广东省中山市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

广东省中山市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com 中山市高一级2018-2019学年度第二学期期末统一考试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意结合诱导公式和特殊角的三角函数值整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意结合诱导公式可得：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.设向量，且，则实数的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．‎ ‎【详解】向量，（m+1，﹣m），‎ 当⊥时，•0，‎ 即﹣（m+1）﹣2m＝0，‎ 解得m．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．‎ ‎3.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（ ）‎ A. 至少有一次中靶 B. 只有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 两次都不中靶 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．‎ 详解：一个人打靶时连续射击两次， 事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶． 故选：C．‎ 点睛：本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．‎ ‎4.已知则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用两角和的正切函数化简求解即可．‎ ‎【详解】tan（α+β），tan（β），‎ 则tan（α）＝tan（（α+β）﹣（β））．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，考查计算能力．‎ ‎5.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1＝0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．‎ ‎【详解】∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点 ‎∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为 ‎∴|a+1|≤2‎ ‎∴﹣3≤a≤1‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等关系，属于基础题．‎ ‎6.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是　　‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点然后求出，即可求出函数解析式.‎ ‎【详解】由图象可知：的长度是四分之一个周期 函数的周期为2，所以 函数图象过所以，并且 ‎，‎ 的解析式是 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解析式，本题是基础题．‎ ‎7.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）‎ A. 640 B. 520 C. 280 D. 240‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．‎ ‎【详解】初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，‎ 所有学生的成绩均在区间（30，150]内，‎ 由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.65．‎ ‎∴获得复赛资格的人数为：065×800＝520．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，是基础题．‎ ‎8.若，，与的夹角为，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得 ||•||•cos，，再利用二倍角公式求得结果．‎ ‎【详解】由题意可得 ||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于基础题．‎ ‎9.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则＝（）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解．‎ ‎【详解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，‎ ‎∴2sin72°，a2cos72°•2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设OA＝2，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．‎ ‎【详解】设OA＝2，则AB，‎ ‎，‎ 以AB中点为圆心的半圆的面积为，‎ 以O为圆心的大圆面积的四分之一为，‎ 以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣2，‎ 黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣2）＝2，‎ 图Ⅲ部分的面积为π﹣2．‎ 设整个图形的面积为S，‎ 则p1，p2，p3．‎ ‎∴p1＝p2＞p3，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．‎ 二、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）‎ ‎11.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）‎ A. 函数g（x）的图象关于点对称 B. 函数g（x）的周期是 C. 函数g（x）在上单调递增 D. 函数g（x）在上最大值是1‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．‎ ‎【详解】将函数f（x）＝2sin（x）﹣1的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），‎ 得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1的图象，‎ 由于当x时，f（x）＝﹣1，故函数g（x）的图象关于点（，1）对称，故A错误；‎ 函数g（x）的周期为π，故B错误；‎ 在（0，）上，2x∈（，），g（x）单调递增，故C正确；‎ 在（0，）上，2x∈（，），g（x）的最大值趋向于1，故D错误，‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．‎ ‎12.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎498%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎﹣0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中正确的是（）‎ A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．‎ ‎【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；‎ 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；‎ 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；‎ 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．‎ ‎13.已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：（）‎ A. 线段A、B的中点的广义坐标为（）；‎ B. A、B两点间的距离为；‎ C. 向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；‎ D. 向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．‎ ‎【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；‎ 只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；‎ 由向量平行的充要条件得C正确；‎ 与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；‎ 故选：AC．‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件．‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应横线上）‎ ‎14.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = .‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.‎ ‎(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.‎ ‎15.若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______‎ ‎【答案】5.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．‎ ‎【详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，‎ 则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，‎ ‎∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝5.5．‎ 故答案为：5.5．‎ ‎【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．‎ ‎16.已知圆C:，点M的坐标为(2，4)，过点N(4，0)作直线交圆C于A，B两点，则的最小值为________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将所求化为M到AB中点的距离的最小值问题，再求得AB中点的轨迹为圆，利用点M到圆心的距离减去半径求得结果.‎ ‎【详解】设A、B中点为Q，连接QC，则QC，所以Q的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为P（5，0），半径为1，‎ 又，即求点M到P的距离减去半径，‎ 又，所以，‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了求圆中弦中点轨迹的几何方法，考查了点点距公式，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎17.正方形和内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设，若两正方形面积分别为=441，=440，则=______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据在正方形S1和S2内，S1＝441，S2＝440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．‎ ‎【详解】因为S1＝441，S2＝440，‎ 所以FD21，MQ＝MN，‎ 因为AC＝AF+FC2121，‎ AC＝AM+MCMNcosαcosα，‎ 所以：21cosα，‎ 整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），‎ 两边平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，‎ 解得sin2α或sin2α（舍去），‎ 故sin2α．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18.已知.‎ ‎（1）若三点共线，求实数的值； ‎ ‎（2）证明：对任意实数，恒有成立.‎ ‎【答案】(1)-3；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.‎ ‎（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.‎ 详解：（1），∵三点共线，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴，∴恒有成立.‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知函数，‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，(1)将代入，利用特殊角的三角函数可得的值；(2)利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.‎ 详解：（Ⅰ）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）由题可得，‎ ‎ ‎ 函数的单调递增区间是 点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.‎ 函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎20.某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．‎ ‎（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；‎ ‎（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．‎ ‎（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．‎ ‎【详解】（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分 设被污损的分数为，则，解得 所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分 在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.‎ ‎（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，‎ 在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有 ‎（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），‎ ‎（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），‎ ‎（8691），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），‎ ‎（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），‎ ‎（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个 随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个 ‎∴的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、茎叶图等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．‎ ‎21.一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：‎ x ‎1.08‎ ‎1.12‎ ‎1.19‎ ‎1.28‎ ‎1.36‎ ‎1.48‎ ‎1.59‎ ‎1.68‎ ‎1.80‎ ‎1.87‎ y ‎2.25‎ ‎2.37‎ ‎2.40‎ ‎2.55‎ ‎2.64‎ ‎2.75‎ ‎2.92‎ ‎3.03‎ ‎3.14‎ ‎3.26‎ ‎（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；‎ ‎②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）‎ 附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.222．‎ ‎②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）①；②3.385万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件利用公式，求得的值，再与比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程求出对应的的值即可.‎ ‎【详解】（1）由已知条件得：，‎ 这说明与正相关，且相关性很强．‎ ‎（2）①由已知求得，‎ 所以所求回归直线方程为． ‎ ‎②当时，（万元），‎ 此时产品的总成本为3.385万元．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎22.已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点，为等腰直角三角形.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，若点恰好落在曲线（）上（如图所示），试判断点是否也落在曲线（）上，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知利用周期公式可求最小正周期，由题意可求Q坐标为（4，0）．P坐标为（2，），结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解；‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，，，可求点P′，Q′的坐标，由点在曲线，（x>0）上，利用倍角公式，诱导公式可求，又结合，，可求的值，由于，即可证明点Q′不落在曲线（）上.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为函数（）的最小正周期，所以函数的半周期为，‎ 所以，即有坐标为，‎ 又因为为函数图象的最高点，所以点的坐标为.‎ 又因为为等腰直角三角形，所以.‎ ‎（2）点不落在曲线（）上，理由如下：‎ 由（1）知，，‎ 所以点，的坐标分别为，.‎ 因为点在曲线（）上，所以，即，又，所以.‎ 又.所以点不落曲线（）上.‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．‎ ‎（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）存在，（2）证明见解析，圆方程恒过定点或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线Γ方程中的y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程．‎ ‎（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可．‎ ‎【详解】由曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），‎ 令y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．‎ 设A（x1，0），B（x2，0），‎ 则可得△＝m2﹣8m＞0，x1+x2＝m，x1x2＝2m．‎ 令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）．‎ ‎（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则，得，‎ 即2m+4m2＝0，‎ 所以m＝0或．由△＞0，得m＜0或m＞8，所以，‎ 此时C（0，﹣1），AB的中点M（，0）即圆心，半径r＝|CM|‎ 故所求圆的方程为．‎ ‎（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2‎ 满足 代入P得 展开得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝0‎ 当，即时方程恒成立，‎ ‎∴圆P方程恒过定点（0，1）或．‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的应用，圆系方程恒过定点的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎ ‎ ‎ ‎