 ‎1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ ‎2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．‎ ‎3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、解排列组合综合应用问题的思路：‎ ‎ 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决. ‎ ‎2．排列问题与组合问题的识别方法：‎ ‎ 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 ‎ 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 ‎3、解排列组合题的“24字方针，12个技巧”：‎ ‎(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．‎ ‎(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：‎ ‎①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法； ③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法；‎ ‎⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法； ⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；‎ ‎⑨至少(多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．‎ 实战演练:‎ ‎1.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】‎ 某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）‎ A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 ‎【答案】C ‎【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.‎ ‎2.【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）‎ A. 250个 B. 249个 C. 48个 D. 24个 ‎【答案】C ‎ 3．【2017届重庆市第一中学高三下第二次月考】将大小形状相同的个黄球和个黑球放入如图所示的的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，设黄球、黑球分别是，则在十宫格中的排放格式分别有如下两种：，‎ 而每一种情形均有种情形，故所有不同的排法种数为，应选答案D.‎ ‎4.【2018届内蒙古包钢第一中学高三适应性考试（一）】把5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人。其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，若A校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方法共有( )‎ A. 148种 B. 132种 C. 126种 D. 84种 ‎【答案】C ‎ 5.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法. 故选D.‎ ‎6.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎7.【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】‎ ‎8.【2017届浙江省台州市高三4月调研】某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有__________种.（结果用数字表示）‎ ‎【答案】1296‎ ‎ 9.【2017届山东省德州市高三4月二模】现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________．‎ ‎【答案】189‎ ‎【解析】若没有红色卡片，若是3种颜色，那么有种方法，若是2种颜色，有种方法，若有红色卡片，那有一张红色的卡片，共有种方法，所以共有种方法，故填：189.‎ ‎10.【2018届浙江省名校协作体高三上学期】安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论： ①、五人分为2、2、1的三组，有 种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案， ②、五人分为3、1、1的三组，有种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案， 则共有 种不同的安排方案；‎ 学生甲被单独安排去金华时，共有种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是 放法．‎ ‎ ‎