2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，．若，则 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ 集合，，‎ ‎ ∴是方程的解，即 ‎ ∴‎ ‎ ∴，故选C ‎2．函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数定义域,可排除AB选项,由复合函数单调性可排除C选项,即可确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 函数 则定义域为,解得,所以排除A、B选项 因为为单调递减函数, 在时为单调递减函数 由复合函数单调性可知为单调递增函数,所以排除C选项 综上可知,D为正确选项 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题.‎ ‎3．函数的零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.‎ ‎【详解】‎ 函数 则 根据零点存在定理可知,在内必有零点.‎ 而函数单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在内.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.‎ ‎4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．‎ 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)‎ A.① B.①②‎ C.①③ D.①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．‎ ‎【详解】‎ 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．‎ ‎【点睛】‎ 数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口．‎ ‎5．已知，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:‎ ‎,所以 ‎,所以 所以 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题.‎ ‎6．函数的零点的个数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数.‎ ‎【详解】‎ 函数的零点 即为,所以 画出两个函数图像如下图所示:‎ 根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数有3个零点 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题.‎ ‎7．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，‎ 又方程的一根在区间内，另一根在区间内，‎ ‎∴即解得：‎ 故选：B ‎8．若数，且，则（ ）‎ A. B.4 C.3 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将函数变形为,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 将函数变形为 令 则 所以 即 所以为奇函数 因为,‎ 所以由代入可得 两式相加可得 所以 即 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题.‎ ‎9．已知函数,若，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图像,根据图像分析出的取值范围,即可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数 画出函数图像如下图所示:‎ 因为且,不妨设 当时,或 所以 ‎ 因为 即,去绝对值可得 所以,根据对数运算得 即 所以 因为,由对勾函数的图像与性质可知 则 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题.‎ ‎10．已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（ ）‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 根据函数,画出图像如下图所示:‎ 取最大值后函数图像为:‎ 由图像可知,当时取得最小值,即 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.‎ ‎11．给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ）‎ ‎①函数图象恒在轴的下方；‎ ‎②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；‎ ‎③若函数的值域为，则实数的取值范围是；‎ ‎④函数的图像关于对称的函数解析式为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断;‎ 对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;‎ 对于③根据对数函数值域为R时,判别式满足的条件,即可求得的取值范围;‎ 对于④根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断.‎ ‎【详解】‎ 对于①函数,由复合函数的单调性判断方法可知,‎ 函数在时单调递增,在时单调递减.即在处取得最大值.‎ 所以,所以函数图像恒在轴的下方,所以①正确;‎ 对于②的图像经过先关于轴对称,可得;再向右平移1个单位可得,所以②正确;‎ 对于③函数的值域为,则满足能取到所有的正数.即满足,解不等式可得或,所以③错误.‎ 对于④函数的图像关于对称的函数为的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为,所以④正确.‎ 综上可知,正确的有①②④‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.‎ ‎12．若函数，则使不等式有解时，实数的最小值为（ ）‎ A.0 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 函数 由对数运算化简可得 由对勾函数的图像与性质可知 因为不等式有解 所以 即 所以实数的最小值为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．函数恒过定点的坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 函数 当时, ‎ 所以定点坐标为 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题.‎ ‎14．若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数解析式求法,先求得的解析式,再代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数 令 则 所以 即 所以 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.‎ ‎15．若函数是奇函数．则实数_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据奇函数,即可求得的值,进而得的值.‎ ‎【详解】‎ 函数是奇函数 所以满足,即 化简后可得 ‎ 因为对于任意上式恒成立,所以满足 解方程可得或 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.‎ ‎16．已知函数若存在实数且使得函数成立，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】讨论对数函数的底数的两种情况:.画出图像即可研究存在不相等实数使函数成立的情况.‎ ‎【详解】‎ 当时,函数的图像如下图所示:‎ 所以此时存在实数使得恒成立,‎ 当时,函数图像如下图所示:‎ 若存在实数使得恒成立,‎ 则,解不等式可得 综上可知, 实数的取值范围为或 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集，集合，集合是的定义域.‎ ‎（1）当时，求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）代入的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合.‎ ‎（2）根据集合关系可知,即B为的子集,根据包含关系即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 则 根据对数图像与性质可知的定义域为 所以 ‎（2）解不等式可得 所以,‎ 因为 所以 所以,即 实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题.‎ ‎18．求下列各式的值 ‎（1）；‎ ‎（2）已知，求值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）由指数幂及对数的运算,化简即可求解.‎ ‎（2）根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得 ‎（2）因为 两边同时平方可得 所以 由立方和公式及完全平方公式化简可得 ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.‎ ‎19．设函数 ‎（1）解关于的方程；‎ ‎（2）令，求的值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.‎ ‎（2）根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数 代入可得 令 则 解得或 即或 解得或 ‎（2）根据题意 则 所以 且 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.‎ ‎20．已知函数为偶函数，且.‎ ‎（1）求的值，并确定的解析式；‎ ‎（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.‎ ‎【答案】（1）或,（2）存在;‎ ‎【解析】（1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.‎ ‎（2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 则,解不等式可得 ‎ 因为 则或或 又因为函数为偶函数 所以为偶数 当时, ,符合题意 当时, ,不符合题意,舍去 当时, ,符合题意 综上可知, 或 此时 ‎（2）存在.理由如下:‎ 由（1）可得 则且 当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立 即解不等式组得 当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立 即解不等式组得 综上可知,当或时, 在上为减函数 所以存在实数,满足在上为减函数 ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.‎ ‎21．已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且有恒成立.‎ ‎（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（2）若函数有零点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增函数;证明见解析. （2）‎ ‎【解析】（1）在定义域内任取,代入作差,结合即可证明单调性.‎ ‎（2）根据零点的定义, 结合奇函数性质即可转化为关于的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数在上单调递增.‎ 证明:因为定义在上的奇函数 则 任取,且 ‎ 则 因为时有恒成立.‎ 所以,即 所以在上单调递增 ‎（2）因为定义在上的奇函数,且 所以 若函数有零点 即有解 所以有解即可.‎ 则 因为 所以 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.‎ ‎22．已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；‎ ‎（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2） （3）不存在,理由见解析.‎ ‎【解析】（1）根据定义域为R且为奇函数可知, 代入即可求得实数的值.‎ ‎（2）由（1）可得函数的解析式,并判断出单调性.根据将不等式转化为关于的不等式,结合时不等式恒成立,即可求得实数取值范围；‎ ‎（3）先用表示函数.根据求得的解析式,根据单调性利用换元法求得的值域.结合对数的定义域,即可求得的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在的取值范围内能否取到最大值0.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为R,且为奇函数 所以,即 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由（1）可知当时, ‎ 因为,即 解不等式可得 所以在R上单调递减,且 所以不等式可转化为 根据函数在R上单调递减 所不等式可化为 即不等式在恒成立 所以恒成立 化简可得 由打勾函数的图像可知,当时,‎ 所以 ‎（3）不存在实数.理由如下:‎ 因为 代入可得,解得或(舍)‎ 则,‎ 令,易知在R上为单调递增函数 所以当时, ,‎ 则 根据对数定义域的要求,所以满足在上恒成立 即在上恒成立 令,‎ 所以,即 又因为 所以 ‎ 对于二次函数,开口向上,对称轴为 ‎ 因为 所以 所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数在内单调递增 所以,‎ 假设存在满足条件的实数,则:‎ 当时, 由复合函数单调性的判断方法，可知为减函数,所以根据可知,即 解得,所以舍去 当时, 复合函数单调性的判断方法可知为增函数,所以根据可知,即 解得,所以舍去 综上所述,不存在实数满足条件成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.‎