2012年呼和浩特中考数学试卷

2012年呼和浩特中考数学试卷

2012 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．﹣2 的倒数是（　　） 　A．2 B．﹣2 C． D ． 　 2．如图，已知 a∥b，∠1=65°，则∠2 的度数为（　　） 　A．65° B．125° C．115° D ． 25° 　 3．在一个不透明的口袋中，装有 3 个红球，2 个白球，除颜色不同外，其余都相同，则随机从口袋中摸出 一个球为红色的概率是（　　） 　A． B． C． D ． 　 4．下列各因式分解正确的是（　　） 　A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2） （x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2D ． x2﹣4x=x（x+2） （x﹣2） 　 5．已知：x1，x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3，x1x2=1，则 a、b 的值分别是（　　） 　A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C． ，b=﹣1 D ． ，b=1 　 6．如图，在一长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形，边长为 1 的正六边形和半径为 1 的圆，则一点 随机落在这三个图形内的概率较大的是（　　） 　A．落在菱形内 B．落在圆内 C．落在正六边形内 D ． 一样大 　 7．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x﹣2y=2 的解是（　　） 　A． B． C． D ． 　 8．已知：在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（　　） 　A．25 B．50 C． D ． 　 9．已知：M，N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 上，点 N 在直线 y=x+3 上，设点 M 的坐标为 （a，b），则二次函数 y=﹣abx2+（a+b）x（　　） 　A ． 有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为 　C．有最小值，最小值为 D ． 有最小值，最小值为 　 10．下列命题中，真命题的个数有（　　） ①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行 ②函数 图象上的点 P（x，y）一定在第二象限 ③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面 ④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为 ． 　A．3 个 B．1 个 C．4 个 D ． 2 个 　 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上， 不需要解答过程） 11．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　_________　． 　 12．太阳的半径约为 696 000 千米，用科学记数法表示为　_________　千米． 　 13．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC=　 _________　． 　 14．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为　_________　． 　 15．一组数据﹣1，0，2，3，x，其中这组数据的极差是 5，那么这组数据的平均数是　_________　． 　 16．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为　_________　 cm． 　 三、解答题（本大题包括 9 个小题，共 72 分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 17．（1）计算： ． （2）先化简，再求值： ，其中 ． 　 18．（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7； （2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程 2x﹣ax=3 的解，求 a 的值． 　 19．如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A（m，6），B（n，3）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 时 x 的取值范围． 　 20．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 边上任意一点，DE⊥AG 于 E，BF∥DE，交 AG 于 F． （1）求证：AF﹣BF=EF； （2）将△ABF 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AD 重合，记此时点 F 的对应点为点 F′，若正方形边长为 3，求点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离． 　 21．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时） （1）找出该样本数据的众数和中位数； （2）计算这些车的平均速度；（结果精确到 0.1） （3）若某车以 50.5 千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一半以上车的速度快？并说明判断 理由． 　 22．如图，线段 AB，DC 分别表示甲、乙两建筑物的高．某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高， 用自制测角仪在 B 外测得 D 点的仰角为 α，在 A 处测得 D 点的仰角为 β．已知甲、乙两建筑物之间的距 离 BC 为 m．请你通过计算用含 α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度． 　 23．如图，某化工厂与 A，B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回 工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．已知公路运价为 1.5 元/（吨•千米），铁路运价为 1.2 元/（吨• 千米），这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元，请计算这批产品的销售款比原料费和 运输费的和多多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全 甲、乙两名同学所列方程组． 甲：x 表示　_________　，y 表示　_________　 乙：x 表示　_________　，y 表示　_________　 （2）甲同学根据他所列方程组解得 x=300，请你帮他解出 y 的值，并解决该实际问题． 　 24．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D，OP 与 弧 AC 相交于点 E，连接 BC． （1）求证：∠PAC=∠B，且 PA•BC=AB•CD； （2）若 PA=10，sinP= ，求 PE 的长． 　 25．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线 相交于点 A，B，且抛物线经过坐标原点，点 A 的坐 标为（﹣2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点，已 知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由． 　 2012 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．（3 分）﹣2 的倒数是（　　） 　A．2 B．﹣2 C． D ． 考点： 倒数。1444826 分析：[来 源:Z|xx|k.Com] 根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 解答： 解：∵﹣2×（ ）=1，∴﹣2 的倒数是﹣ ． 故选 D． 点评： 主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数，属 于基础题． 　 2．（3 分）如图，已知 a∥b，∠1=65°，则∠2 的度数为（　　） 　A．65° B．125° C．115° D ． 25° 考点： 平行线的性质。1444826 分析： 先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由平角的定义即 可得出结论． 解答： 解：∵a∥b，∠1=65°， ∴∠3=∠1=65°， ∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣65°=115°． 故选 C． 点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 　 3．（3 分）在一个不透明的口袋中，装有 3 个红球，2 个白球，除颜色不同外，其余都相同，则随机从口 袋中摸出一个球为红色的概率是（　　） 　A． B． C． D ． 考点： 概率公式。1444826 分析： 让红球的个数除以球的总数即为所求的概率． 解答： 解：袋子中球的总数为 2+3=5，红球有 3 个，则摸出红球的概率为 ， 故选 A． 点评： 本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情 况数之比． 　 4．（3 分）下列各因式分解正确的是（　　） 　A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2） （x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2D ． x2﹣4x=x（x+2） （x﹣2） 考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法。1444826 分析： 根据完全平方公式与平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法 求解． 解答： 解：A、﹣x2+（﹣2）2=﹣x2+4=（2﹣x）（2+x），故本选项错误； B、x2+2x﹣1 不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误； C、4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2，故本选项正确 ； D、x2﹣4x=x（x﹣4），故本选项错误． 故选 C． 点评： 本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式的结构式解题 的关键． 　 5．（3 分）已知：x1，x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3，x1x2=1，则 a、b 的值分别是 （　　） 　A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C． ，b=﹣1 D ． ，b=1 考点： 根与系数的关系。1444826 专题： 计算题。 分析： 先根据根与系数的关系可得 x1+x2=﹣2a，x1x2=b，而 x1+x2=3，x1x2=1，那么﹣2a=3，b=1，解即 可． 解答： 解：∵x1，x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根， ∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b， ∵x1+x2=3，x1x2=1， ∴﹣2a=3，b=1， 即 a=﹣ ，b=1， 故选 D． 点评：[来 源:学_科_网 Z_X_X_K] 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式． 　 6．（3 分）如图，在一长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形，边长为 1 的正六边形和半径为 1 的圆， 则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是（　　） 　A．落在菱形内 B．落在圆内 C．落在正六边形内 D ． 一样大 考点： 几何概率。1444826 分析： 分别求得三个图形的面积，则面积最大的就是所求的图形． 解答： 解：菱形的面积是： ×2×3=3； 正六边形的面积是：6× = ； 圆的面积是：π． ∵π＞ ＞3， ∴圆的面积最大． ∴一点随机落在这三个图形内的概率较大的是：圆． 故选 B． 点评： 本题考查了几何概率，正确求得三个图形的面积是关键． 　 7．（3 分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x﹣2y=2 的解是（　　） 　A． B． C． D ． 考点： 一次函数与二元一次方程（组）。1444826 分析： 根据两点确定一条直线，当 x=0，求出 y 的值，再利用 y=0，求出 x 的值，即可得出一次函数图象 与坐标轴交点，即可得出图象． 解答： 解：∵x﹣2y=2， ∴y= x﹣1， ∴当 x=0，y=﹣1，当 y=0，x=2， ∴一次函数 y= x﹣1，与 y 轴交于点（0，﹣1），与 x 轴交于点（2，0）， 即可得出 C 符合要求， 故选：C． 点评： 此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐 标是解题关键． 　 8．（3 分）已知：在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（　　） 　A．25 B．50 C． D ． 考点： 等腰梯形的性质。1444826 分析： 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E，作 DF⊥BC 于 F，证平行四边形 ADEC，推出 AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出 BF=DF=EF= BE，求出 DF，根据梯形的面积 公式求出即可． 解答： 解：过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E， ∵AD∥BC（已知）， 即 AD∥CE， ∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴AD=CE=3，AC=DE， 在等腰梯形 ABCD 中，AC=DB， ∴DB=DE（等量代换）， ∵AC⊥BD，AC∥DE， ∴DB⊥DE， ∴△BDE 是等腰直角三角形， 作 DF⊥BC 于 F， 则 DF= BE=5， S 梯形 ABCD= （AD+BC）•DF= （3+7）×5=25， 故选 A． 点评： 本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等 知识点的理解和掌握，能求出高 DF 的长是解此题的关键． 　 9．（3 分）已知：M，N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 上，点 N 在直线 y=x+3 上，设点 M 的 坐标为（a，b），则二次函数 y=﹣abx2+（a+b）x（　　） 　A ． 有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为 　C．有最小值，最小值为 D ． 有最小值，最小值为 考点： 二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标。1444826 分析： 先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可． 解答： 解：∵M，N 两点关于 y 轴对称，点 M 的坐标为（a，b）， ∴N 点的坐标为（﹣a，b）， 又∵点 M 在反比例函数 的图象上，点 N 在一次函数 y=x+3 的图象上， ∴ ， 整理得 ， 故二次函数 y=﹣abx2+（a+b）x 为 y=﹣ x2+3x， ∴二次项系数为﹣ ＜0，故函数有最大值，最大值为 y= = ， 故选：B． 点评： 本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出， 第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值． 　 10．（3 分）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行 ②函数 图象上的点 P（x，y）一定在第二象限 ③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面 ④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为 ． 　A．3 个 B．1 个 C．4 个 D ． 2 个 考点： 命题与定理；非负数的性质：绝对值；二次根式有意义的条件；解一元二次方程-公式法；二次函 数图象上点的坐标特征；平移的性质；旋转的性质；平行投影。1444826 分析： ①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可；②根据二次根式的性质以及点的坐标性质，得 出答案；③根据正投影的定义得出答案； ④根据使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立，即 y=|x|﹣3，y=﹣x2，故|x|﹣3=﹣x2，进而利用绝对值得 性质，解方程即可得出答案． 解答： 解：①平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，故此选项 错误； ②根据二次根式的意义得出 x＜0，y＞0，故函数 图象上的点 P（x，y）一定在第二 象限，故此选项正确； ③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确； ④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立，即 y=|x|﹣3，y=﹣x2，故|x|﹣3=﹣x2， x2﹣|x|﹣3=0， 当 x＞0，则 x2﹣x﹣3=0， 解得：x1= ，x2= （不合题意舍去）， 当 x＜0，则 x2+x﹣3=0， 解得：x1= （不合题意舍去），x2= ， 故使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为： ， ，故此选项错误， 故正确的有 2 个， 故选：D． 点评： 此题主要考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识， 熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键． 　 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上， 不需要解答过程） 11．（3 分）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　x≠2　． 考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。1444826 专题： 计算题。 分析： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为 0． 解答： 解：x﹣2≠0，解得 x≠2． 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0． 　 12．（3 分）太阳的半径约为 696 000 千米，用科学记数法表示为　6.96×105　千米． 考点： 科学记数法—表示较大的数。1444826 分析：[来 源:Z&xx&k.Com] 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是 正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答： 解：将 696 000 千米用科学记数法表示为 6.96×105 千米． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 　 13．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC=　 66.5°　． 考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质。1444826 分析： 根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠DAC+ ACF= （∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）= ；最后在△AEC 中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC 的度 数． 解答： 解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF； 又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠DAC+ ACF= （∠B+∠ACB）+ （∠B+∠BAC）= （∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）= （外角 定理）， ∴∠AEC=180°﹣（ ∠DAC+ ACF）=66.5°； 故答案是：66.5°． 点评： 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角 形内角和是 180°”． 　 14．（3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为　﹣b　． 考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴。1444826 专题： 计算题。 分析： 由数轴得出 b＜0＜a，|b|＞|a|，原式化简为|a+b|+a，去掉绝对值符号得出﹣a﹣b+a，合并同类项即 可． 解答： 解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴ +a， =|a+b|+a， =﹣a﹣b+a， =﹣b， 故答案为：﹣b． 点评： 本题考查了二次根式的性质与化简和实数与数轴的应用，解此题的关键是根据数轴得出 b＜0＜a 和 |b|＞|a|，题目比较典型，是一道比较好的题目． 　 15．（3 分）一组数据﹣1，0，2，3，x，其中这组数据的极差是 5，那么这组数据的平均数是　1.6 或 0.4　． 考点： 算术平均数；极差。1444826 分析： 根据极差的定义求解．分两种情况：x 为最大值或最小值．再根据平均数的公式求解即可． 解答： 解：一组数据﹣1，0，2，3，x 的极差是 5， 当 x 为最大值时，x﹣（﹣1）=5，x=4，平均数是：（﹣1+0+2+3+4）÷5=1.6； 当 x 是最小值时，3﹣x=5，解得：x=﹣2，平均数是：（﹣1+0+2+3﹣2）÷5=0.4． 故答案为：1.6 或 0.4． 点评： 考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本 题的关键． 　 16．（3 分）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为　2π　 cm． 考点： 圆锥的计算；由三 视图判断几何体。1444826 分析： 根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式=（底面周长×母线长）÷2 可计算出结 果． 解答： 解：由题意得底面直径为 2，母线长为 2， ∴几何体的侧面积为 ×2×2π=2π， 故答案为：2π． 点评： 此题主要考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积公式的应用，关键是找到等量关系里相应 的量． 　 三、解答题（本大题包括 9 个小题，共 72 分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 17．（10 分）（1）计算： ． （2）先化简，再求值： ，其中 ． 考点： 分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。1444826 分析： （1）根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂进行计算； （2）先通分，将除法转化为乘法，约分，再代值计算． 解答： 解：（1）原式= +（ ﹣1）+ =2 ﹣ ； （2）原式=（ x+1）÷ = ， 当 x=﹣ 时，原式=﹣ ×（﹣ +1）÷（﹣ ×3+1）=﹣ ． 点评： 本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．关键是熟练掌握 每一个运算法则． 　 18．（6 分）（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7； （2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程 2x﹣ax=3 的解，求 a 的值． 考点： 解一元 一次不等式；一元一次方程的解；一元一次不等式的整数解。1444826 分析： （1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集； （2）根据（1）中的 x 的取值范围来确定 x 的最小整数解；然后将 x 的值代入已知方程列出关于系 数 a 的一元一次方程 2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3，通过解该方程即可求得 a 的值． 解答： 解：（1）5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7 5x﹣10+8＜6x﹣6+7 5x﹣2＜6x+1 ﹣x＜3 x＞﹣3 （2）由（1）得，最小整数解为 x=﹣2， ∴2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3 ∴a= ． 点评： 本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．解不等式要依据 不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 　 19．（6 分）如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A（m，6），B（n，3）两 点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 时 x 的取值范围． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。1444826 分析： （1）先把（m，6）、B（n，3）代入反比例函数，可求 m、n 的值，即可得 A、B 的坐标，然后把 AB 两点坐标代入一次函数，可得关于 k、b 的二元一次方程组，解可得 k、b 的值，进而可得一次函数 的解析式； （2）根据图象可知当 1＜x＜2 时，一次函数 y 的值大于反比例函数 y 的值． 解答： 解：（1）∵点 A（m，6）、B（n，3）在函数 y= 图象上， ∴m=1，n=2， ∴A 点坐标是（1，6），B 点坐标是（2，3）， 把（1，6）、（2，3）代入一次函数 y=kx+b 中，得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为 y=﹣3x+9； （2）由图象知：1＜x＜2． 点评： 本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，解题的关键是先求出 m、n 的值，并注意待定系数 法的使用． 　 20．（7 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 边上任意一点，DE⊥AG 于 E，BF∥DE，交 AG 于 F． （1）求证：AF﹣BF=EF； （2）将△ABF 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AD 重合，记此时点 F 的对应点为点 F′，若正方形边长为 3，求点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离． 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质。1444826 专题： 几何综合题。 分析： （1）由四边形 ABCD 为正方形，可得出∠BAD 为 90°，AB=AD，进而得到∠BAG 与∠EAD 互余， 又 DE 垂直于 AG，得到∠EAD 与∠ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用 AAS 可得出三角形 ABF 与三角形 ADE 全等，利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE，由 AF﹣AE=EF，等量代换可得证； （2）将△ABF 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AD 重合，记此时点 F 的对应点为点 F′，连接 EF′， 如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF=AF′，由第一问的全等可得出 AF=DE，等量代 换可得出 DE=AF′=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到 AF′与 DE 平行，根据一组对边平行且 相等的四边形为平行四边形可得出 AEDF′为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可 得出 AEDF′为矩形，根据矩形的对角线相等可得出 EF′=AD，由 AD 的长即可求出 EF′的长． 解答： （1）证明：如图，∵正方形 ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°， ∵DE⊥AG， ∴∠AED=90°， ∴∠EAD+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BAF， 又∵BF∥DE， ∴∠AEB=∠AED=90°， 在△AED 和△BFA 中， ∵ ， ∴△AED≌△BDA（AAS）， ∴BF=AE， ∵AF﹣AE=EF， ∴AF﹣BF=EF； （2）解：如图， 根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF， ∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°， ∴AF′∥ED， ∴四边形 AEDF′为平行四边形，又∠AED=90°， ∴四边形 AEDF′是矩形， ∴EF′=AD=3． 点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练 掌握判定与性质是解本题的关键． 　 21．（9 分）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时） （1）找出该样本数据的众数和中位数； （2）计算这些车的平均速度；（结果精确到 0.1） （3）若某车以 50.5 千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一半以上车的速度快？并说明判断 理由． 考点： 条形统计图；加权平均数；中位数；众数。1444826 专题： 图表型。 分析： （1）根据众数的定义，找出车辆数最多的即为众数，先求出车辆数的总数，再根据中 位数的定义 解答； （2）根据加权平均数的计算方法列式计算即可得解； （3）与中位数相比较，大于中位数则是比一半以上车的 速度快，否则不是． 解答： 解：（1）该样本数据中车速是 52 的有 8 辆，最多， 所以，该样本数据的众数为 52， 样本容量为：2+5+8+6+4+2=27， 按照车速从小到大的顺序排列，第 13 辆车的车速是 52， 所以，中位数为 52； （2） ≈52.4 千米/ 时； （3）不能， 因为由（1）知样本的中位数为 52，所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于 52 千米/ 时， 该车的速度是 50.5 千米/时，小于 52 千米/时，所以不能说该车的速度要比一半以上车的速度快． 点评： 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关 键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了平均数、中位数、众数的认识． 　 22．（6 分）如图，线段 AB，DC 分别表示甲、乙两建筑物的高．某初三课外兴趣活动小组为了测量两建 筑物的高，用自制测角仪在 B 外测得 D 点的仰角为 α，在 A 处测得 D 点的仰角为 β．已知甲、乙两建筑 物之间的距离 BC 为 m．请你通过计算用含 α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。1444826 分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△ADM、△DBC，应借助 AE=BC，求出 DC，DM，从而求出 AB 即可． 解答： 解：过点 A 作 AM⊥CD，垂足为 M， 在 Rt△BCD 中，tanα= ， ∴CD=BC•tanα=mtanα， 在 Rt△AMD 中，tanβ= ， ∴DM=AM•tanβ=mtanβ， ∴AB=CD﹣DM=m（tanα﹣tanβ）． 故甲建筑物的高度为 mtanα，乙建筑物的高度为 m（tanα﹣tanβ）． 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解 直角三角形是解题关键． 　 23．（8 分）如图，某化工厂与 A，B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原 料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．已知公路运价为 1.5 元/（吨•千米），铁路运价为 1.2 元/ （吨•千米），这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元，请计算这批产品的销售款比原 料费和运输费的和多多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全 甲、乙两名同学所列方程组． 甲：x 表示　产品的重量　，y 表示　原料的重量　 乙：x 表示　产品销售额　，y 表示　原料费　 （2）甲同学根据他所列方程组解得 x=300，请你帮他解出 y 的值，并解决该实际问题． 考点： 二元一次方程组的应用。1444826 分析： （1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出 x，y 的值并补全方程组即可； （2）将 x 的值代入方程组即可得到结论． 解答： 解：（1）甲：x 表示产品的重量，y 表示原料的重量， 乙：x 表示产品销售额，y 表示原料费， 甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲； （2）将 x=300 代入原方程组解得 y=400 ∴产品销售额为 300×8000=2400000 元 原料费为 400×1000=400000 元 又∵运费为 15000+97200=112200 元 ∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多 2400000﹣（400000+112200）=1887800 元 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系并写出表示出 x、y 所表 示的实际意义． 　 24．（8 分）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D， OP 与弧 AC 相交于点 E，连接 BC． （1）求证：∠PAC=∠B，且 PA•BC=AB•CD； （2）若 PA=10，sinP= ，求 PE 的长． 考点： 切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。1444826 专题： 几何综合题。 分析： （1）由 PA 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 AP 垂直于 AB，可得出∠PAO 为直角，得到∠PAD 与∠DAO 互余，再由 AB 为圆 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB 为直角，得 到∠DAO 与∠B 互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角 相等的两三角形相似可得出三角形 APD 与三角形 ABC 相似，由相似得比例，再由 OD 垂直于 AC， 利用垂径定理得到 AD=CD，等量代换可得证； （2）在直角三角形 APD 中，由 PA 及 sinP 的值求出 AD 的长，再利用勾股定理求出 PD 的长，进 而确定出 AC 的长，由第一问两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出 AB 的上，求出半 径 AO 的长，在直角三角形 APO 中，由 AP 及 AO 的长，利用勾股定理求出 OP 的长，用 OP﹣OE 即可求出 PE 的长． 解答： （1）证明：∵PA 是⊙O 的切线，AB 是直径， ∴∠PAO=90°，∠C=90°， ∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°， ∴∠PAC=∠B， 又∵OP⊥AC， ∴∠ADP=∠C=90°， ∴△PAD∽△ABC， ∴AP：AB=AD：BC， ∵在⊙O 中，AD⊥OD， ∴AD=CD， ∴AP：AB=CD：BC， ∴PA•BC=AB•CD； （2）解：∵sinP= ，且 AP=10， ∴ = ， ∴AD=6， ∴AC=2AD=12， ∵在 Rt△ADP 中，PD= =8， 又∵△PAD∽△ABC， ∴AP：AB=PD：AC， ∴AB= =15， ∴A0= ， 在 Rt△APO 中，根据勾股定理 得：OP= = ， ∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5． 点评： 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及锐角 三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 　 25．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线 相交于点 A，B，且抛物线经过坐标原点， 点 A 的坐标为（﹣2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一 交点，已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E． （1 ）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题。1444826 专题： 综合题。 分析： （1）将点 A 的坐标代入双曲线方程即可得出 k 的值，设 B 点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据 双曲线方程可得出 m 的值，然后分别得出了 A、B、O 的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析 式即可； （2）根据点 B 的坐标，结合抛物线方程可求出点 C 的坐标，继而可得出三角形 ABC 的面积，先 求出 AB 的解析式，然后求出点 F 的坐标，及 EF 的长，继而根据 S△ABE=S△AEF+S△BEF 可得出答 案． （3）先确定符合题意的三角形 ABD 的面积，继而可得出当点 D 与点 C 重合时，满足条件，过点 C 作 AB 的平行线 CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标． 解答： 解：（1）∵点 A（﹣2，2）在双曲线 y= 上， ∴k=﹣4， ∴双曲线的解析式为 y=﹣ ， ∵BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴距离的 4 倍， ∴设 B 点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得 m=1， ∴抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）过点 A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）， ∴ ， 解得： ， 故抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣3x； （2）∵抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣3x， ∴顶点 E（﹣ ， ），对称轴为 x=﹣ ， ∵B （1，﹣4）， ∴﹣x2﹣3x=﹣4， 解得：x1=1，x2=﹣4， ∴C（﹣4，﹣4）， ∴S△ABC=5×6× =15， 由 A、B 两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线 AB 的解析式为：y=﹣2x﹣2， 设抛物线的对称轴与 AB 交于点 F，则 F 点的坐标为（﹣ ，1）， ∴EF= ﹣1= ， ∴S△ABE=S△AEF+S△BEF= × ×3= ； （3）S△ABE= ， ∴8S△ABE=15， ∴当点 D 与点 C 重合时，显然满足条件； 当点 D 与点 C 不重合时，过点 C 作 AB 的平行线 CD，其对应的一次函数解析式为 y=﹣2x﹣12，[来 源:Zxxk.Com] 令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x， 解得 x1=3，x2=﹣4（舍去）， 当 x=3 时，y=﹣18， 故存在另一点 D（3，﹣18）满足条件． 综上可得点 D 的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）． 点评： 此题属于二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们 会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．