四川省三台中学实验学校2020届高三上学期入学考试数学（理）试题

四川省三台中学实验学校2020届高三上学期入学考试数学（理）试题

三台中学实验学校 2019 年秋季 2017 级高三上期入学 考试 理科数学试题 一．选择题（本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分） 1．若集合 2{ | 2 0}A x x x   ，则 RC A  A．(0，2) B．[0，2] C． ,0 D． 2, 2．若集合 { |1 2}A x x   ，  ,B x x b b R  ，则 A B 的一个充分不必要条 件是 A． 2b  B．1 2b  C． 1b  D． 1b  3．命题 :p “a b ”是“2 2a b ”的充要条件； : , lnxq x R e x   ，则 A． p q  为真命题 B． p q  为假命题 C． p q 为真命题 D． p q 为真命题 4．    4 43 3 3131324  A． 13  B． 31 C． 333 D． 333  5．给出四个命题：①映射就是一个函数；② ( ) lg( 3) 2f x x x    是函数；③ 函数 (= )y f x 的图象与 y 轴最多有一个交点；④ 3( )f x x  与 ( )g x x x  表示 同一个函数.其中正确的有 A．1个 B． 2 个 C．3 个 D．4 个 6．已知函数   1 2 x f x      ，若      0.3 22 , 2 , log 5a f b f c f   ，则 , ,a b c 的大小 关系为 A．c b a  B． a b c  C．c a b  D．b c a  7．定义在 R 上的函数  f x 满足            0,21 0,2 2 xxfxf xxf x ，则  2019f  A． 1 B． 0 C．2 D．1 8．将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， mint 后甲桶剩余的水量符合指数衰减 曲线 nty ae ，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 minm 甲桶中的 水只有 4 a 升，则 m 的值为 A．10 B．9 C．8 D．5 9．已知函数 ( )y f x 的定义域为   ,1 1,   ，且 ( 1)f x  为奇函数，当 1x  时， 2( ) 2f x x x   ，则 1( ) 2f x  的所有根之和等于 A．4 B．5 C．6 D．12 10．函数 e e( ) , ( ,0) (0, )2sin x x f x xx       的图象大致为 A． B． C． D． 11．已知函数        0,1log1 0,42 xx xaxxf a  0a ，且 1a 在 R 上单调递增，且关于 x 的方程   3 xxf 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 A．     16 13,4 3 B．      16 13 4 3,0 C．       16 13 4 3,4 1 D．      16 13 4 3,4 1 12．已知函数 2( ) ( 1) 2 x af x x e x   ，对于任意 1x R ，  2 0,x   ，不等式    1 2 1 2 22f x x f x x x     恒成立，则整数 a 的最大值为 A．1 B． 2 C．3 D．4 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知函数 ( 1) 4f x x   ，则 ( )f x 的解析式为__________． 14．若 41  aa ，则  22 aa __________． 15．已知函数        Rxxxxxxf  ,2019201720152013 ，则函数  xf 的 最小值是__________． 16．已知函数 2 2ln 3( ) x xf x mx    ，若 0 1 ,4x       ，使得 0 0( ( ))f f x x ， 则 m 的取值范围是__________． 三．解答题：(本大题共 6 小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 12 分）已知集合  |2 4 ,xA x R     | lg 4 .B x R y x    （1）求集合 , ;A B （2）集合  |1 1 ,C x m x m     若集合  C A B  ,求实数m 的取值范围． 18．(本小题满分 12 分）若二次函数 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足 g(x＋1)＝2x＋ g(x)， 且 g(0)＝1． （1）求 g(x)的解析式； （2）若在区间[－1,1]上，不等式 g(x)-t>2x 恒成立，求实数 t 的取值范围． 19．(本小题满分 12 分）已知函数     xenmxxxf  2 ，其导函数  xfy  的两 个零点为 3 和 0． （1）求函数 ( )f x 图象在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）求函数 ( )f x 的单调区间； （3）求函数 ( )f x 在区间 2,2 上的最值． 20．(本小题满分 12 分）已知定义域为 R 的函数 1 2( ) 2 x x bf x a    是奇函数． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）判断并证明函数 ( )f x 的单调性； （3）对任意的t R ，不等式 2 2( 2 ) (1 ) 0f mt t f t    恒成立，求m 的取值范 围 21．(本小题满分 12 分）已知函数   axxxf  ln ，   Raaxxxg  ,ln ． （1）求函数  f x 的极值； （2）若 ea 10  ，其中e 为自然对数的底数，求证：函数  xg 有 2 个不同的 零点； （3）若对任意的 1x ，     0 xgxf 恒成立，求实数 a 的最大值． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．[选修 4-4；坐标系与参数方程](本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 34 2 sin 4         ． （1）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点  0,2P 作斜率为 3 的直线 l，l 与圆 C 交于 A，B 两点，试求 1 1 | | | |PA PB  的值． 23．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分） 已知 0a  ， 0b  ， 3 3 2a b  ，证明： （1） 5 5( )( ) 4a b a b  ≥ ； （2） 2a b ≤ ． 2019 年秋季 2017 级高三上期入学考试理科数学答案 一、选择题 小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案代号 B D D A A B C D A D D C 二、填空题 13. 2( ) 2 3( 1)f x x x x    14. 14 15. -16 16.[ 2 , 0)e 三、解答题 17.试题解析：（1） 22 2x   ,2A    lg 4 4y x x  又 可知  4,B   （2）        ,2 4,A B C A B       又    , 1 1 1 1 i C m m m C A B m           若 即 解得 满足： 符合条件         , 1 1 1 1 4 1 2 3 1 2 1,3 ii C m m m C A B m m m m m                  若 即 解得 要保证： 或 解得 舍 或 解得 3m m 综上： 的取值范围为 18.(1)由 g(0)＝1，得 c＝1， ∴g(x)＝ax2＋bx＋1. 又 g(x＋1)－g(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x. ∴ 2a＝2， a＋b＝0. ∴ a＝1， b＝－1. 因此，所求解析式为 g(x)＝x2－x＋1. (2)g(x)-t>2x 等价于 x2－x＋1>2x＋t， 即 x2－3x＋1－t >0，要使此不等式在区间[－1,1]上恒成立， 只需使函数 h(x)＝x2－3x＋1－t 在区间[－1,1]上的最小值大于 0 即可． ∵h(x)＝x2－3x＋1－t 在区间[－1,1]上单调递减， ∴h(x)min＝h(1)＝－t－1，由－t－1>0，得 t <－1. 因此满足条件的实数 t 的取值范围是(－∞，－1)． 19.（1） eexy 34  ； （2）单调增区间  3, ，  ,0 （3）最大值为 25e ，最小值为 1 20 解：⑴∵ ( )f x 为奇函数， (0) 0, ( 1) (1)f f f     即 1 1 220,2 1 4 bb b a a a          ， 解得 2, 1.a b  所以 1 2 1 1 1( ) 2 2 2 2 1 x x xf x        ，检验得 ( ) ( )f x f x   ，满足条件. ⑵ 证明：设 1 2x x 则 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x xf x f x        ∵ 1 2x x 2 12 2 0x x   ， 1(2 1) 0x   2(2 1) 0x    2 1 1 2 2 2 0(2 1)(2 1) x x x x     ( )f x 为 R 上减函数 ⑶∵ 2 2( 2 ) (1 ) 0f mt t f t    ,  2 2( 2 ) (1 )f mt t f t    ∵ ( )f x 为奇函数, 2 2(1 ) ( 1)f t f t    , 则 2 2( 2 ) ( 1)f mt t f t   . 又 ( )f x 为 R 上 减 函 数  2 22 1mt t t   即   21 2 1 0m t t    恒成立, 1m  时显然不恒成立， 所以 1 0 4 4( 1) 0 m m       2m  21.解：（1）极小值为 ;11 aeef      无极大值； （2）略 （3）实数 a 的最大值为 2 22.解【详解】（1）由 34 2sin 4       ，可得 4cos 4sin    ， ∴ 2 4 cos 4 sin      ，∴圆 C 的直角坐标方程为 2 2 4 4x y x y   ， 即   2 22 2 8x y    . （2）直线l 的参数方程为 1 2 32 2 x t y t      ， （t 为参数），代人   2 22 2 8x y    ， 得 2 2 4 0t t   ，则 1 2 1 22 4t t t t    ， . 由t 的几何意义可得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 t t t t PA PB t t t t t t        . 23.解（1） 5 5 6 5 5 6( )( )a b a b a ab a b b      3 3 2 3 3 4 4( ) 2 ( )a b a b ab a b     2 2 24 ( )ab a b   4≥ . ................5 分 （2）∵ 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b     2 3 ( )ab a b   23( )2 ( )4 a b a b ≤ 33( )2 4 a b  ， 所以 3( ) 8a b ≤ ，因此 2a b ≤ ． ...................10 分