专题11+直线与圆的方程测试题-2019年高考数学艺术生百日冲刺专题测试

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专题11+直线与圆的方程测试题-2019年高考数学艺术生百日冲刺专题测试

‎2019年艺术生百日冲刺专题测试 专题11直线和圆的方程测试题 ‎【高频考点】本知识涉及直线的倾斜角与斜率,两直线的位置关系,圆的方程,直线与圆的位置关系,弦长计算以及对称问题,直线过定点问题。‎ ‎【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一,涉及题型主要选择题与填空题,考察两直线的垂直平行关系,以及直线与圆的位置关系以及圆与圆锥曲线的综合交汇,注意利用平面几何的性质求解。‎ ‎【重点推荐】第22题,涉及证明定值问题以及最值问题,考察综合能力,第8题数学文化题,第20题考察三角函数恒等变换与直线的交汇,命题角度新颖,考察综合解决问题的能力。‎ 一选择题 ‎1. 直线x+y﹣1=0的倾斜角等于(  )‎ A.45° B.60° C.120° D.135°‎ ‎【答案】:D ‎【解析】直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1,设其倾斜角为θ(0°≤θ<135°),‎ ‎∴tanθ=﹣1,则θ=135°.故选:D.‎ ‎2. (2018•资阳模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为(  )‎ A.﹣1或2 B.0或2 C.2 D.﹣1‎ ‎【答案】:D ‎【解析】由a•a﹣(a+2)=0,即a2﹣a﹣2=0,解得a=2或﹣1.经过验证可得:a=2时两条直线重合,舍去.∴a=﹣1.故选:D.‎ ‎3. (2018•北京模拟)直线l:3x+4y+5=0被圆M:(x﹣2)2+(y﹣1)2=16截得的弦长为(  )‎ A. B.5 C. D.10‎ ‎【答案】:C ‎【解析】∵圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=16,∴圆心(2,1),半径r=4,圆心到直线的距离d==3,∴直线3x+4y+5=0被圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=16截得的弦长l=2.故选:C.‎ ‎4.已知点(﹣1,2)和(,0)在直线l:ax﹣y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l倾斜角的取值范围是(  )‎ A.(,) B.(0,)∪(,π) C.(,) D.(,)‎ ‎【答案】D ‎【解析】:点(﹣1,2),(,0)在直线ax﹣y+1=0的同侧,‎ ‎(﹣a﹣2+1)(a+1)>0,解不等式可得,﹣<a<﹣1∴,故选:D.‎ ‎5(2018•武汉模拟)已知圆C1:,x2+y2=r2,圆C2:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,给出下列结论:①a(x1﹣x2)+b(y1﹣y2)=0;②2ax1+2by1=a2+b2;③x1+x2=a,y1+y2=b.其中正确结论的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】:D ‎6. (2018•丹东二模)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x﹣6y+4=0相外切,则C的方程为(  )‎ A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2﹣4x+2=0 C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2﹣4x=0‎ ‎【答案】:D ‎【解析】圆x2+y2+4x﹣6y+4=0的圆心为M(﹣2,3),半径为r=3,‎ CM==5,∴圆C的半径为5﹣3=2,∴圆C的标准方程为:(x﹣2)2+y2=4,即x2+y2﹣4x=0.故选:D. ‎ ‎7. (2018•房山区一模)圆x2+y2=4被直线y=﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°,则b的值(  )‎ A.±2 B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】:根据题意,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,若圆x2+y2=4被直线y=﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°,则圆心到直线的距离d==1,即=1,解可得b=±2,故选:A.‎ ‎8. 已知点P在直线x+3y﹣2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是(  )‎ A.[﹣,0) B.(﹣,0) C.(﹣,+∞) D.(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)‎ ‎【答案】:D ‎【解析】∵点P在直线x+3y﹣2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),∴‎ ‎,化为x0+3y0+2=0.又y0<x0+2,设=kOM,当点位于线段AB(不包括端点)时,则kOM>0,当点位于射线BM(不包括端点B)时,kOM<﹣.∴的取值范围是(﹣∞,﹣)∪(0,+∞).故选:D. ‎ ‎9. 一条光线从点(﹣2,3)射出,经x轴反射后与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【答案】:D ‎【解析】由题意可知:点(﹣2,﹣3)在反射光线上.设反射光线所在的直线方程为:y+3=k(x+2),即kx﹣y+2k﹣3=0.由相切的性质可得: =1,化为:12k2﹣25k+12=0,‎ 解得k=或.故选:D.‎ ‎10. (2018•宜宾模拟)过点P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(  )‎ A.2x﹣3y=0 B.3x﹣2y=0或x+y﹣5=0‎ C.x+y﹣5=0 D.2x﹣3y=0或x+y﹣5=0‎ ‎【答案】:B ‎【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时,设该直线的方程为x+y=a,‎ 把(2,3)代入所设的方程得:a=5,则所求直线的方程为x+y=5即x+y﹣5=0;‎ ‎②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时,设该直线的方程为y=kx,‎ 把(2,3)代入所求的方程得:k=,则所求直线的方程为y=x即3x﹣2y=0.‎ 综上,所求直线的方程为:3x﹣2y=0或x+y﹣5=0.故选:B.‎ ‎11. (2018•红河州二模)已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解,则实数k的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:C ‎12. (2018•涪城区校级模拟)若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是(  )‎ A.[2﹣,1] B.[2﹣,2+] C.[,] D. [0,+∞)‎ ‎【答案】:B ‎【解析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可化为(x﹣2)2+(y﹣2)2=18,则圆心为(2,2),半径为3;则由圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2可得,圆心到直线l:ax+by=0的距离d≤3﹣2=;即≤,则a2+b2+4ab≤0,‎ 若a=0,则b=0,故不成立,故a≠0,则上式可化为1+()2+4≤0,‎ 由直线l的斜率k=﹣,则上式可化为1+k2﹣4k≤0,则∈[2﹣,2+],故选:B.‎ 二.填空题 ‎13. 已知两点A(0,1),B(4,3),则线段AB的垂直平分线方程是  .‎ ‎【答案】:2x+y﹣6=0‎ ‎【解析】两点A(0,1),B(4,3),中点坐标为:(2,2),直线AB的斜率为:=,AB垂线的斜率为:﹣2,线段AB的垂直平分线方程是:y﹣2=﹣2(x﹣2),即:2x+y﹣6=0,‎ 故答案为2x+y﹣6=0.‎ ‎14. (2018•顺义区二模)圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=1的圆心到直线y=2x+2的距离为  .‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=1的圆心为C(2,1),直线y=2x+2化为一般形式是2x﹣y+2=0,则圆心到直线的距离为d==.故答案为:.‎ ‎15. (2018•铜山区三模)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)及圆上的点A(﹣r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,若AB=2BC,则直线l的斜率为  .‎ ‎【答案】:或.‎ ‎【解析】由题意直线l的方程为=,即x﹣ry+r=0,联立直线与圆的方程:,得C(,),∵AB=2BC,∴=2,‎ 解得r=或r=,∴直线l的斜率k==或k==.故答案为:或.‎ ‎16设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值是  .‎ ‎【答案】:2.‎ ‎【解析】由题意可得动直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx﹣y﹣m+3=0可化为(x﹣1)m+3﹣y=0,令可解得,即B(1,3),又1×m+m×(﹣1)=0,故两直线垂直,‎ ‎∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2‎ ‎=(|PA|+|PB|)2﹣2|PA||PB|‎ ‎≥(|PA|+|PB|)2﹣2()2‎ ‎=(|PA|+|PB|)2,‎ ‎∴(|PA|+|PB|)2≤20,‎ 解得|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号.故答案为:2.‎ 三.解答题 ‎17. (本题10分)直线的倾斜角为45,在x轴上的截距为-2,直线和x轴,y轴分别交于点A,B,在线段AB为边在第二象限内作等边△ABC,如果在第二象限内有一点P(m, 1)使得△ABP和△ABC的面积相等,求m的值. ‎ ‎(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;‎ ‎(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证:为定值;‎ ‎(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使△CDE的面积最大.‎ ‎【解析】:(1)圆C:x2+y2+2x﹣3=0,配方得(x+1)2+y2=4,‎ 则圆心C的坐标为(﹣1,0),圆的半径长为2;…………3分 ‎(2)设直线l的方程为y=kx,‎ 联立方程组,‎ 消去y得(1+k2)x2+2x﹣3=0,…………5分 则有:;‎ 所以为定值;…………7分 ‎(3)解法一:设直线m的方程为y=kx+b,则圆心C到直线m的距离,‎ 所以,‎ ‎≤,…………9分 当且仅当,即时,△CDE的面积最大,‎ 从而,解之得b=3或b=﹣1,‎ 故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.‎ 解法二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,‎ 所以≤2,‎ 当且仅当CD⊥CE时,△CDE的面积最大,此时;‎ 设直线m的方程为y=x+b,则圆心C到直线m的距离,‎ 由,得,‎ 由,得b=3或b=﹣1,‎ 故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.…………12分
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