甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期10月月考数学试题
2019-2020学年第一学期第一次诊断考试
高三数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：集合，而，所以，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2. 设p：x<3，q：-1
0在区间(1，4)内有解，所以在区间(1，4)内有解，函数在，当时，，所以
故选A
二、填空题（每空5分，共20分）
13.=______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：．
考点：对数的运算．
14.已知偶函数在 上单调递减，若，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
偶函数在单调递减，不等式等价为，则，即，则，即不等式的解集为，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查抽象函数奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.
15.函数的单调递增区间是_________。
【答案】
【解析】
设 ， 或
为增函数，在
为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.
16.给出下列四个命题：
①命题“若，则”的逆否命题；
②“，使得”的否定是：“，均有”；
③命题“”是“”的充分不必要条件；
④：，：，且为真命题．
其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）
【答案】①④
【解析】
【分析】
对于①，由原命题与其逆否命题同真同假，因为原命题为真，即①为真命题；
对于②，特称命题的否定为全称命题,原命题在否定时出错,则②为假命题；
对于③，先求“”的充要条件，再判断其充要条件与“”的充要性即可；
对于④，因为为真命题，为真命题，故且为真命题.
【详解】解：对于①，命题“若，则”真命题，由原命题与其逆否命题同真同假，即①为真命题；
对于②，命题“，使得”的否定是：“，均有”，则②为假命题；
对于③，“”的充要条件为“”，即命题“”是“”的必要不充分条件，则③为假命题；
对于④，因为，所以为真命题，因为，所以为真命题，故且为真命题，则④为真命题；
故答案为①④
【点睛】本题考查了四种命题的关系及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
17.已知全集为，函数的定义域为集合，集合.
（1）求；
（2）若，，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先求集合,再求其补集，再求即可；
（2）由，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论，两种情况，再列不等式组求解即可.
【详解】【解】（1）由得，函数的定义域.
，，得.
，∴.
（2），
①当时，满足要求，此时，得；
②当时，要，则，
解得；由①②得，.
【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考查了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题.
18.已知： （为常数）； ：代数式有意义．
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）通过解不等式得到：，：，求两个不等式的交集即可；
（2）若是成立的充分不必要条件，则，列式求解即可.
试题解析：
：等价于：即；
：代数式有意义等价于：，即
（1）时，即为
若“”为真命题，则，得：
故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，
（2）记集合，
若是成立的充分不必要条件，则，
因此：， ，故实数的取值范围是。
19.已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明：在上是增函数；
（2）若在上的值域是，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据单调性的定义，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，然后通过作差证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）由单调性列a的方程求解即可
【详解】（1）证明：任取，则，
，
，
，
即，
在上是增函数.
（2）由（1）可知， 在上为增函数，
，且，
解得 .
【点睛】考查单调增函数的定义，考查函数的值域，是基础题．
20.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且
f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.
【答案】(1) f(x)是偶函数(2)
【解析】
试题分析：（1）因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f（x）是最小正周期为 2的函数，所以f(x＋2)＝f(x)，则 f(－x)＝f(x)，所以得f（x）是偶函数；
（2）由-1≤x≤0时，f（x）=-x，根据f(x)是偶函数得当0≤x≤1时，f（x）解析式；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）解析式.
试题解析：
(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数.
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故
21.已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义，由时的解析式得时，对应的解析式，即求出实数的值；（2）由（1）知函数在区间上单调递增，所以，得实数的取值范围.
【详解】（1）设，则，
，所以.
（2）由，知在区间上单调递增，所以，
解得.
【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.
22.设是上的奇函数，，当时，.
（1）求的值；
（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析】
（1）由可推出函数是以4为周期的周期函数，
再利用函数的周期性及奇偶性可得，
再利用函数在上的解析式即可得解，
（2）由函数周期性、奇偶性及函数在上的解析式，作出函数在的图像，再求的图象与轴所围成图形的面积即可.
【详解】解：（1）由得，
，
所以是以4为周期的周期函数，
所以.
（2）由是奇函数且，
得，
即.
故知函数的图象关于直线对称.
又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则的图象如下图所示.当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.
【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考查了函数性质的应用，重点考察了作图能力，属中档题.
