【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-4二次函数与幂函数教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-4二次函数与幂函数教案

第四节　二次函数与幂函数 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．‎ ‎ (对应学生用书第13页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．二次函数 ‎ (1)二次函数解析式的三种形式 ‎ 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎ 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；‎ ‎ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．‎ ‎ (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)‎ y＝ax2＋bx＋c(a＜0)‎ 图象 定义域 R 值域 单调性 在上减，‎ 在上增 在上增，‎ 在上减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 ‎2. 幂函数 ‎ (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎ (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数 ‎ 特征 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝x y＝x－1‎ 性质 图象 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ‎(－∞，0)减，‎ ‎(0，＋∞)增 增 增 ‎(－∞，0)和 ‎(0，＋∞)减 公共点 ‎(1,1)‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．一元二次不等式恒成立的条件 ‎ (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎ (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎ (3)ax2＋bx＋c＞0(a＜0)在区间[a，b]恒成立的充要条件是 ‎ (4)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[a，b]恒成立的充要条件是 ‎2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象特征 ‎ (1)α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升．‎ ‎ (2)α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　　)‎ ‎ (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)‎ ‎ (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．(　　)‎ ‎ (4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)‎ ‎ A．　　　　　　　　　　　 B．± ‎ C．± D．9‎ ‎ D　[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.‎ ‎ 所以f(x)＝x＝，‎ ‎ 故f(m)＝＝3⇒m＝9.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ C　[由题意知即得a＞.]‎ ‎4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是 ‎(　　)‎ ‎ A．0　　　　 B．1 ‎ ‎ C．2　　　　 D．4‎ ‎ C　[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C．]‎ ‎5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．‎ ‎ y＝－x2＋2x＋8　[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，‎ ‎ 当x＝1时，ymax＝－‎9a＝9，∴a＝－1，‎ ‎ ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]‎ ‎(对应学生用书第14页)‎ 求二次函数的解析式 ‎　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ ‎ [解]　法一(利用一般式)：‎ ‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎ 由题意得 ‎ 解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ ‎ 法二(利用顶点式)：‎ ‎ 设f(x)＝a(x－m)2＋n.‎ ‎ ∵f(2)＝f(－1)，‎ ‎ ∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.‎ ‎ ∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.‎ ‎ ∴y＝f(x)＝a2＋8.‎ ‎ ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，‎ ‎ ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.‎ ‎ 法三(利用零点式)：‎ ‎ 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，‎ ‎ 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，‎ ‎ 即f(x)＝ax2－ax－‎2a－1.‎ ‎ 又函数的最大值是8，即＝8，解得a＝－4，‎ ‎ ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ ‎ [规律方法]　　用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：‎ ‎[变式训练1]　已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．‎ ‎ [解]　∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，‎ ‎ ∴f(x)的对称轴为x＝2.‎ ‎ 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，‎ ‎ ∴f(x)＝0的两根为1和3.‎ ‎ 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．‎ ‎ 又∵f(x)的图象过点(4,3)，‎ ‎ ∴‎3a＝3，a＝1.‎ ‎ ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，‎ ‎ 即f(x)＝x2－4x＋3.‎ 二次函数的图象与性质 角度1　二次函数的最值问题 ‎　(1)(2017·广西一模)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)‎ ‎ A．－4　　　　 B．－‎3　‎　　　‎ ‎ C．－1　　　　 D．0‎ ‎ (2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为(　　)‎ ‎ A．2 B．－1或－3‎ ‎ C．2或－3 D．－1或2‎ ‎ (1)A　(2)D　[(1)xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥，‎ ‎ 令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，‎ ‎ 当t＝1≥，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A．‎ ‎ (2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：‎ ‎ ①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，‎ ‎ ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.‎ ‎ ②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，‎ ‎ ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋‎2a2＋1－a＝a2－a＋1，‎ ‎ 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．‎ ‎ ③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，‎ ‎ ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋‎2a＋1－a＝2，∴a＝2.‎ ‎ 综上可知，a＝－1或a＝2.]‎ 角度2　二次函数中的恒成立问题 ‎　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________. 【导学号：79170025】‎ ‎ (2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ ‎ (1)　(2)　[(1)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，‎ ‎ 则有 ‎ 即解得－＜m＜0.‎ ‎ (2)由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．‎ ‎ 当x＝0时，适合；‎ ‎ 当x≠0时，a＜2－.‎ ‎ 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.‎ ‎ 综上，实数a的取值范围是.]‎ ‎ [规律方法]　　1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．‎ ‎ 2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.‎ 幂函数的图象与性质 ‎　(1)(2018·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)‎ ‎ A． B．1 ‎ ‎ C． D．2‎ ‎ (2)若(‎2m＋1)＞(m2＋m－1) ，则实数m的取值范围是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C．(－1,2) D． ‎ (1)C　(2)D　[(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，‎ ‎ 所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.‎ ‎ (2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，‎ ‎ 且在定义域内为增函数，‎ ‎ 所以不等式等价于 ‎ 解‎2m＋1≥0，得m≥－；‎ ‎ 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥；‎ ‎ 解‎2m＋1＞m2＋m－1，得－1＜m＜2，‎ ‎ 综上所述，m的取值范围是≤m＜2.]‎ ‎ [规律方法]　　1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．‎ ‎ 2．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．‎ ‎[变式训练2]　(1)设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ ‎ A．a＞c＞b B．c＞a＞b ‎ C．a＞b＞c D．b＞a＞c ‎ (2)若(a＋1) ＜(3－‎2a) ，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ (1)D　(2)　[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞C．‎ ‎ (2)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.]‎