2018-2019学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二下学期期中联考理科数学试题 解析版

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绝密★启用前 ‎2019年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考理科数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题：“若，则”的逆否命题为（ ）‎ A．若，则或 B．若，则或 C．若，则且 D．若，则且 ‎【答案】C ‎【解析】命题：“若，则”的逆否命题为若，则且。‎ 故答案为：C.‎ ‎2．已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩近似地服从正态分布，估算这些考生中数学成绩落在内的人数为（ ）‎ ‎（附：，则）‎ A．4560 B．13590 C．27180 D．311740‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的值，再利用正态分布计算出数学成绩落在内的概率，由此计算出人数.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，故 ,，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正态分布的知识，考查正态分布在实际生活中的应用，属于基础题.‎ ‎3．对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则是的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题得,当时,满足,但是,所以.若,则 ,所以.综上,是的必要不充分条件,故选B.‎ 考点：新概念 逻辑关系 ‎4．展开式中含的项是（ ）‎ A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简二项式展开式的通项公式，由此求得含的项是第几项.‎ ‎【详解】‎ 二项式展开式的通项公式为 ，令，解得，故含的项是第项.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5．CPI是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018 年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2 月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ）‎ A．2018年1月—7月CPI 有涨有跌 B．2018年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳 C．2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大 D．2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同比增长和环比概念，对四个选项逐一分析，由此得出结论错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 根据环比增长的概念可知，2018年1月—7月CPI 有涨有跌，2018年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳，故A,B两个选项结论正确.根据同比增长的概念可知，2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大，故C选项结论正确.由于同比增长的百分比都为正数，故2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI 都是增长的，故D选项结论错误.所以本小题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查图表分析和数据处理能力，属于基础题.‎ ‎6．已知双曲线的离心率为，则它的渐近线为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得双曲线的标准方程，结合双曲线的离心率，求得双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得，故双曲线的焦点在轴上，设双曲线的半焦距为，则，解得，故双曲线的渐近线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的渐近线的求法，考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.由于题目所给条件中的和双曲线标准方程中的不一样，解题过程中要注意区分清楚.‎ ‎7．为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ‎，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为，若圆环的半径为1，则比值的近似值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面积的比等于点数的比，计算出“五环及其内部所占面积”，除以“单独五个圆环及其内部面积之和”，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设“五环及其内部所占面积”为，则，故，所以本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用随机模拟的方法计算面积的比，属于基础题.‎ ‎8．假设有两个分类变量和的列联表如下：‎ ‎ ‎ 总计 总计 注：的观测值.‎ 对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出四个选项中的观测值，值最大的即为正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，，对于B选项，，对于C选项，，对于D选项，.由于最大，故可以判断出，于有关系可能性最大的是A选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何图形可得，然后两边平方，根据向量的数量积可得，进而得到的长度．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以||2=()2‎ ‎=||2+||2+||2)‎ ‎．‎ 故A1C的长为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点．‎ ‎10．已知点 在抛物线，过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则三角形的面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得两点的坐标，由此计算出三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 将点坐标代入抛物线方程得，故抛物线方程为，故焦点坐标为，准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为，代入抛物线方程并化简得，解得或.故 ，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用抛物线上一点的坐标求抛物线方程，考查直线和抛物线的交点坐标的求法，考查三角形的面积的求法，属于中档题.‎ ‎11．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成用种颜色、种颜色、种颜色三种情况，分别计算出涂色种数，然后相加得到总的方法数..‎ ‎【详解】‎ 先涂“A,B,C”，后涂“D,E,F”.若用种颜色，先涂A,B,C方法数有,再涂D,E,F中的两个点，方法有，最后一个点的方法数有种.故方法数有种.若用种颜色，首先选出种颜色，方法数有种，先涂A,B,C方法数有种，再涂D,E,F中的一个点，方法有种，最后两个点的方法数有种.故方法数有种.若用种颜色，首先选出种颜色，方法数有，先涂A,B,C方法数有种，再涂D,E,F方法数有种.故方法数有种.综上所述，总的方法数有种.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题：‎ ‎①曲线形状为椭圆；‎ ‎②点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；‎ ‎③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；‎ ‎④该曲线的离心率为．其中正确命题的序号为 （ ）‎ A．①②④ B．①②③④ C．①②③ D．①④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出轴截面的图像.根据选项可判断出①正确.解直角三角形计算出的长以及长轴的长，由此可判断出②正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C选项.由此得出正确结论.‎ ‎【详解】‎ 根据选项可知①正确，即曲线形状为椭圆. 画出轴截面的图像如下图所示，由于，所以,，即，所以，而曲线上任意两点最长距离为，故点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断出②正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C选项.综上所述，本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆锥的截面问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．总体由编号为的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：应抽取的数字依次为：，故正确答案为．‎ 考点：简单随机抽样.‎ ‎14．已知向量，，则在方向上的投影为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.‎ ‎【详解】‎ 依题意在方向上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则的值为___________． ‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平均数可得总数，从而可得未知数，由中位数是位于从小到大排序的中间位置，从而得y，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图知，甲的平均数为17时，总数为：.‎ 所以得未知数为：，所以；‎ 乙的中位数为17时，可知；.‎ 所以.‎ 故答案为：10.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了茎叶图的平均数和中位数的计算，属于基础题.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线定义可知M的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知B点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值.‎ ‎【详解】‎ 由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距离，故动点M的轨迹为，‎ 由可得，‎ 解得D，即直线过定点D，‎ 又过作直线的垂线，垂足为，‎ 所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，‎ 化为标准方程为：，圆心E,半径r=‎ 过M做M垂直准线，垂足为 则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线与圆的几何性质，涉及抛物线的轨迹，圆的轨迹，直线过定点，线段和的最值，考查数形结合的思想，属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题:实数使得二项分布～满足成立；命题：实数使得方程表示焦点在轴上的椭圆．若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求得命题为真命题时，的取值范围.由于为假命题，为真命题，故一真一假，分别求得真假以及假真时的取值范围，取并集得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 对于命题：由知，且，得. ‎ 对于命题：由得. ‎ 为假命题，为真命题，则一真一假， ‎ 若真假，则且，得. ‎ 若真假，则且，得. ‎ 综上可知，满足条件的实数的取值范围是 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题真假性的应用，考查二项分布以及椭圆的知识，属于中档题.‎ ‎18．在中，内角，，所对的边分别是，，.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为3，求的值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)先运用余弦定理求得，进而求得，再运用正弦定理求的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于方程求解.‎ 试题解析：（1）由余弦定理可得，‎ 即，将代入可得，再代入可得，‎ 所以，即，则，所以；‎ ‎（2）因，故，即.‎ 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．‎ ‎19．已知等差数列中，，前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)，‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意得，解得，‎ 所以．‎ ‎(2)，则==‎ ‎20．某农科所发现，一种作物的年收获量（单位：）与它“相近”作物的株数具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近作物的株数为时，该作物的年收获量的相关数据如下：‎ ‎（1）根据研究发现，该作物的年收获量可能和它“相近”作物的株数有以下两种回归方程：，利用统计知识，结合相关系数比较使用哪种回归方程更合适；‎ ‎（2）农科所在如下图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（1）中选择的回归方程计算所得数据为依据）‎ 参考公式：线性回归方程为，其中，，‎ 相关系数；‎ 参考数值：，，，其中.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据，计算出两个回归方程的相关系数，相关系数绝对值越接近的，越合适.（2）根据（1）的结论，计算出回归直线方程，求得时，与之相对应的值，由古典概型规律计算公式计算出分布列，进而求得数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） (60+55+53+46+45+41)‎ ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 知，回归方程更合适，‎ ‎（2）由（1），则 故所求的线性回归方程为 ‎ 结合图形可知当时，与之相对应 ‎ ‎，，，‎ ‎∴它的年收获量的分布列为 ‎∴（）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎21．如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分析条件易得平面, ∵平面, ∴；‎ ‎（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，用向量求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，连接交于点.∵,即为等腰三角形，又平分，故,∵平面底面， 平面底面，∴平面, ∵平面,‎ ‎∴. ‎ ‎（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，‎ 的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.，而,得,‎ 又，故.‎ 设，则由，得，而，‎ 由，得，则,‎ 所以.‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由得可取，‎ 由得可取，‎ 从而法向量的夹角的余弦值为.‎ 由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎22．已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点.‎ ‎（1）若的斜率为，为的中点，且的斜率为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）连结并延长，交椭圆于点，若椭圆的长半轴长是大于的给定常数，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出点的坐标，利用点差法求得的数值，结合以及，求得 的值，由此求得椭圆方程.（2）根据已知得到，设出的坐标和直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.求得三角形面积的表达式，利用基本不等式和单调性，求得面积最大值的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则 ‎，，.‎ 由此可得；‎ 因为，，，所以 ‎ 又由左焦点为，故，因此.所以的方程为 ‎ ‎（2）因为椭圆的半焦距，所以，设，直线的方程，‎ 由方程组消去得:,‎ ‎ ,且恒成立， ‎ 连结，由知，‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎①若，即，则，当且仅当，‎ 即时，；‎ ‎②若，即，设，则时，‎ 在上单调递增，所以，当且仅当，‎ 即时，； ‎ 综上可知：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积的最值问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎