2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题04 函数与导数（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题04 函数与导数（讲）（解析版）

专题04 函数与导数 ‎1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )‎ A． B．a=e，b=1‎ C． D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．‎ ‎【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.‎ ‎2．(2019浙江)已知，函数．若函数恰有3个零点，则( )‎ A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 ‎ C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当x＜0时，y＝f(x)﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝(1﹣a)x﹣b＝0，得x，则y＝f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f(x)﹣ax﹣bx3(a+1)x2+ax﹣ax﹣bx3(a+1)x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f(x)﹣ax﹣b在[0，+∞)上单调递增，则y＝f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞)，此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1)，此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f(x)﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f(x)﹣ax﹣b在(﹣∞，0)上有一个零点，在[0，+∞)上有2个零点，如图：‎ ‎∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b(a+1)3，则a>–1，b<0.故选C．‎ ‎3．【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，恒成立；当时，‎ 恒成立，令，则 ‎，当，即时取等号，∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.‎ ‎4．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由得，设斜率为的直线与切于，由得(舍去)，∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.‎ 一、考向分析： ‎ 函数与导数 导数的几 何意义 导数与函的 极值、最值 导数与函 数单调性 导数与零点 导数与不等式 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 导数的几 何意义 ‎1．求切线方程的方法 ‎(1)求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程。‎ ‎(2)求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程。‎ ‎2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数。‎ ‎(1)切点处的导数是切线的斜率。(2)切点在切线上。(3)切点在曲线上。‎ 导数与函 数单调性 ‎1、确定函数单调区间的步骤 ‎(1)确定函数f(x)的定义域。(2)求f′(x)。‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。‎ ‎2．函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在 ‎(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。‎ ‎3、根据函数单调性求参数的一般思路 ‎(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集。‎ ‎(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解。‎ ‎4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点。‎ ‎5、个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数。‎ 导数与函数 极值、最值 ‎1、函数极值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。‎ ‎(2)已知函数求极值。求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论。‎ ‎(3)已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。‎ ‎2、求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路：‎ 若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值。‎ 导数与 不等式 ‎1．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式。‎ ‎2、对于不等式的证明问题可考虑：①通过研究函数的单调性进行证明；②根据不等式的结构构造新函数，通过研究新函数的单调性或最值来证明。有些不等式直接移项、构造函数证明会导致运算量很大，而先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决。‎ ‎3．函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少2问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到。‎ ‎4．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex>x＋1可化为ln(x＋1)0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－‎2a－。又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是[－2,0]。‎ ‎2．形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”‎ 此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集”来求解参数的取值范围。‎ ‎【典例2】已知函数f(x)＝函数g(x)＝ksin－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围。‎ ‎【解】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分。先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是。‎ ‎3．形如“对任意x1∈A及x2∈B，都有f(x1)0；当x∈时，f′(x)<0，所以[f(x)]max＝f＝。又f(0)＝4，f(a)＝，f(a)－f(0)＝，所以，当

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