【数学】广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试试题（理）（解析版）

【数学】广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试试题（理）（解析版）

广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试 数学试题（理）‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x||x﹣1|≤2}，则A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1}∪[2，3] B．[2，3] C．[1，3] D．{﹣1}∪[1，3]‎ ‎2．已知（a+2i）2（a∈R）是纯虚数，则|a+i|＝（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎3．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程 大位著．书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一 个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分 别填入（　　）‎ A．；n＝100？ B．；n＝100？ ‎ C．；s＝100？ D．；s＝100？‎ ‎4．已知实数a满足：a2﹣1≤0．命题P：函数y＝x2﹣4ax﹣1在[﹣1，1]上单调递减．则命 题P为真命题的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知{an}是各项不相等的等差数列，若a1＝4，且a2，a4，a8成等比数列，则数列{an}的 前8项和S8＝（　　）‎ A．112 B．‎144 ‎C．288 D．110‎ ‎6．函数f（x）＝的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（1﹣x）（1+2x）4展开式中x2的系数为（　　）‎ A．﹣24 B．﹣‎8 ‎C．16 D．24‎ ‎8．已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则||＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．将函数f（x）＝sin2x+2图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　）‎ A．g（x）的周期为π ‎ B．g（x）是偶函数 ‎ C．g（x）的图象关于直线对称 ‎ D．g（x）在上单调递增 ‎11．已知双曲线C：，以P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且PM⊥PN，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，且AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则PA＝（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．若曲线y＝x3﹣x2在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为　 　．‎ ‎14．公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S4﹣5S2＝0，则S6﹣S3的值为　 　．‎ ‎15．为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为　 　．‎ ‎16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P，Q，则|PQ|的最小值为　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．‎ ‎（1）若B＝，求c；‎ ‎（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积 ‎18．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE＝PA，PA⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：PE⊥平面DBE；‎ ‎（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．‎ ‎19．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）‎ 分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．‎ ‎（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；‎ ‎（Ⅱ）在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假，为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止．设审核次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎20．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于点C，D两点，与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣mx2（m∈R）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜2＜x2，求证：ln（x22﹣x12+1）﹣．（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）‎ ‎（选做题22-23）‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，M，N是曲线C上的两点，若∠MON＝，求|OM|+|ON|的最大值．‎ ‎23．函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c，其中a＞0，b＞0，c＞0．‎ ‎（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；‎ ‎（2）若f（x）的最小值为3，求证：．‎ 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥2}，‎ B＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x＝﹣1或2≤x≤3}＝{﹣1}∪[2，3]．‎ 故选：A．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】（a+2i）2＝a2﹣4+4ai，‎ ‎∵（a+2i）2（a∈R）是纯虚数，‎ ‎∴，即a＝±2，‎ 则，‎ 故选：B．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，‎ 根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，‎ 设馒头数为s，则，‎ 所以①中填入，‎ 当s＝100时结束程序，输出n．‎ 所以②中应该为：s＝100？．‎ 故选：D．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】因为a2﹣1≤0⇒﹣1≤a≤1；‎ 若P为真命题：则有对称轴‎2a≥1⇒a≥；‎ ‎∴命题P为真命题的概率为：＝；‎ 故选：A．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】{an}是各项不相等的等差数列，设公差为d，d≠0，‎ 若a1＝4，且a2，a4，a8成等比数列，‎ 可得a‎2a8＝a42，‎ 即（4+d）（4+7d）＝（4+3d）2，‎ 解得d＝4（0舍去），‎ 则数列{an}的前8项和S8＝8×4+×8×7×4＝144．‎ 故选：B．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】由题知f（x）为奇函数，排除D；‎ 因为，排除C；‎ 又因为，所以排除B，‎ 故选：A．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】含x2的项为1ו（2x）2+（﹣x）•2x＝16x2，‎ 所以，x2的系数等于16，‎ 故选：C．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】∵为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，‎ 故•＝||•||cosθ＝﹣；则||＝＝＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】几何体可以看作长方体的一部分，‎ 也可以看作是正三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，如图所示；‎ 则该几何体的棱长为：AE＝AD＝2，‎ AC＝BC＝BE＝ED＝DC＝AC＝BC＝2．‎ 所以该几何体的棱长最大的是2．‎ 故选：B．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】函数f（x）＝sin2x+2＝sin2x+＝2，‎ 把函数图象向右平移个单位，得到y＝2sin[2（x﹣）+]＝，‎ 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到g（x）＝2sin（x+）．‎ ‎①故函数的最小正周期为2π，故选项A错误．‎ ‎②函数g（x）≠g（﹣x），不为偶函数，故选项B错误．‎ ‎③当x＝时，g（）＝≠2，故选项C错误．‎ ‎④由于x∈（﹣），所以，故函数g（x）单调递增．故选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】由题意可得渐近线的方程bx﹣ay＝0，所以圆心（b，0），圆心到渐近线的距离d＝＝，‎ 再由PM⊥PN，PM＝PN＝a，所以可得d＝a，‎ 即＝a，而b2＝c2﹣a2，所以可得c2﹣＝a2＝0，即e2﹣e﹣＝0，‎ 解得e＝或e＝﹣（舍），‎ 故选：A．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】设底面四边形ABCD的外接圆为圆M，如图所示：‎ ‎，‎ ‎∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，‎ ‎∴△ADC≌△ABC，‎ ‎∴∠ADC＝∠ABC，‎ 又因为圆内接四边形对角互补，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴底面四边形ABCD的外接圆的圆心M为AC的中点，‎ ‎∵AD＝1，CD＝2，∠ADC＝90°，∴AC＝，即面四边形ABCD的外接圆的半径r＝，‎ 过点M作底面ABCD的垂线，则球O的球心O在垂线上，如图所示：‎ ‎，‎ 过球心O作ON⊥PA于点N，故四边形AMON为矩形，‎ ‎∵球O的表面积为36π，∴4πR2＝36π，∴R＝3，‎ 在Rt△OAM中：AM＝r＝，OA＝R＝3，∴OM＝＝，‎ 在Rt△PON中：ON＝AM＝r＝，OP＝R＝3，∴PN＝＝，‎ ‎∴PA＝PN+AN＝PN+OM＝，‎ 故选：C．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解析】 y＝x﹣1或　‎ ‎【解析】据题意设P，且y＝x3﹣x2在点P处的切线斜率为1，y′＝3x2﹣2x，‎ ‎∴，解得，或1，‎ ‎∴，或P（1，0），‎ ‎∴切线l的方程为或y＝x﹣1．‎ 故答案为：或y＝x﹣1．‎ ‎14．【答案】56　‎ ‎【解析】∵公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S4﹣5S2＝0，显然，公比q≠1．‎ ‎∴，解得，‎ 则S6﹣S3＝﹣＝56，‎ 故答案为：56．‎ ‎15．【答案】　114　‎ ‎【解析】根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①将5人分成3组，要求甲乙不在同一组，‎ 若分成3、1、1的三组，有C53﹣C31＝7种分组方法，‎ 若分成2、2、1的三组，有﹣C32＝12种分组方法，‎ 则有7+12＝19种分组方法；‎ ‎②将分好的三组全排列，对应3所不同的学校，有A33＝6种情况，‎ 则有19×6＝114种安排方法；‎ 故答案为：114．‎ ‎16．【答案】　4　‎ ‎【解析】根据题意，作出如下所示的图形，‎ 由题可知，焦点F（1，0），设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，‎ 联立，得y2﹣4my﹣4＝0，∴，，‎ ‎∵直线OA的方程为，‎ ‎∴令x＝﹣1，则，∴P（﹣1，），‎ 同理可得，Q（﹣1，），‎ 记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有|PD|•|QD|＝，‎ 由|PQ|＝|PD|+|QD|≥＝4，可知|PQ|的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B＝，‎ 由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 即49＝25+c2﹣2×5×c×cos，‎ 整理得c2﹣‎5c﹣24＝0，‎ 解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去），‎ 所以c＝8；‎ ‎（2）如图所示，‎ 点M是边AB的中点，CM＝3，‎ ‎＝（+），‎ 所以＝（+2•+），‎ 即9＝×（49+2×7×5×cos∠ACB+25），‎ 解得cos∠ACB＝﹣，‎ 所以sin∠ACB＝＝，‎ ‎△ABC的面积S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB＝×7×5×＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎18．（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，‎ ‎∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APEC，‎ ‎∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，‎ 设AB＝1，则AD＝1，PA＝2，∴PD＝，‎ 同理解得DE＝，要梯形PACE中，解得PE＝，‎ ‎∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，‎ ‎∵BD∩DE＝D，∴PE⊥平面DBE．‎ ‎（2）解：以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 令AB＝1，则CE＝，AP＝2，‎ ‎∴P（0，0，2），E（1，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），‎ ‎＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣1，0，2），＝（0，﹣1， 2），＝（1，﹣1，0），‎ 设平面DPE的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取z＝1，得＝（2，﹣1，1），‎ 设平面BPD的法向量＝（a，b，c），‎ 则，取c＝1，得＝（2，2，1），‎ 设二面角B﹣PD﹣E的平面角为θ，‎ 则cosθ＝＝，‎ ‎∴二面角B﹣PD﹣E的正弦值sinθ＝＝．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意，该小组共有11名销售员2019年度的月均销售额超过了3.52万元，‎ 故月均销售额超过了3.52万元的销售员占该小组的比例是＝55%＜65%，‎ 故不需要对抽取的销售小组发放奖励；‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能的取值为：1，2，3，4，‎ 则P（X＝1）＝＝，‎ P（X＝2）＝＝，‎ P（X＝3）＝＝，‎ P（X＝4）＝＝，‎ 故X的分布列是：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P（X）‎ ‎∴E（X）＝1×+2×+3×+4×＝．‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题可知：，，‎ 所以a＝2，b＝1，‎ 则椭圆E的方程为；‎ ‎（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入得（1+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4＝0，‎ 设D（x1，y1），C（x2，y2），则，，‎ 又，N（0，m），‎ 因|CM|＝|DN|，所以xM﹣x1＝x2﹣xN，即xM+xN＝x1+x2，‎ 所以，‎ 因为y＝kx+m（k＞0）与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，‎ 所以m≠0，又k＞0，‎ 则，‎ 故x1+x2＝﹣‎2m，，‎ 因为直线y＝kx+m（k＞0）与线段F‎1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，‎ 所以，即，且m≠0，‎ 所以 ‎＝，‎ 因为，且m≠0，‎ 所以当或时，|CD|的最小值为．‎ ‎21．解：（1）＝，‎ m≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当m＞0时，由f′（x）＞0可得，0，由f′（x）＜0可得x，‎ 所以f（x）在（0， ）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，‎ 证明：（2）由题意可得＝0即m＝，‎ 令t＝x2＞2，则g（t）＝，‎ 所以，‎ 当时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，‎ ‎∵，∴m，‎ ‎∵f（1）＝﹣m＜0，f（）＝ln﹣2m＝0，‎ ‎∴，‎ 令s＝则s＞4﹣2+1＝3，‎ 由（1）可知，当m＝时，f（x）在（，+∞）上单调递减，‎ 所以f（s）＝lns﹣＜f（3）＝ln3﹣＝，‎ ‎∴ln（x22﹣x12+1）﹣．‎ ‎22．解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，‎ 根据，整理得，转换为极坐标方程为．‎ ‎（2）设M（ρ1，θ），N（），‎ 所以|MM|＝ρ1+ρ2＝＝＝＝2，‎ 当sin（）＝1时，．‎ ‎23．解：（1）当a＝b＝c＝1时，不等式f（x）＞4化为|x+1|+|x﹣1|+1＞4，‎ 即|x+1|+|x﹣1|＞3．‎ 当x≥1时，化为x+1+x﹣1＞3，解得；‎ 当﹣1＜x＜1时，化为x+1﹣（x﹣1）＞3，此时无解；‎ 当x≤﹣1时，化为﹣（x+1）﹣（x﹣1）＞3，解得．‎ 综上可得，不等式f（x）＞4的解集为：；‎ 证明：（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴由绝对值不等式得f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c＝a+b+c＝3．‎ 由基本不等式得：‎ ‎，，，‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时，上面三式等号成立．‎ 三式相加得：，‎ 整理即得．‎ 故．‎