数学（理）卷·2018届四川省棠湖中学高三下学期第二次月考（2018

数学（理）卷·2018届四川省棠湖中学高三下学期第二次月考（2018

‎2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试 数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数的虚部为（ ）‎ A．-4 B． C． D．3‎ ‎2.已知集合，，则的子集个数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎3.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A．2 B．1 C. -2 D．-1‎ ‎4.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 参考数据：若，则，，.‎ ‎5.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，‎ 侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注）（ ）‎ A．125.77 B．864 C．123.23 D．369.69 ‎ ‎7.在中，是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（ ）‎ A．7 B．20 C.22 D．54‎ ‎9．若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.椭圆：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.在中，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知、是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，满足，|，，则| ．‎ ‎14．已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 ．‎ ‎15.在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为 ．‎ ‎16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 .‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；17～21每题12分，选做题10分，共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及对称中心；‎ ‎（Ⅱ）设的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求，的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）能否据此判断有97. 5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；‎ ‎（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在 轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，求的面积.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知定义在上的函数的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，为正实数，且，求证：．‎ ‎2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试 数学（理科）答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 选项 A A B A C C 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C B B D B D 二． 填空题 ‎13.2 14. 15. 16.‎ ‎17．解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ 所以最小正周期；由，‎ 得对称轴中心为 ‎（Ⅱ）由得 ‎，‎ ‎，由正弦定理得，①‎ 由余弦定理，②‎ 由①②解得 ‎18．（本小题满分12分）解:（1）由表中数据得的观测值 所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. …………3分 ‎（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为 ‎，如图所示 ‎ 设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为 由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为 ‎…………7分 ‎（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.‎ 可能取值为0,1,2，，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以． …………12分 ‎19．（Ⅰ）证明：如图3，连接，，连接，‎ 四棱锥的底面为菱形，‎ 为中点，又是中点，‎ 在中，是中位线，，‎ 又平面，而平面，平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：如图，取的中点，连接，，‎ 为菱形，且，为正三角形，．‎ 设，，，且为等腰直角三角形，即，‎ ‎，‎ 平面，且，‎ ‎，，‎ 如图，建立空间直角坐标系，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，‎ 则，，，，，，， ‎ ‎，，，，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则即 可取．‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则即 可取．‎ 于是． 所以平面与平面所成二面角的正弦值为．‎ ‎20.解：（1）设，，，‎ 由于，所以，‎ 即，所以，‎ 又，所以，从而.‎ 即曲线的方程为：.‎ ‎（2）由题意设直线的方程为：，，，‎ 由得：，‎ 所以.‎ 故，‎ ‎，‎ 假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则 ‎.‎ 当，且时，为常数，解得.‎ 显然当时，常数为；当时，常数为，‎ 所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为.‎ ‎21．解：（Ⅰ）．‎ ① 当a≤0时，，则在上单调递减；‎ ② 当时，由解得，由解得．‎ 即在上单调递减；在上单调递增；‎ 综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．‎ ‎(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，‎ 则． ‎ 要证≥，即证≥，即+≥0，‎ 即证≥‎ 构造函数，则， ‎ 由解得，由解得，‎ 即在上单调递减；在上单调递增；‎ ‎∴ ，‎ 即≥0成立．‎ 从而≥成立．‎ ‎22．【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）由曲线的极坐标方程为，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程是．‎ 由直线的参数方程为（t为参数），得直线的普通方程． ‎ ‎（Ⅱ）由直线的参数方程为（t为参数），得（t为参数），‎ 代入，得，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以，‎ 因为原点到直线的距离，‎ 所以． ‎ ‎23.解：（1）因为，当且仅当 时，等号成立，‎ 所以的最小值等于3，即．　‎ ‎（2）由（1）知，又因为，，是正数，‎ ‎∴，‎ 即．‎