四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省宜宾叙州区第二中学高二第四学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知复数z满足，则复数等于 A. B. C. D.i ‎2.若6名男生和9名女生身高（单位：）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为 A.179，168 B.180，166 C.181，168 D.180，168‎ ‎3.设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为 A. B. C. D.‎ ‎4.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为 A. B. C. D.‎ ‎5.已知实数，满足条件，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎6.若函数在上单调递增，则a的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎7.已知直线与圆相交所得的弦长为，则圆的半径 A. B.2 C. D.4‎ ‎8.椭圆上的点到直线的距离的最小值为 A. B. C.3 D.6‎ ‎9.已知抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点A，点在曲线C上，，则 A.3p B.3 C.4p D.4‎ ‎10.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为 A. B. C. D.‎ ‎11.若函数f(x)=x‎2‎ex−a恰有3个零点，则实数a的取值范围是 A. ‎(‎4‎e‎2‎,+∞)‎ B. ‎(0,‎4‎e‎2‎)‎ C. ‎(0,4e‎2‎)‎ D. ‎‎(0,+∞)‎ ‎12.已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是 A. B.‎ C. D.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若双曲线的一条渐近线方程为，则_______.‎ ‎14.函数在处的切线与直线垂直，则实数______.‎ ‎15.若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是________.‎ ‎16.已知球的球面上有四点、、、，其中、、、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为______．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17（12分）.某校学生会为了解该校学生对2017年全国两会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类．已知这200名学生中男生比女生多20人，对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人．‎ ‎(I)根据题意建立列联表，并判断是否有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？‎ ‎（II）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人进行回访，求这2人全是男生的概率．‎ 参考公式和数据：，其中．‎ ‎18.（12分）已知函数f(x)=x‎2‎-2(a+1)x+2alnx(a>0)‎．‎ ‎(I)求f(x)‎的单调区间；‎ ‎（II）若f(x)≤0‎在区间‎[1,e]‎上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎19.（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，与平面所成的角为．‎ ‎(I)求证：平面平面；‎ ‎（II）若于，为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎20.（12分）已知椭圆： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线： 与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．‎ ‎21.（12分）已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.‎ ‎(I)分别写出，，，的极坐标方程；‎ ‎（II）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设 ‎(I)解不等式；‎ ‎（II）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省宜宾叙州区第二中学高二第四学月考试 文科数学答案 ‎1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.A ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17解：（1）由这名学生中男生比女生多人，可得男生人数为，女生人数为，‎ 设男生中“不太关注”的人数为，则男生中“比较关注”的人数为，‎ 由“不太关注”的学生中男生比女生少人，可得女生中“不太关注”的人数为，‎ 则女生中“比较关注”的人数为，‎ 由“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，可得，解得，‎ 则列联表如下：‎ 比较关注 不太关注 合计 男生 女生 合计 则的观测值，‎ 所以没有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异．‎ ‎（2）由题意得男生抽人、女生抽人，‎ 记这名男生分别为，名女生分别为 则所有的可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中人全是男生的有，，，，，，共种，故所求概率．‎ ‎18.解：‎(1)∵f(x)=x‎2‎-2(a+1)x+2alnx(a>0)‎．‎ ‎∴f'(x)=‎2x‎2‎-2(a+1)x+2ax=‎2(x-1)(x-a)‎x(x>0)‎‎，‎ 由得x‎1‎‎=a，x‎2‎‎=1‎，‎ 当‎01‎时，在x∈(0,1)‎或x∈(a,+∞)‎时，‎ 在x∈(1,a)‎时．‎ ‎∴f(x)‎的单调增区间是‎(0,1)‎和‎(a,+∞)‎，单调减区间是‎(1,a)‎．‎ ‎(2)‎由‎(1)‎可知f(x)‎在区间‎[1,e]‎上只可能有极小值点，‎ ‎∴f(x)‎在区间‎[1,e]‎上的最大值在区间的端点处取到，‎ 即有f(1)=1-2(a+1)≤0‎且f(e)=e‎2‎-2(a+1)e+2a≤0‎，‎ 解得a≥‎e‎2‎‎-2e‎2e-2‎．即实数a的取值范围是a≥‎e‎2‎‎-2e‎2e-2‎．‎ ‎19.（1）证明：∵平面，‎ ‎∴与平面所成的角为，∴，‎ ‎∵，，∴，即有，‎ 又，，平面，平面，‎ ‎∴平面，平面，∴平面平面；‎ ‎（2）解：由平面，可得，‎ 又，可得平面，‎ 即有，在直角三角形中，，，‎ 由，可得，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎20.（Ⅰ）由已知， ，则椭圆E的方程为.‎ 由方程组得.①‎ 方程①的判别式为，由，得，‎ 此时方程①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.‎ ‎（Ⅱ）由已知可设直线的方程为，‎ 由方程组可得 所以P点坐标为（），.‎ 设点A，B的坐标分别为.‎ 由方程组可得.②‎ 方程②的判别式为，由，解得.‎ 由②得.‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以 ‎.故存在常数，使得.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域是，，‎ ‎（i）若，当时，，当时，，故在递增，在递减，‎ ‎（ii）若，当时，，当时，，故在递增，在递减；‎ ‎（2）当时，由（1）得，，‎ 令，设，则，‎ ‎，∵，当时，， 当时，， ‎ 故在递增，在递减，故，‎ 故时，成立．‎ ‎22.（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，‎ 则在直角三角形中，，，，得：.‎ 所以曲线的极坐标方程为：‎ 又在曲线上任取一点，则在中，，，，‎ ‎，，由正弦定理得：， ‎ 即：，化简得的极坐标方程为：‎ 同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，‎ 解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）‎ 由题意可知，，，的直角坐标方程为：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以，，，的极坐标方程为：，‎ ‎，，‎ ‎（2）当时，，，‎ 当时，，，‎ 所以点的极坐标为，‎ ‎23.（1）‎ 令 当时 当时 ‎，当时 综上所述 ‎（2）恒成立等价于 ‎（当且仅当时取等）‎ 恒成立