数学文卷·2018届福建省泉州市高三下学期质量检查（3月）（2018

数学文卷·2018届福建省泉州市高三下学期质量检查（3月）（2018

泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知是等比数列，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.用种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设为双曲线：（，）的右焦点，，若直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：）为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知图象：‎ 则函数，，，对应的图象分别是（ ）‎ A．①②③④ B．①②④③ C.②①④③ D．②①③④‎ ‎10.如图，在下列四个正方体中，，，均为所在棱的中点，过，，作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面不垂直的是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎11.已知抛物线：，在的准线上，直线，分别与相切于，，为线段的中点，则下列关于与的关系正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若在方向上的投影为，，则 ．‎ ‎14.已知函数为偶函数，当时，，则 ．‎ ‎15.设，满足约束条件，则的取值范围是 ．‎ ‎16.数列满足，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，是边上一点，且的面积为，求.‎ ‎18.如图，正三棱柱中，为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点为四边形内部及其边界上的点，且三棱锥的体积为三棱柱体积的，试在图中画出点的轨迹，并说明理由.‎ ‎19. 德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品的质量采用综合指标值进行衡量，为一等品；为二等品；为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：‎ ‎（1）估计该新型窑炉烧制的产品为二等品的概率；‎ ‎（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：‎ 一等品 二等品 三等品 销售率 单件售价 元 元 元 根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：‎ ‎①综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不小于；‎ ‎②单件平均利润值不低于元.‎ 若该新型窑炉烧制产品的成本为元/件，月产量为件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.‎ ‎20. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，，点在上，在轴上的射影为的右焦点，且.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若，是上异于，的不同两点，满足，直线，交于点，求证：在定直线上.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，判断是否为的极值点，并说明理由；‎ ‎（2）记.若函数存在极大值，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. ‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线 ： .‎ ‎（1）当 时，求 与 的交点的极坐标；‎ ‎（2）直线 与曲线 交于 ， 两点，且两点对应的参数 ， 互为相反数，求 的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当 时， 求不等式 的解集；‎ ‎（2） ， ，求 的取值范围.‎ 泉州市2018届普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考答案及评分细则 一、选择题 ‎1-5:BACCA 6-10:CBDDD 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解法一：（1）根据正弦定理，‎ 等价于．‎ 又因为在中，‎ ‎．‎ 故，‎ 从而，‎ 因为，所以，得，‎ 因为，所以．‎ ‎（2）由，可得，‎ 因为，所以．‎ 根据余弦定理，得，即．‎ 在中，根据正弦定理有，‎ 得．‎ 因为，‎ 故．‎ 解法二：（1）同解法一．‎ ‎（2）由，可得，‎ 根据正弦定理，‎ 可得．‎ 取的中点，连接，‎ 为边上的高，且，‎ 由，得．‎ 又在直角三角形中，，‎ ‎，得．‎ 所以．‎ ‎18.解法一：（1）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴所以．‎ ‎∵为正三角形，为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，所以 正方形中，∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，故，‎ 又∵，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴．‎ ‎（Ⅱ）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．‎ 理由如下 ‎:‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴到平面的距离为．‎ 所以 ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ 因为为正三角形，为的中点，‎ 所以，从而平面，所以．‎ 正方形中，因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以，故，‎ 又因为，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以．‎ ‎（2）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．理由如下．‎ 设三棱锥的高为，‎ 依题意 故．‎ 因为分别为中点，故，又因为平面，平面，‎ 所以平面，所以到平面的距离为．‎ ‎19.解法一：‎ ‎（1）记为事件“该新型窑炉烧制的产品为二等品”．‎ 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为二等品的频率为，‎ 故事件的概率估计值为．‎ ‎（2）①先分析该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数：‎ 由直方图可知，综合指标值的平均数 ‎．‎ 该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数的估计值，‎ 故满足认购条件①．‎ ‎②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：‎ 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，．‎ 故件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为件，件，件．‎ 一等品的销售总利润为元；‎ 二等品的销售总利润为元；‎ 三等品的销售总利润为元．……11分 故件产品的单件平均利润值的估计值为元，‎ 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件．‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一．‎ ‎（2）①同解法一．‎ ‎②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：‎ 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，．‎ 故件产品的单件平均利润值的估计值为 ‎ 元，有满足认购条件②．‎ 综上所述，该新型窑炉达到认购条件．‎ ‎20.解法一：（1）因为，所以．‎ 又因为，所以．‎ 故椭圆的方程:．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 代入椭圆的方程，得 设，则，解得，，‎ 所以. ‎ 用替换，可得.‎ 解得直线的斜率为，直线的斜率，‎ 所以直线的方程为：①‎ 直线的方程为：②‎ 由①②两直线的交点的横坐标，‎ 所以点在定直线上．‎ 解法二：（1）依题意，，代入椭圆方程，得 因为，代入整理得．‎ 又因为，所以．故椭圆:．‎ ‎（2）证明：，‎ 设，因为点在椭圆上，所以．‎ 设 ，由于，，三点共线，所以．‎ 又，所以．‎ 所以，‎ 即 整理得 因为，解得，所以点在定直线上．‎ 解法三：（1）同解法一或解法二；‎ ‎（2）设，直线的斜率分别为，‎ 则，‎ 又，所以．‎ 又，则．所以．‎ 设直线的方程为①‎ 则直线的方程为②‎ 则两直线的交点的横坐标．所以点在定直线上．‎ ‎21.解：（1）由，可得，‎ 故． ‎ 不是的极值点.‎ 理由如下：．‎ 记，则.‎ 由，解得；由，解得， ‎ 所以在单调递减，在单调递增，‎ 故，即在恒单调递增，‎ 故不是的极值点．‎ ‎（2）依题意，．‎ 则．‎ ‎①时，在恒成立，在恒成立，‎ 所以在上先减后增，‎ 故在上有极小值，无极大值，应舍去．‎ ‎②时，在恒成立，在恒成立，‎ 所以在上先减后增，‎ 故在上有极小值，无极大值，应舍去．‎ ‎③时，由得和，‎ 大于 小于 大于 单调递增 单调递减 单调递增 因为，故有下列对应关系表：‎ 故，‎ 记，‎ 因为在上单调递减，‎ 所以．‎ ‎④当时，因为，故 大于 小于 大于 单调递增 单调递减 单调递增 故，‎ 设，‎ 记，‎ 则，令得和（舍去），‎ 小于 大于 单调递减 单调递增 故．‎ ‎22.【试题简析】解法一：（Ⅰ）由，可得，‎ 所以，即，‎ ‎当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，‎ 联立解得交点为或，‎ 化为极坐标为，‎ ‎（2）由已知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中 点，曲线是以为圆心，半径的圆，且，‎ 由垂径定理知：．‎ 解法二：（1）依题意可知，直线的极坐标方程为，‎ 当时，联立 解得交点，‎ 当时，经检验满足两方程，‎ 当时，无交点；‎ 综上，曲线与直线的点极坐标为，．‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线，得，‎ 可知，，‎ 所以．‎ ‎23.【试题简析】解：（1）当时，，‎ ‎①当时，，‎ 令 即，解得，‎ ‎②当时，，‎ 显然成立，所以，‎ ‎③当时，，‎ 令 即，解得，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 因为，有成立，‎ 所以只需，‎ 化简可得，解得，‎ 所以的取值范围为．‎