2013-2017高考数学分类汇编-第八章第5节 直线、平面垂直的判定与性质

2013-2017高考数学分类汇编-第八章第5节 直线、平面垂直的判定与性质

第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 题型97 证明空间中直线、平面的垂直关系 ‎2013年 ‎1. （2013四川文19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点.‎ ‎（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说 明理由，并证明直线平面；‎ ‎（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积.‎ ‎（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）.‎ ‎2. （2013山东文19） 如图，四棱锥中，，，，‎ ‎，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面 ‎3. (2013重庆文19）如图，四棱锥中，底面，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若侧棱上的点满足，求三棱 锥的体积.‎ ‎2014年 ‎1.（2014辽宁文4）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎2.（2014浙江文6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（ ）.‎ ‎ A．若，，则 B．若，，则 ‎ C．若，则 D．若，，，则 ‎ ‎3.（2014广东文9）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ）.‎ A． B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定 ‎4.（2014北京文17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎5.（2014新课标Ⅰ文19） 如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.‎ ‎ （1）求证：； ‎ ‎ （2）若，，，求三棱柱的高.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.（2014辽宁文19） 如图所示，和所在平面互相垂直，且 ‎，，，，分别为 ‎，，的中点.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求三棱锥的体积.‎ 附：锥体的体积公式，其中为底面面积，为高.‎ ‎7. （2014广东文18）如图1所示，四边形为矩形，平面，作如图2所示的折叠：折痕.其中点分别在线段上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且.‎ （1） 求证：平面;‎ （2） 求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎8.（2014江苏16）如图所示，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点．已知，，，．‎ 求证：（1）直线平面；（2）平面平面．‎ ‎9.（2014重庆文20）如图所示，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积.‎ ‎10．（2014湖北文20）如图所示，在正方体中， 分别是棱，，， ，，的中点. 求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）直线平面. ‎ ‎ ‎ ‎2015年 ‎1.（2015湖南文18）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，‎ 求三棱锥的体积.‎ ‎1. 解析 （1）如图所示，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）设的中点为，联结.‎ 因为是正三角形，所以.又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面.‎ 所以为直线与平面所成的角.‎ 由题设，所以，‎ 在中，，所以.‎ 故三棱锥的体积.‎ ‎2.（2015天津文17）如图所示，已知平面， ，，‎ ‎，， ， 点，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证： 平面 ；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎（3）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎2.分析 （1）要证明平面，只需证明且平面；‎ ‎（2）要证明平面平面，可证明，；（3）取 中点，‎ 联结 ，则就是直线 与平面所成角，中，‎ 由，得直线与平面所成角为.‎ 解析 （1）如图所示，联结，在中，因为和分别是，的 中点，所以，又因为平面， 所以平面.‎ ‎（2）因为， 为中点，所以.‎ 因为平面，，所以平面，从而.‎ 又 ，所以平面 .‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（3）取中点和中点，联结，，‎ 因为和分别为，中点，所以， ，故，，所以.‎ 又因为平面，所以平面，从而就是直线与平面所成角.‎ 在中，可得，所以.‎ 因为，所以，又由，有，在中，可得， 在中，，因此.‎ 所以直线与平面所成角为.‎ ‎3.（2015全国1文18）如图所示，四边形为菱形，G为与的交点，平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.‎ ‎3. 解析 （1）因为平面，所以.‎ 又为菱形，所以.‎ 又因为，，平面，‎ 所以平面.又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）在菱形中，取，‎ 又，所以，.‎ 在中，，所以，‎ 所以在中，，‎ 所以，解得.‎ 在中，‎ 可得.‎ 所以.‎ ‎4．（2015山东文18）如图所示，在三棱台中，，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若，，求证：平面平面.‎ ‎4. 解析 （1）证法一：联结.设，联结，如图所示.‎ 在三棱台中，，为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点.‎ 又是的中点，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ 证法二：在三棱台中，由，为的中点，可得，所以为平行四边形，可得.‎ 在中，分别为，的中点，所以.又，‎ 所以平面平面，因为平面，所以平面.‎ ‎（2）证明：联结，如图所示.‎ 因为分别为的中点，所以.‎ 由，得.‎ 又为的中点，，所以，因此四边形是平行四边形，所以.‎ 又，所以.‎ 又平面，，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎5. (2015浙江文18) 如图所示，在三棱柱中，，‎ ‎ ，在底面的射影为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）求直线和平面所成的角的正弦值.‎ 此题无答案 ‎26.(2015重庆文20) 如题（20）图，三棱锥中，平面平面，，点，在线段上，且，，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）若四棱锥的体积为7，求线段的长. ‎ ‎26. 解析 （1）由，知点为等腰中底边的中点，‎ 故．‎ 又平面平面，平面平面，平面，所以 平面，从而．‎ 因为，，故.‎ 从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面．‎ ‎（2）设，则在中，，‎ 从而.‎ 由，知，得，故，即．‎ 由，，‎ 从而四边形的面积为 ‎ ‎．‎ 由（1）知，平面，所以为四棱锥的高．‎ 在中，，‎ 体积，故得，解得或．‎ 由于，可得或，所以或．‎ ‎2016年 ‎1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直线.若直线，满足，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.‎ ‎2.（2016全国甲文19）如图所示，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上， ，交于点.将沿折到的位置. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若 ，求五棱锥的体积.‎ ‎2.解析 （1）因为四边形为菱形，所以，所以，所以，所以.‎ 又因为，所以，所以.所以.‎ ‎（2）由得，‎ 由得 ‎ 所以 ‎ 于是故 由（1）知，又，所以平面，于是 又由，所以平面.‎ 又由得，‎ 五边形的面积 ‎.‎ ‎3.（2016北京文18）如图所示，在四棱锥中，平面，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由.‎ ‎3.解析 （1）因为平面，所以.‎ 又因为，.所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面，又，所以平面. ‎ 又平面，所以平面平面 ‎（3）棱上存在点，使得平面.证明如下.‎ 取中点，联结.‎ 又因为为的中点，所以.又因为平面 ‎，所以平面.‎ ‎4.（2016山东文18）在如图所示的几何体中，是的中点，.‎ ‎（1）已知，. 求证：；‎ ‎（2）已知分别是和的中点.求证：平面.‎ ‎4.解析 （1）证明：因为，所以与确定一个平面，连接，如图1所示. 因为为的中点，所以；同理可得. 又因为，所以平面，因为平面，所以.‎ ‎（2）设的中点为，连接，如图2所示. 在中，是的中点，所以.又，所以；在中，是的中点，‎ 所以.又，，所以平面平面.‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎ ‎ ‎5（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，.‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎5.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以.‎ 又因为三棱柱为直棱柱，故，所以.‎ 又因为平面，且，故平面.‎ ‎（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.‎ 又平面，故.又，且，平面，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ 又因为，，且平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.‎ ‎6.（2016全国乙文18）如图所示，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点.联结并延长交于点.‎ ‎（1）求证：是的中点；‎ ‎（2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积.‎ ‎6.解析 （1）由题意可得为正三角形，故.‎ 因为在平面内的正投影为点，故平面.‎ 又平面，所以.‎ 因为在平面内的正投影为点，故平面.‎ 又平面，所以.‎ 因为，，，平面，所以平面.又平面，所以.‎ 因为，所以是的中点.‎ ‎（2）如图所示，过作交于，则即为所要寻找的正投影.‎ 理由如下，因为，，故.同理，‎ 又，平面，所以平面，‎ 故即为点在平面内的正投影.‎ 所以.‎ 在中，，，，故由等面积法知.由勾股定理知，由为等腰直角三角形知，故.‎ ‎7.（2016四川文17）如图所示，在四棱锥中，，，，.‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； ‎ ‎（2）证明：平面平面 ‎ ‎7.解析（1）取棱的中点平面，点即为所求的一个点.证明如下：‎ 因为，所以，且所以四边形是平行四边形，从而 又平面，平面，所以平面 ‎ (说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点). ‎ ‎（2）由已知，，因为，所以直线与相交，所以平面从而 因为，所以，且 所以四边形是平行四边形.‎ 所以，所以又，所以平面 又平面，所以平面平面 ‎2017年 ‎1.（2017全国3文10）在正方体中，为棱的中点，则（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ 解析 因为，，且，所以平面，‎ 又因为平面.所以.故选C.‎ 评注 本题属于线面关系定理的实际应用问题，有一定难度，需要学生有较强的空间想象能力和公式定理的实际应用能力，问题的重点与难点在于找到与包含的平面垂直的直线！‎ ‎2.（2017全国1文18）如图所示，在四棱锥中，，且.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ 解析 （1）因为，所以.‎ 因为，所以，因为，所以．‎ 又，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面．‎ ‎（2）由（1）知平面，因为平面，所以平面平面．‎ 如图所示，取中点.因为，，所以.‎ 又因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面．‎ 由，得四边形为平行四边形.又因为平面，得，即四边形是矩形.‎ 不妨设，则，所以，且．‎ 因此四棱锥的体积为，解得．‎ 所以．‎ ‎3.（2017全国3文19）如图所示，四面体中，是正三角形，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）已知是直角三角形，．若为棱上与不重合的点，‎ 且，求四面体与四面体的体积比．‎ 解析 （1）设中点为，联结，. ‎ 由，得，由，得.‎ 又因为，所以平面.又因为平面，所以.‎ ‎(2)设，则.‎ 由，得，故.‎ 又因为，所以.所以，所以，可得. 即点为的中点，点到平面的距离是点到平面的距离的一半，所以，所以体积比为.‎ 评注 本题第一问考查线线垂直的证明，属于常规题型；第二问用相似或解三角形的方法求解直线长度，特别是用相似在高中阶段比较少见，但16年全国卷选择题的压轴题也有类似考法.这说明，虽然几何证明在高中阶段已经不再作为一个固定的选作题出现，但其主要知识点仍然可以作为考点，在高考中进行考查，笔者提醒各位老师在今后的教学中要特别注意到这一点.‎ ‎4.（2017北京文18）如图所示，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）当平面时，求三棱锥的体积．‎ 解析 （1）因为， ，，所以平面.又因为平面，所以..‎ ‎（2）因为，，为线段的中点，所以在等腰中，.又 由（1）可知，，所以平面.由为线段上一点，则平面，所以又因为平面，所以平面平面 ‎.‎ ‎（3）当平面时，平面,且平面平面,可得.由是边的中点知，为边的中点.故而，，因为平面，所以平面.‎ 由，，为边中点知，又，有，即因此，.‎ ‎5.（2017山东文18）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设是的中点，证明：平面平面.‎ 解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，‎ 所以，，因此四边形为平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为四边形是正方形，所以，，分别为和的中点，所以.‎ 又 面，平面，所以.‎ 因为 ，所以.‎ 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.‎ 解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，‎ 所以，，因此四边形为平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为四边形是正方形，所以，，分别为和的中点，所以.‎ 又 面，平面，所以.‎ 因为 ，所以.‎ 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.‎ ‎6.（2017浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.‎ 因为，分别为，的中点，所以，且.‎ 又因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.‎ ‎（2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结.‎ 因为，，分别是，，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.‎ 由为等腰直角三角形，得.‎ 由，是的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以，所以.又,所以平面，‎ 由，得平面，又平面，所以平面平面.‎ 过点作的垂线，垂足为，联结.‎ 是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.‎ 设.在中，由，，，由余弦定理得，‎ 又平面，平面，所以.在中，由，，,为的中点，得.‎ 在中，，，所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值是.‎ ‎7.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中，，， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎ （2）．‎ 解析 （1）在平面内，因为，，且点与点不重合，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面， ‎ 平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面.又因为平面，所以.‎ 题型98 与垂直有关的开放性、探究性问题 ‎2015年 ‎1.(2015安徽文19) 如图所示，在三棱锥中，平面，.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求证：在线段上存在点，使得，并求的值.‎ ‎1.分析 （1）在中，由三角形的面积公式，求出三角形面积.又因为面，所以是三棱锥的高，根据锥体的体积公式即可求出结果；‎ ‎（2）过点作于点，过作交于点，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果.‎ 解析 （1）在中，，，，‎ 所以.‎ 又因为面，所以是三棱锥的高，‎ 所以.‎ ‎（2）过点作交于点，过点作交于点，联结，如图所示.因为面，所以面.‎ 又面，得.‎ 又，所以面.‎ 又面，所以.‎ 此时点即为所找点，在中，由题意可得，所以.‎ 由，可得，所以，所以.‎ ‎2.（2015北京文18） 如图所示，在三棱锥中，平面平面，三角形 为等边三角形，，且，，分别为，的中点.‎ （1） 求证：平面.‎ （2） 求证：平面平面 .‎ （3） 求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎2.解析 （1）依题意，，分别为，的中点，则是的中位线，‎ 所以，平面，平面，故平面.‎ ‎（2）因为在中，，且为的中点，所以，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，又平面，故平面平面.‎ ‎（3）由（2）知，平面，‎ 所以 ‎3．（2015福建文20）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于的点，‎ 垂直于圆所在的平面，且．‎ ‎（1）若为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥体积的最大值；‎ ‎（3）若，点在线段上，求的最小值．‎ ‎3.分析 （1）要证明平面，只需证明垂直于面内的两条相交直线．首先由垂直于圆所在的平面，可证明.又，为的中点，可证明，进而证明结论；（2）三棱锥中，高，要使得体积最大，则底面面积最大，又是定值，故当边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥体积的最大值；（3）将侧面绕旋转至平面，使 之与平面共面，此时线段的长度即为的最小值．‎ 解析 （1）在中，因为，为的中点，所以．‎ 又垂直于圆所在的平面，所以.因为，所以平面．‎ ‎（2）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1．‎ 又，所以面积的最大值为．‎ 又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．‎ ‎（3）解法一：在中，，，所以．同理，所以．‎ 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，‎ 如图所示．‎ 当共线时，取得最小值．‎ 又因为，，所以垂直平分，即为中点．‎ 从而，即的最小值为．‎ 解法二：由解法一可知，， ，‎ 所以当为的中点时，与同时取得最小值.‎ 故.‎ 所以的最小值为. ‎ ‎4.（2015湖北文20）‎ ‎《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接、、.‎ ‎(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.‎ 若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明 理由；‎ ‎(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，‎ 求的值.‎ ‎4.解析 (1)因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. ‎ 又因为，点是的中点，所以. ‎ 而，所以平面.由平面，平面.‎ 可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 ‎(2)由已知，是阳马的高，所以.‎ 由(1)知，是鳖臑的高，，所以.‎ 在中，因为，点是的中点，‎ 所以，于是 ‎ ‎5.（2015江苏文22）如图所示，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．‎ ‎（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．‎ ‎5.解析 由平面，，故，，两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．‎ ‎（1）易知平面，故平面的一个法向量为．‎ 又，.‎ 设平面的一个法向量为，则，.‎ 所以，取，则，，故，‎ 因此.‎ 易知平面与平面所成二面角为锐二面角，故其余弦值为．‎ ‎（2）因，设，．‎ 所以，‎ 因此，‎ 设，‎ 所以 ‎，‎ 令，则，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，有最大值，‎ 即有最大值，此时直线与所成的角最小，故．‎ 评注 也可以假设点的坐标解决．‎ 在求解的最大值时，也可以处理成：‎ ‎，设，则，‎ 所以，‎ 所以当，取最小值， 此时取最大值，‎ 此时直线与所成的角最小，即，解得，故．‎ ‎6.（2015四川文18）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.‎ ‎（1）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）；‎ ‎（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论；‎ ‎（3）求证：直线平面.‎ ‎6.解析 （1）点F，G，H的位置如图所示.‎ ‎（2）平面平面.证明如下：‎ 因为为正方体，所以，.‎ 又，，所以，.所以为平行四边形，所以 ‎.‎ 又平面，平面，所以平面.同理平面.‎ 又，所以平面平面.‎ ‎（3）联结，因为为正方体，所以平面.因为平面，所以.‎ 又，，所以平面.‎ 又平面，所以.‎ 同理，.又，所以平面.‎ 题型99 空间角与空间距离 ‎2013年 ‎1．（2013江西文19）如图，直四棱柱中，，，，，， 为上一点，，.‎ ‎（1）证明：⊥平面;‎ ‎（2）求点到平面的距离 ‎2. (2013天津文17） 如图， 三棱柱中， 侧棱⊥底面，且各棱长均相等.分别为棱的中点. ‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）证明：平面⊥平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎3. (2013湖南文17） 如图2.在直棱柱中，，，，是的中点，点在棱上运动.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当异面直线， 所成的角为时，求三棱锥的体积.‎ ‎4.(2013浙江文20）如图，在在四棱锥中，⊥面，，， ，，为线段上的点.‎ ‎（1）证明：⊥平面; ‎ ‎（2）若是的中点，求与所成的角的正切值；‎ ‎（3）若满足⊥ 面，求的值.‎ ‎2014年 ‎1.（2014大纲文4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2014天津文17）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.‎ （1） 求证：平面；‎ （2） 若二面角为，‎ ① 求证：平面平面；‎ ② 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎3.（2014浙江文20）如图所示，在四棱锥中，平面平面；，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正切值. ‎ ‎4.（2014大纲文19）如图所示，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.‎ ‎5. （2014新课标Ⅱ文18）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎ （2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离.‎ ‎5.（2014湖南文18）如图所示，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求异面直线与所成角的余弦值. ‎ ‎ ‎ ‎2015年 ‎1.（2015江苏文22）如图所示，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．‎ ‎（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．‎ ‎1.解析 由平面，，‎ 故，，两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，．‎ ‎（1）易知平面，‎ 故平面的一个法向量为．‎ 又，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，，‎ 所以，取，‎ 则，，故，‎ 因此，‎ 易知平面与平面所成二面角为锐二面角，故其余弦值为．‎ ‎（2）因，设，．‎ 所以，‎ 因此，‎ 设，‎ 所以 ‎，‎ 令，则，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，有最大值，‎ 即有最大值，此时直线与所成的角最小，故．‎ 评注 也可以假设点的坐标解决．‎ 在求解的最大值时，也可以处理成：‎ ‎，设，则，‎ 所以，‎ 所以当，取最小值， 此时取最大值，‎ 此时直线与所成的角最小，即，解得，故．‎ ‎2016年 ‎1.（2016全国乙文11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎1.A 解析 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为.故选A.‎ 解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面，如图所示，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为.故选A.‎ ‎2.（2016浙江文14）如图所示，已知平面四边形，，，，.沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是______.‎ ‎2. 解析 设直线与所成角为.设是中点由已知得，如图所示，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，有，，.‎ 作于，翻折的过程中，始终与垂直，且的长度始终不变，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为.‎ 所以，‎ 所以时，取最大值.‎ ‎3.（2016上海文19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧.‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角的大小.‎ ‎3.解析 （1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径.‎ 圆柱的体积，‎ 圆柱的侧面积.‎ ‎（2）设过点的母线与下底面交于点，则，‎ 所以或其补角为与所成的角.‎ 由长为，可知，‎ 由长为，可知，，‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎4.（2016浙江文18）如图所示，在三棱台中，平面平面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎4.解析 （1）因为此几何体三棱台，延长可相交于一点，如图所示.‎ 因为平面，平面为，，且，所以，因此.‎ 又因为，可以求得，‎ 所以为等边三角形，且为的中点，则.‎ 因为，，所以平面.‎ ‎（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，因为点为的中点，，所以.在中，，，得.所以直线与平面所成的角的余弦值为.‎ ‎5.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎5.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，.‎ 在中，因为是的中点，所以且.‎ 又因为，，所以且，即四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面 ‎（2）证明：在中，，，.‎ 由余弦定理可得，进而可得，即.‎ 又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.‎ 过点作于点，连接，如图所示.‎ 又因为平面平面，由（2）知平面，所以直线与平面所成角即为.‎ 在中，.‎ 由余弦定理可得，所以.‎ 因此.‎ 在中，，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎2017年 ‎1.（2017天津文17）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，，.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解析 （1）如图所示，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角.因为平面，平面，所以.‎ 在中，由勾股定理，得，故.‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）证明：因为平面，直线平面，所以.‎ 又因为，所以.‎ 又，且，所以平面.‎ ‎（3）如图所示，过点作的平行线交于点，联结，则与平面所成的角等于与平面所成的角.‎ 因为PD⊥平面，平面，所以PD⊥，所以为在平面上的射影，所以为直线和平面所成的角.‎ 因为，，所以四边形是平行四边形，所以.‎ 由，得.‎ 因为平面，平面，所以，又因为，所以.‎ 在中，由勾股定理得，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎2.（2017浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.‎ 因为，分别为，的中点，所以，且.‎ 又因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.‎ ‎（2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结.‎ 因为，，分别是，，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.‎ 由为等腰直角三角形，得.‎ 由，是的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以，所以.又,所以平面，‎ 由，得平面，又平面，所以平面平面.‎ 过点作的垂线，垂足为，联结.‎ 是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.‎ 设.在中，由，，，由余弦定理得，‎ 又平面，平面，所以.在中，由，，,为的中点，得.‎ 在中，，，所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值是.‎