数学理卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第二次质检（2017

数学理卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第二次质检（2017

衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷 理科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁UA）∩B等于（　 ）‎ A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎4.已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知为原点，点，的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且 ，则的最大值是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知数列{an}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015的值为（　　）‎ A． B．2015 C．2016 D．2013‎ ‎8.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（　 ）‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.的展开式中项的系数为20，则实数 ．‎ ‎14.从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是____．‎ ‎15.已知变量x，y满足，则的取值范围是　 　．‎ ‎16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　　．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn=f（n）=n2+2a|n﹣2|． ‎ ‎（1）若数列{an}为递增数列，求实数a的取值范围； ‎ ‎（2）当a=时，设数列{bn}满足：bn=2an，记{bn}的前n项和为Tn，求Tn，并求满足不等式Tn＞2015的最小整数n． ‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将 成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.‎ ‎（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；‎ ‎（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；‎ ‎（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=． ‎ ‎（1）求证：平面PQB⊥平面PAD； ‎ ‎（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值． ‎ ‎ ‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数，，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，当时，若，，总有成立，求 实数的取值范围.‎ 选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎23.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ 衡阳八中2017届高三年级第二次质检参考答案理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D A A B A A C A D A B ‎13.4‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.3πa2‎ ‎17.‎ ‎（1）n=1，a1=S1=1+2a．n≥2时，Sn=n2+2a（n﹣2），a1+a2=4，解得a2=3﹣2a． ‎ n≥3时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2a（n﹣2）﹣=2n﹣1+2a． ‎ ‎∵数列{an}为递增数列，∴a2＞a1，a3＞a2，n≥4时，an＞an﹣1， ‎ 联立解得：． ‎ ‎（2）a=时，an=， ‎ ‎∴bn=2an=． ‎ ‎∴n=1时，T1=4．n=2时，T2=4+4=8． ‎ n≥3时，Tn=8+=﹣． ‎ ‎∴Tn=． ‎ T5=1352， ‎ T6=5448，因此满足不等式Tn＞2015的最小值为6． ‎ ‎18.‎ ‎（1）频率分布直方图见解析，；（2）；（3）分布列见解析，.‎ ‎.‎ 故的分布列如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 依题意，故.‎ ‎19.‎ ‎（1）求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点， ‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． ‎ ‎∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． ‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ‎ ‎∴BQ⊥平面PAD． ‎ ‎∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD； ‎ ‎（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD． ‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD． ‎ ‎ 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． ‎ 则面BQC的法向量为； ‎ Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，）． ‎ 设M（x，y，z），则，， ‎ ‎∵PM=tMC，∴，则， ‎ 即， ‎ 在平面MBQ中，，， ‎ 设平面MBQ的一个法向量，由， ‎ ‎，取z=t，得x=． ‎ ‎∴平面MBQ法向量为． ‎ ‎∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴， ‎ 解得t=3． ‎ ‎20.‎ ‎（Ⅰ）由题意知，‎ 所以，即a2=4b2，∴a=2b 又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．‎ 由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①‎ 由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴‎ 又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是： ．‎ ‎（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．‎ 直线ME的方程为．令y=0，得．‎ 将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②‎ 由①得，代入②整理，得x=1．‎ 所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．‎ ‎21.‎ ‎(1) 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；(2).‎ ‎（2）当时，，‎ 由得或 当时，；当时，. ‎ 所以在上，‎ 而“，，总有成立”等价于 ‎“在上的最大值不小于在上的最大值” ‎ 而在上的最大值为 所以有 所以实数的取值范围是 ‎        ‎ ‎22.‎ ‎（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．‎ ‎∵α∈，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎