四川省射洪中学校2020届高三上学期月考数学（文）

四川省射洪中学校2020届高三上学期月考数学（文）

文科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.设集合，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3.函数的大致图像为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.双曲线的一条渐近线方程为，则该双 曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎6.若满足，约束条件，则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是 ‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎9.平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为 ‎ A. 16 B. ‎20 ‎C. 21 D. 22‎ ‎10.设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知等差数列，，其前项和为，，则= ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知函数的图象在点处的切线过点，则_______．‎ ‎14.将函数的图象向左平移（）个单位后看，所得到的图象关于轴对称，则的最小值为 ．‎ ‎15.‎ ‎“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用表示)‎ ‎16.已知是抛物线：的焦点，点，点是上任意一点，当点在时，取得最大值，当点在时，取得最小值.则__________．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 在中，角，，所对的边分别是，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求.‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ 为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：‎ 超过1小时 不超过1小时 男 ‎20‎ ‎8‎ 女 ‎12‎ m ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？‎ ‎（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（本大题满分12分）‎ ‎.如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，、、、分别是棱、、、的中点.‎ ‎（I）证明：四边形为矩形；‎ ‎（II）若平面平面，求点到平面的距离.‎ ‎20.（本大题满分12分）‎ 已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.‎ ‎21.（本大题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有三个极值点，，，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的极坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线恰有一个公共点，求点的极坐标。‎ ‎23.设函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对一切实数均成立，求的取值范围.‎ 文科数学试题答案 ‎1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.C 9.D 10.B 11.A 12.C ‎13.3 14. .15． 16. ‎ ‎17.（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.‎ 解：（1）由正弦定理得：，‎ 又，，得 ‎.‎ ‎（2）由正弦定理得：，‎ 又由余弦定理：，‎ 代入，可得.‎ ‎18.解：（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故，得 从而.‎ ‎（Ⅱ）作出列联表如下：‎ 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 合计 男 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 女 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 合计 ‎32‎ ‎16‎ ‎48‎ ‎ .‎ 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.‎ ‎（Ⅲ）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，‎ 故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人.‎ ‎19.解：（1）如图，设的中点为，连接，，‎ ‎∵、、、分别是棱、、、的中点.‎ ‎∴，，且，‎ 故，且，‎ ‎∴四边形为平行四边形.‎ ‎∵与都是等边三角形，‎ ‎∴，，‎ 又，∴平面，故，‎ 又由上知，，∴，‎ ‎∴四边形为矩形.‎ ‎（2）如图，设交于，交于，连接，过作于.‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ ‎∵在（1）的证明中有平面，平面，‎ ‎∴，故由可得.‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴到平面的距离为.‎ ‎∵平面平面，平面平面，，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，于是.‎ 又∵与都是边长为2的等边三角形，‎ ‎∴，故，‎ ‎∴在中，，‎ ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎20.（1）由题意，，‎ 将上式两边平方，化简：，‎ 即曲线的方程为.‎ ‎（2）把代入，有，‎ 设，则：，.‎ ‎，.‎ ‎.即，之积为定值.‎ ‎21.解：（1）由，得，‎ 由仅在处取得极值，则，即.‎ 令，则，当单调递减，单调递增，‎ 则，‎ ‎∴当时，，此时仅一个零点，‎ 则仅一个为极值点，‎ 当时，与在同一处取得零点，此时，，‎ ‎，，‎ ‎∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.‎ 当a＞e时，显然与已知不相符合.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由，则.‎ 由题意则有三个根，则有两个零点，‎ 有一个零点，，‎ 令，则，‎ ‎∴当时取极值，时单调递增，‎ ‎∴，则时有两零点，，且，‎ 若证：，即证：，‎ 由，，则，‎ 即证： ，‎ 由在上单调递增，即证：，‎ 又，则证，‎ 令，，‎ ‎∴ .‎ ‎∴恒成立，则为增函数，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴得证.‎ ‎22.（1）由曲线的参数方程，得. ‎ ‎∵，∴曲线的普通方程为. ‎ ‎∵直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），‎ ‎∴直线的倾斜角为，且过原点（极点）. ‎ ‎∴直线的极坐标方程为，. ‎ ‎（2）由（Ⅰ），可知曲线为半圆弧.‎ 若直线与曲线恰有一个公共点，则直线与半圆弧相切. ‎ 设，由题意，得.故. ‎ 而，∴. ‎ ‎∴点的极坐标为.‎ ‎23.（1）当时得，所以，时，不等式成立；‎ 当时，，得，所以， 时，不等式成立；‎ 当时，，得，所以，成立．‎ 综上，原不等式的解集为：．‎ ‎（2），当且仅当时，取等号，‎ 所以，的最小值为9，故．‎