高考全国卷数学试题及答案
1990年高考试题
（理工农医类）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选
项前的字母填在题后括号内.
【 】
【 】
(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于
【 】
(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】
(5) 【 】
【 】
(A){-2,4} (B){-2,0,4}
(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}
(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么【 】
(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6
【 】
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线的一支 (D)抛物线
【 】
(B){(2,3)}
(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1}
【 】
(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、
F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等
于【 】
(A)90°(B)60° (C)45° (D)30°
(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命
题乙为:两个实数a,b满足│a－1│
0,方程③变为x2＋2x=a. ④
.
由此可知:当a=0时,方程④无正根;
(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤
.
由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;
当a>0时,方程⑤有负根
x=1- .
(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.
由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;
当a>0时,方程⑥无零解.
所以,原方程的实数解是:
当a=0时,z=0;
.
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的
纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为
-y2+2│y│=a. ⑦
(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧
由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.
当a≤1时解方程⑧得
y=1± ,
从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;
当01时,方程⑨无实根.
当a≤1时解方程⑨得 y=-1± ,
从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;
当01时,原方程无纯虚数解.
解法二:设z=x+yi代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面
分别加以讨论.
情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为
x2+2│x│=a.
即 | x |2+2│x│=a. ③
解方程③得
,
所以,原方程的实数解是
.
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的
纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为
-y2+2│y│=a.
即 -│y│2 +2│y│=a. ④
当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,
即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.
当01时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.
解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其
解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).
情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.
情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.
解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得
r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.
于是原方程等价于方程组
情形1.若r=0.①式变成
0=a. ③
由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.
当a>0时,方程③无解.
所以, 当a=0时,原方程有解z=0;
当a>0时,原方程无零解.
考查r>0的情形.
(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为
r2+2r=a. ④
.
由此可知:当a=0时,方程④无正根;
当a>0时,方程④有正根 .
所以,当a>0时,原方程有解 .
(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为
-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤
由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;
.
从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;
.
所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i;
当01时,原方程无纯虚数解.
(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.
解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是
其中a>b>0待定,0≤θ<2π.
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
大值,由题设得
,
因此必有
,
由此可得 b=1,a=2.
所求椭圆的参数方程是
.
解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是
其中a>b>0待定.
,
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
其中 -byb.
由此得
,
由此可得 b=1,a=2.
所求椭圆的直角坐标方程是
(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关
知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是
1+2x+…(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,
上都是增函数,
在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值
也就是a的取值范围为
(Ⅱ)证法一:2f(x)
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