2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期末数学试题（解析版）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1. 若复数，为虚数单位，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ 故选：B 点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：‎ ‎（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎2. 下列四个命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件 ‎②命题“，”的否定是“，”‎ ‎③命题 ，，命题 ，，则为真命题 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①：当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故①正确．‎ 对于②：命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”故②正确．‎ 对于③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q为真，故③正确．‎ 故选：D．‎ ‎3. 某家具厂的原材料费支出与销售量 ‎（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（ ）‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎25‎ ‎35‎ ‎60‎ ‎55‎ ‎75‎ A. 5 B. 15 C. 10 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：回归直线方程过样本中心点，，代入，解得.‎ 考点：回归直线方程.‎ ‎4. 若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）‎ A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假 ‎【答案】C ‎【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题 原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和 不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题 故选 ‎5. 用， ，…， 表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入的10个值，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图可知程序框图中的n记录输入的数据中大于等于80分的学生的人数，在给出的10‎ 个数据中，大于等于80的数据的个数为7个，故输出的值为。选C。‎ ‎6. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为， 、分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）‎ A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 与 ，又由双曲线的定义可知：，即，解之得（舍）或，应选答案D。‎ 点睛：解答本题的过程中，容易忽视双曲线定义中的绝对值的符号，从而失去一个解而致错。‎ ‎7. 在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， ，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.‎ ‎8. 设抛物线C:y2 =4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），‎ ‎∴设直线l方程为y=k（x﹣1）‎ 由消去x，得y2﹣y﹣k=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）‎ ‎∵|AF|=3|BF|，‎ ‎∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，‎ 消去y2得k2=3，解之得k=±‎ ‎∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）‎ 故选：C．‎ ‎9. 若函数在上递减，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得。‎ 因为函数在上递减，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，，‎ 则在上单调递增，‎ 所以。‎ 所以。‎ 所以实数的取值范围为。选B。‎ ‎10. 是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且到左焦点的距离为6，过做的角平分线的垂线，垂足为则的长为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 延长F1M和PF2交于N，‎ 椭圆C：的a=5，‎ 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，‎ 由|PF1|=6，可得|PF2|=4，‎ 由等腰三角形的三线合一，可得 ‎|PF1|=|PN|=6，‎ 可得|NF2|=6﹣4=2，‎ 由OM为△F1F2N的中位线，‎ 可得|OM|=|F2N|=×2=1．‎ 故选A．‎ ‎11. 已知定义在上的可导函数满足，不等式的解集为，则=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，设g（x）=f（x）﹣（x3﹣x），‎ 则其导数g′（x）=f′（x）﹣（3x2﹣1），‎ 即g（x）在R上为减函数，‎ x3﹣x+1≤f（x）≤x3﹣x+2⇒1≤f（x）﹣（x3﹣x）≤2⇒1≤g（x）≤2，‎ 若不等式x3﹣x+1≤f（x）≤x3﹣x+2的解集为{x|﹣1≤x≤1}，‎ 则有g（﹣1）=2，g（1）=1，‎ 即有g（﹣1）=f（﹣1）﹣[（﹣1）3﹣（﹣1）]=2，f（﹣1）=2，‎ g（1）=f（1）﹣[（1）3﹣（1）]=1，f（1）=1，‎ 则f（﹣1）+f（1）=2+1=3；‎ 故选：C．‎ ‎12. 已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有恒成立，‎ ‎∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，‎ ‎∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，‎ 则a≥g（x）max，‎ ‎∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，‎ ‎∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，‎ ‎∴a≥1．‎ 即a的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：A．‎ 点睛：考查利用导数解决不等式恒成立问题的方法.在对一个函数求导之前，务必记住要先求函数的定义域，一定要在定义域内求函数的单调区间.不等式恒成立问题，往往通过分离常数法或者构造函数法，利用导数求单调区间和最值来求.‎ 二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 已知方程（是常数）表示曲线,给出下列命题：‎ ‎①曲线不可能为圆；②曲线不可能为抛物线；‎ ‎③若曲线为双曲线，则或；‎ ‎④若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则．‎ 其中真命题的编号为_________．‎ ‎【答案】②③④；‎ ‎【解析】试题分析：对应①，当得，曲线表示的是圆，①错；对应②，方程没有关于的一次项，故曲线不可能是抛物线，正确；对应③，若曲线为双曲线，‎ 得或，③正确；对于④，曲线为焦点在轴上的椭圆，‎ ‎，得，正确；正确的编号是①②③．‎ 考点：圆锥曲线的判断．‎ ‎14. 曲线在点处的切线方程为_________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由函数的解析式可得：，‎ 则所求的切线斜率为，‎ 切线方程为：，‎ 整理为一般式即：。‎ 点睛：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎15. 已知是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN=____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，‎ ‎|FN|=2|FM|=2=6．‎ 故答案为：6．‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎16. .函数f（x）=ex+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为__‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】∵f（x）=ex+x2+x+1，‎ ‎∴f′（x）=ex+2x+1，‎ ‎∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，‎ ‎∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．‎ 直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，‎ 由f′（x）=ex+2x+1=2，‎ 即ex+2x﹣1=0，‎ 解得x=0，‎ 此时对于的切点坐标为（0，2），‎ ‎∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，‎ 两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，‎ 此时d==，‎ 由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．‎ 故答案为：2．‎ 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 已知； 函数有两个零点．‎ ‎(1)若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）若为假命题，则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补集即可；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，则一真一假 试题解析：‎ 若为真，令，问题转化为求函数的最小值，‎ ‎，令，解得，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，故．‎ 若为真，则，或 ．‎ ‎(1)若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为．‎ ‎(2)若为真命题，为假命题，则一真一假．‎ 若真假，则实数满足，即；‎ 若假真，则实数满足，即．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎18. 已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知倾斜角为且过点的直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）曲线C的参数方程化为普通方程x2+y2﹣6y=0，由此能求出曲线C的极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）直线l：（t为参数），将此参数方程代入x2+y2﹣6y=0中，得，由此能求出的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，曲线的普通方程为，即，‎ 故，故，故所求极坐标方程为; ‎ ‎（2）设直线（t为参数），将此参数方程代入中，‎ 化简可得，显然；设所对应的参数分别为，故 ‎.‎ ‎19. 为办好省运会，计划招募各类志愿者1.2万人.为做好宣传工作，招募小组对15-40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图表1、表2：‎ ‎（I）分别求出表2中的a、x的值；‎ ‎（II）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？‎ ‎（III）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率.‎ ‎【答案】（1） 2）2，3，1（3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过频率分布直方图可求出第2，3组人数频率，从而确定其人数，然后即可求出表2中的a、x的值；‎ ‎（2）根据分层抽样的性质直接计算即可；‎ ‎（3）列举抽取2人所有基本事件，找出的基本事件，利用古典概型计算即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由频率直方图可知，第2，3组总人数分别为：20人，30人．‎ ‎∴a=0.9×20=18（人）．．‎ ‎（Ⅱ）在第2，3，4组回答完全正确的人共有54人，用分层抽样的方法抽取6人，‎ 则各组分别抽取：‎ 第2组：；‎ 第3组：人；‎ 第4组：人．‎ ‎∴应在第2，3，4组分别抽取2人，3人，1人．‎ ‎（Ⅲ）分别记第2组的2人为A1，A2，第3组的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C．‎ 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：‎ ‎（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），‎ ‎（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），‎ ‎（B2，B3），（B2，C），（B3，C）‎ 共15种情况．‎ 获奖2人均来自第3组的有：（B1，B2），（B1，B3）（B2，B3）共3种情况．‎ 故获奖2人均来自第3组的概率为．‎ ‎20. 已知函数（， ）.‎ ‎（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最大值为8，最小值为（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值；‎ ‎（2）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)最大值为8，最小值为；(2) .‎ ‎（1）∵在上，∴，‎ ‎∵点在的图象上，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，解得， ‎ ‎∴， ，‎ 由可知和是的极值点.‎ ‎∵， ， ， ，‎ ‎∴在区间上的最大值为8，最小值为 ‎ ‎（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点.‎ 而的两根为， ， ‎ 若， 都在上，则解集为空集，这种情况不存在；‎ 若有一个根在区间上，则或，‎ ‎∴‎ ‎21. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）联立解得，故 又，，联立三式，解得，，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，，联立方程消元得，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 又是一个与无关的常数，∴，即，‎ ‎∴，.∵，∴.‎ 当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，对于任意，都有恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，分三种情况讨论，分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知， ‎ 所以，，恒成立，即恒成立，即恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值，即可得结果.‎ 试题解析：（1）‎ ‎①若，则在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎②，则在上单调递增；‎ ‎③若，则在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由1知，当时，在上单调递增，在单调递减，‎ 所以，，‎ 故 ，‎ 恒成立，‎ 即恒成立 即恒成立，‎ 令，‎ 易知在其定义域上有最大值，‎ 所以