数学（理）卷·2018届辽宁省实验中学分校高三12月月考（2017

数学（理）卷·2018届辽宁省实验中学分校高三12月月考（2017

‎　数学（理）高三年级 第I卷（选择题）‎ 一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.‎ 1． ‎“a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的 A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.函数的定义域和值域分别是和，则=‎ A. B. C. D.[]‎ ‎3.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为 A.12 B.10 C.8 D.2‎ ‎4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于 A． B． C． D．‎ ‎5．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：‎ 甲是中国人，还会说英语；‎ 乙是法国人，还会说日语；‎ 丙是英国人，还会说法语；‎ 丁是日本人，还会说汉语；‎ 戊是法国人，还会说德语；‎ 则这五位代表的座位顺序应为 Ａ．甲丙丁戊乙　　　　B．甲丁丙乙戊　　　　Ｃ．甲丙戊乙丁　　Ｄ．甲乙丙丁戊 ‎6．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是 Ａ．此人第二天走了九十六里路 Ｂ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.‎ Ｃ．此人第三天走的路程占全程的 Ｄ．此人后三天共走了42里路 ‎7．在斜中，,则角等于 A. B. C. D. ‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是 A．计算数列的前10项和 B．计算数列的前9项和 C．计算数列的前10项和 D．计算数列的前9项和 ‎ ‎ ‎ ‎9．某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎10．如图,在直三棱柱中，,‎ ‎,则异面直线与所成的角是 ‎ A． 　 B． 　　 C． 　　 D．‎ ‎（第10题图）‎ ‎11.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且、都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是 ‎　A． 　　　 B． C． 　　 D．‎ ‎12.已知函数(为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是 A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　D．‎ ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上.‎ ‎13.已知曲线在点（0，0）处的切线为，则由及直线围成的区域面积等于______________.‎ ‎14.已知，，，点C在内且若则= 　．‎ ‎15．已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点,则实数的取值范围是________.‎ ‎16．若数列是等差数列，则有数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有__________也是等比数列.‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数的图象 与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别 为和．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式及的值； （Ⅱ）若锐角满足，求的值．‎ A B E F C D ‎18.（本小题满分12分）如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面;‎ ‎（Ⅱ）当的长为何值时,二面角的大小为60°．‎ ‎19.（本小题12分）数列为递增的等比数列,，‎ 数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）求证：是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）设数列满足，且数列的前项和，并求使得对任意都成立的正整数的最小值.‎ ‎20.（本小题满分12分）中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且 ‎（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）设，求的值.‎ ‎21.（本小题满分12分）设函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的极小值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设有两个零点，且成等差数列，‎ 试探究值的符号．‎ 请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.．(本小题满分10分）已知圆锥曲线C： 为参数）和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点，且与直线垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，‎ ‎　　　求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集是,求的取值范围. 数学答案（理）‎ 一． CCBCC CＡBBC AA 二．13. 14. 或 ‎ 三．17．解：（1）由题意可得，即 ，，‎ ‎．又，由，‎ ‎,． -------------------4分 ‎，所以，，‎ 又是最小的正数，． -----------------6分 - ‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ ‎， ‎ ‎. ------------------------12分 ‎ ‎18.解：‎ 方法一：（1）证明：在中，，，，，‎ 所以.又因为在中，，所以.‎ 由已知条件知，平面，所以.‎ 又，所以平面……6分 ‎（2）过点B作交延长线于，连接.‎ 由平面平面，平面平面，AB⊥BC，‎ 得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．‎ 在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，EC=‎ ‎∴∠CFE=60°，由BE∥CF，得∠BEH=60°.又在Rt△BHE中，BE=3，‎ ‎∴．‎ 由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，‎ 所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．…….12分 方法二：（１）同解法一 ‎（２）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．‎ 设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）．从而 设平面AEF的法向量为，由得，‎ 取x=1，则，即.‎ 不妨设平面EFCB的法向量为，‎ 由条件，得，‎ 解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．…12分 ‎19.解：（1）数列为递增的等比数列，则其公比为正数，又，当且仅当时成立。此时公比 所以． -----------2分 ‎（2） 因为 ，所以，即．‎ 所以是首项为，公差为2的等差数列． ----------5分[]‎ ‎（3），所以． ‎ ‎，‎ ‎ ---------------8分 ‎，n∈N，即数列{Tn}是递增数列．∴当n=1时，Tn取得最小值，…10分 要使得对任意n∈N都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，‎ ‎，故正整数m的最小值为4. ----------12分 ‎20.解：（Ⅰ）由得 ‎ ‎ 由及正弦定理得 ------2分 于是 ‎ ‎ ---6分 ‎（Ⅱ）由得，由可得，即 由余弦定理 得 ‎∴ -------12分 ‎ ‎21、解：（1）由 ‎ ‎ 利用导数的方法求得的极小值为…………………2分 ‎（2）因为与有一个公共点（1，1），而函数在点（1，1）的 切线方程为，下面验证：都成立即可。‎ 由于，知恒成立；‎ 设 ‎ 得 在（0，1）上，，单调递增；在 上，，单调递减；‎ 又因为在处连续，所以所以 故存在这样的k和m，且k=2,m= -1. ………………………………6分 ‎（3）有两个零点，则有 ‎，两式相减，得即 ‎ 于是 当时，令，则，‎ 设，则 所以在上为单调增函数，而，所以>0,‎ 又因a>0, ,所以 同理，当时，同理可得 综上所述. ……………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）C：，轨迹为椭圆，其焦点[]‎ ‎ ‎ ‎ 即即 --------5分 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）由（1），,l的斜率为，倾斜角为300，‎ 所以l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的方程中，得：‎ 因为M、N在的异侧, 所以 --------10分 ‎23．解：(1)由题意，令 解得或，函数的定义域为 --------5分 ‎(2) ,，即.[]‎ 由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立. ‎ 而，故. ---------10分 ‎ ‎