2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，，则A∩B＝（ ）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【答案】D ‎【解析】求函数的定义域求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎2．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（ ）‎ A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0‎ C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故C选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得剩下的部分所构成的数列为，从而得到表达式.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：剩下的部分所构成的数列为，‎ ‎∴x天后剩下的部分y与x的函数关系式为 故选D ‎【点睛】‎ 本题以古代文化为背景，考查了函数的解析式，属于基础题.‎ ‎4．若函数，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】推导出f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3=,由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数,∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）==‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．（1）此类求值问题，一般要求的式子较多，不便逐个求解.求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律,进而去化简，从而得到问题的解决方法;（2）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．‎ ‎5．已知，且，则下列不等式中恒成立的是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】主要利用排除法求出结果．‎ ‎【详解】‎ 对于选项A：‎ 当时，不成立；‎ 对于选项B：当时，，所以不成立；‎ 对于选项D：当时，不成立；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎6．已知一次函数的图象过点（其中），则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将代入得到的关系，代入消元，转化成函数最值问题。‎ ‎【详解】‎ 将代入得到，代入得，当且仅当即时取得最大值8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用基本不等式求最值，把所求式子消元转化成函数最值问题处理。‎ ‎7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①若α⊥β，m∥α，则m⊥β ‎②若m∥n，m⊥α，则n⊥α ‎③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ‎④若m⊥α，m⊥β，则α∥β 其中真命题的序号为（ ）‎ A．①③ B．②③ C．②④ D．①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线面平行和垂直，面面平行和垂直的有关定理，对四个命题逐一分析，由此确定真命题的序号.‎ ‎【详解】‎ 对于①，，可能，故①错误.‎ 对于②，两条平行直线其中一条垂直一个平面，则另一条也垂直这个平面.故②正确.‎ 对于③，，可能，故③错误.‎ 对于④，垂直于同一条直线的两个平面平行，故④正确.‎ 综上所述，正确的命题有②④.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行和垂直，面面平行和垂直的命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎8．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的图象，可得a，b的范围，结合指数函数的性质，即可得函数的图象.‎ ‎【详解】‎ 解：通过函数的图象可知：，当时，可得，即．函数是递增函数；排除C，D．当时，可得，，，．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.‎ ‎9．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】若“”是“”的充分不必要条件，则“”的解集是的真子集，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，解得.‎ 若“”是“”的充分不必要条件，则.‎ ‎ .‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了必要条件问题，是中档题．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎10．已知函数是幂函数，设，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（ ）‎ A．f（c）＜f（a）＜（b） B．f（b）＜f（c）＜f（a）‎ C．f（c）＜f（b）＜f（a） D．f（a）＜f（b）＜f（c）‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据为幂函数，求得的值，然后根据、对数函数、指数函数的性质，判断出的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于为幂函数，所以，，所以.由于，所以.而，而在上是减函数，所以.故.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 函数的值域是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ ‎12．若x1，x2分别是函数的零点，则下列结论成立的是（ ）‎ A．x1＝x2 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．x1x2＜1‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，求得的关系式，由此选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令，得，整理得.所以函数与交于，函数与交于.由于关于直线对称，图像关于 对称.所以与关于对称，所以，化简得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数零点，考查函数图像的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．计算：（）0+_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.‎ ‎【详解】‎ 依题意，原式.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎14．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过半圆的弧长得到圆锥底面的圆的半径，从而得到圆锥筒的高.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥底面的半径为，高为，则，故，，填.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，圆锥侧面展开图为扇形，其半径就是圆锥的母线长，其弧长就是圆锥底面的周长.‎ ‎15．如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】等体积法求体积 ‎16．已知函数f（x）x3+2x（x∈R）若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx（x＞1）的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的单调性和奇偶性，结合函数的零点列等式，利用判别式求得的值，再根据基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以为奇函数.由得，由于在上递增，是，化简得，依题意，此方程只有一个根，所以，解得.所以，当且仅当时取得最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查一元二次方程根与判别式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．设定义域为R的函数f（x）．‎ ‎（1）在平面直角坐标系内直接作出函数f（x）的图象．‎ ‎（2）设定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数g（x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）＝f（x），求函数g（x）在定义域上的解析式．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）求得分段函数的解析式，由此画出的图像.‎ ‎（2）利用为偶函数，求得的解析式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于，由此画出图像如下图所示：‎ ‎（2）由于时，，而是偶函数，故当时，，所以，所以的解析式为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数图像的画法，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：‎ ‎（1）MN∥平面ABB1A1；‎ ‎（2）AN⊥A1B．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）利用平行四边形的方法，证明平面.‎ ‎（2）通过证明平面，由此证得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19．已知P；函数f（x）的定义域为A，q：g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求函数的定义域求得集合，求的定义域求得集合，根据p是q的必要条件列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由，得，解得.‎ 由，得，由于，所以，所以，所以不等式的解集为.即，由于p是q的必要条件，所以.所以或，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数定义域的求法，考查根据必要条件求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点.‎ ‎（I）求证：PE⊥平面ABCD； ‎ ‎（II）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．并求此时三棱锥D-ACM的体积。‎ ‎【答案】（I）见解析（II）见解析 ‎【解析】（I）先证明PE⊥AB，即得PE⊥平面ABCD. （II）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD,再证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）证明：因为为正三角形，E为AB的中点，‎ 所以PE⊥AB，‎ 又因为面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，平面PAB.‎ 所以PE⊥平面ABCD.‎ ‎ ‎ ‎（II）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD．‎ 证明：连接．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CD，‎ 因为ABCD是菱形，∠ ABC＝60°，E为AB的中点，‎ 所以是正三角形，EC⊥AB .因为CD // AB，所以EC⊥CD．‎ 因为PE∩EC=E，所以CD⊥平面PEC，所以CD⊥PC．因为M，G分别为PD，CD的中点，‎ 所以MG//PC，所以CD⊥MG．‎ 因为ABCD是菱形，∠ADC＝60°，所以是正三角形.又因为G为CD的中点，所以CD⊥AG，因为MG∩AG=所以CD⊥平面MAG，因为平面ABCD，‎ 所以平面MAG⊥平面ABCD． ‎ 此时，‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)几何体体积的求法常用的有三种：公式法（规则）、割补法（不规则）、变换法（复杂）.‎ ‎21．设函数（为实常数）为奇函数，函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值；‎ ‎（3）当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，‎ ‎∴．································· 2分 ‎（Ⅱ）∵·················· 3分 ‎①当，即时，在上为增函数，‎ ‎ 最大值为．······················· 5分 ‎②当，即时，‎ ‎∴在上为减函数，‎ ‎∴最大值为．······················· 7分 ‎∴························· 8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得在上的最大值为，‎ ‎∴即在上恒成立················ 10分 令，‎ ‎ ‎ 即 所以． 14分 ‎【考点】本试题主要是考查了二次函数的性质以及不等式恒成立问题的运用。‎ 点评：对于二次函数的性质主要是对称性的运用，同时遇到不等式的恒成立问题，一般要采用分离参数的思想来得到其取值范围。属于中档题，有一定的难度。‎ ‎22．已知函数f（x）＝log2（2x+1）．‎ ‎（1）若关于x的方程f（x）＝x+m有实根，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）对方程分类常数，然后根据函数的单调性，求得的取值范围.‎ ‎（2）求得的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质以及在区间上的最大值为，对进行分类讨论，由此列方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，根据复合函数单调性同增异减可知在上递减，而，所以，所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）依题意.令，则，.对称轴为，，所以 当时，；‎ 当时，（舍去）.‎ 综上所述，存在，使在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性，考查符合函数最大值有关计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎