专题7-1+不等关系与不等式（讲）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测
全品教学网2018年高考数学讲练测【新课标版文 】【讲】【来.源：全,品…中&高*考*网】第七章 不等式
第01节 不等关系与不等式
【考纲解读】
考 点
考纲内容
五年统计
分析预测
不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
2016课标1理2016课标II理
实际中的不等式关系用不等式表示
备考重点：
实际应用问题中的不等式关系；
不等式性质
掌握不等式的性质及应用
【知识清单】
1.不等关系
在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.
对点练习
【2016全国乙卷理16】某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时.生产一件产品的利润为元，生产一件产品
的利润为元，该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品，产品的利润之和的最大值为 元.
【答案】
【解析】设生产产品A，B的件数分别为，获得利润为元，
则满足约束条件为：，
目标函数为，画出满足不等式组的可行域，如图所示.
联立，得，即.移动目标函数，
可得到当其经过点时，有最大值.故填.【来.源：全,品…中&高*考*网】
2.比较法
比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④
结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
对点练习
若均为正实数，且，那么四个数、、、由小到大的顺序是_________.
【答案】、、、.
3.不等式性质
(1)对称性：a>b⇔b
b，b>c⇒a>c.
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
对点练习
设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A.＞ B.＞
C．|a|＞－b D.＞
【答案】B
【解析】由题设得a＜a－b＜0，所以有＜成立，即＞不成立．
【考点深度剖析】
以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题．
【重点难点突破】
考点1 应用不等式表示不等关系
【1-1】 用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)
【1-2】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．
【解析】由题意知
综合点评：求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
【触类旁通】
【变式】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）
（A）2枝玫瑰的价格高 （B）3枝康乃馨的价格高
（C）价格相同 （D）不确定
【答案】A【来.源：全,品…中&高*考*网】
【解析】
试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则 ，因此，因此2枝玫瑰的价格高，选A.
考点2 比较两数（式）的大小
【2-1】下列各组代数式的关系正确的是________．
①x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9；
②(x－3)2＜(x－2)(x－4)；
③当x＞1时，x3＞x2－x＋1；
④x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
【答案】 ①③④
【解析】 ①2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
即x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9.
②(x－2)(x－4)－(x－3)2＝x2－6x＋8－(x2－6x＋9)
＝－1＜0，
即(x－2)(x－4)＜(x－3)2.
③当x＞1时，x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)
＝(x－1)(x2＋1)＞0，
即x3＞x2－x＋1.
④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋1＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
即x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
【2-2】若，则a,b,c的大小关系是 ．
【答案】
【解析】根据式子特点构造函数，则分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，结合图象可知当5＞3＞2时，
，∴.
【领悟技法】
1、 （利用比较法比较两数（式）的大小时，关键在于作差或商后的变形，需要分解因式或者通分等运算，一定化简彻底；
2、构造函数法比较大小时，通常考虑所构造的函数图象特征或者函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小．
【触类旁通】
【变式一】若0＜a＜b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________．
【答案】 a＜2ab＜＜a2＋b2＜b
【解析】∵0＜a＜b且a＋b＝1，∴a＜＜b＜1，∴2b＞1且2a＜1，
∴a＜2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2＋＜.
即a＜2ab＜，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，
即a2＋b2＞，
a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，
又2b－1＞0，b－1＜0，∴a2＋b2－b＜0，
∴a2＋b2＜b，
综上，a＜2ab＜＜a2＋b2＜b.
【变式二】设，求证：.
证明：由于不等式是关于对称的，不妨设，
于是，
所以.
考点3 不等式的性质【来.源：全,品…中&高*考*网】
【3-1】若a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b＞0 B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0
【答案】D
【解析】 由a＋|b|＜0知，a＜0，且|a|＞|b|，
当b≥0时，a＋b＜0成立，
当b＜0时，a＋b＜0成立，∴a＋b＜0成立．
【3-2】根据条件：满足，且，有如下推理：
（1） （2） (3) (4) 其中正确的是（ ）
A．（1） （2） B．(3) (4) C．（1） (3) D．（2） (4)
【答案】B
【领悟技法】
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
【触类旁通】
【变式一】已知a＞b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．ln a＞ln b B.＜
C．a2＞ab D．a2＋b2＞2ab
【答案】D．
【解析】只有在a＞b＞0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a＞0时正确；因为a≠b，所以D正确．
【变式二】已知下列三个不等式①ab＞0；②＞；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？
【解析】(1)对②变形＞⇔＞0，由ab＞0，bc＞ad得②成立，∴①③⇒②.
(2)若ab＞0，＞0，则bc＞ad，∴①②⇒③.
(3)若bc＞ad，＞0，则ab＞0，∴②③⇒①.
综上所述可组成3个正确命题．
考点4 不等式性质的应用【来.源：全,品…中&高*考*网】
【4-1】已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
【答案】C
【解析】f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.
则解得
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10.
即f(－2)的取值范围为[5,10].
【4-2】设，那么2α－的取值范围是( )
A. B.
C． D.
【答案】D
【解析】由题设得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－＜2α－＜π.
【领悟技法】
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
【触类旁通】
【变式一】下列四个命题，其中正确的命题有( )
①若a＞|b|，则a2＞b2；②若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b＞0，则＞.
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
【答案】C
【解析】①若a＞|b|，则a2＞b2，正确；②若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d，错误，如3＞2，－1＞－3，而3－(－1)＝4＜5＝2－(－3)；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd，错误，如3＞1，－2＞－3，而3×(－2)＜1×(－3)；④若a＞b＞0，则＜，当c＞0时，＜，④错误．∴正确的命题只有1个．故选C.
【变式二】已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若a＞b，则|a|＞|b|
B．若a＞b，则＜
C．若|a|＞b，则a2＞b2
D．若a＞|b|，则a2＞b2
【答案】 D
【解析】 当a＝1，b＝－2时，A，B，C均不正确；对于D，a＞|b|≥0，则a2＞b2.
易错试题常警惕【来.源：全,品…中&高*考*网】
易错典例：已知的取值范围．
易错分析：利用不等式性质，两式相加，得
由，得，则 ，
所以，，，
从而
分析：当时，x=3,y=-3,而不满足已知条件，显然结果有问题.这种通过求出x,y的范围，再的取值范围是一种较为典型的错误.事实上，不等价于，利用不等式性质进行同向不等式向加，已知条件仅仅是后来得到的结果的充分条件，即前者成立，后者不一定成立.因此，这是一个不恒等变形，其中的x,y的取值被扩大了.但是，并不等于说不等式的性质在这里就不能用.我们可以不改变原条件的前提下，整体地对原不等式进行向加．
正确解析：通过观察将后式两边乘2，得于是.
温馨提示：注意不等式性质的单向性．
