【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第6节数学归纳法学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第6节数学归纳法学案

第六节 数学归纳法 ‎1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;‎ ‎(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.‎ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.‎ ‎2.数学归纳法的框图表示 ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(  )‎ ‎(2)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(  )‎ ‎(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(  )‎ ‎(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-‎1”‎,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于(  )‎ A.1  B.2‎ C.3 D.0‎ C [因为凸n边形最小为三角形,所以第一步检验n等于3,故选C.]‎ ‎3.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证(  )‎ A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 B [k为偶数,则k+2为偶数.]‎ ‎4.(教材改编)已知{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N*,且a1=2,则a2=__________,a3=__________,a4=__________,猜想an=__________.‎ ‎3 4 5 n+1‎ ‎5.用数学归纳法证明:“1+++…+1)”由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项的项数是__________. ‎ ‎【导学号:51062209】‎ ‎2k [当n=k时,不等式为1+++…+均成立.‎ ‎[证明] (1)当n=2时,左边=1+=;右边=.∵左边>右边,∴不等式成立.4分 ‎(2)假设n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,‎ 即·…·>.8分 则当n=k+1时,·…·>·= ‎=> ‎==.14分 ‎∴当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.15分 ‎[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他方法不容易证明,则可考虑应用数学归纳法.‎ ‎2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.‎ ‎[变式训练2] 已知数列{an},当n≥2时,an<-1,又a1=0,a+an+1‎ ‎-1=a,求证:当n∈N*时,an+1a2.4分 ‎(2)假设当n=k(k∈N*)时,ak+10.10分 又∵ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1,‎ ‎∴ak+2-ak+1<0,‎ ‎∴ak+20,n∈N*.‎ ‎(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明通项公式的正确性.‎ ‎[解] (1)当n=1时,由已知得a1=+-1,a+‎2a1-2=0.‎ ‎∴a1=-1(a1>0).2分 当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,‎ 将a1=-1代入并整理得a+2a2-2=0.‎ ‎∴a2=-(a2>0).同理可得a3=-.‎ 猜想an=-(n∈N*).7分 ‎(2)证明:①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.‎ ‎②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立,‎ 即ak=-.10分 由于ak+1=Sk+1-Sk=+--,‎ 将ak=-代入上式,整理得 a+2ak+1-2=0,‎ ‎∴ak+1=-,‎ 即n=k+1时通项公式成立.14分 由①②可知对所有n∈N*,an=-都成立.15分 ‎[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点:(1)准确计算a1,a2,a3发现规律(必要时可多计算几项);(2)证明ak+1时,ak+1的求解过程与a2,a3的求解过程相似,注意体会特殊与一般的辩证关系.‎ ‎2.“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它的模式是先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理证明结论的正确性.‎ ‎[变式训练3] (2017·绍兴调研)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论. 【导学号:51062210】‎ ‎[解] 由x1=及xn+1=,‎ 得x2=,x4=,x6=,‎ 由x2>x4>x6猜想:数列{x2n}是递减数列.4分 下面用数学归纳法证明:‎ ‎(1)当n=1时,已证命题成立.6分 ‎(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,‎ 即x2k>x2k+2,易知xk>0,那么 x2k+2-x2k+4=- ‎==‎ >0,12分 即x2(k+1)>x2(k+1)+2.‎ 也就是说,当n=k+1时命题也成立.‎ 结合(1)(2)知,对∀n∈N*命题成立.15分 ‎[思想与方法]‎ ‎1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据.‎ ‎2.在推证n=k+1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要弄清n=k与n=k+1之间的关系.在推证时,应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.第一步验证当n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起始值.‎ ‎2.由n=k时命题成立,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用归纳假设,否则就不是数学归纳法.‎ ‎3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础.否则将会做大量无用功.‎ 课时分层训练(三十五) 数学归纳法 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是(  )‎ A.1  B.2‎ C.3 D.4‎ C [∵n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;‎ n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;‎ n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.‎ ‎∴n的第一个取值应是3.]‎ ‎2.一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(  ) 【导学号:51062211】‎ A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 B [本题证的是对n=1,3,5,7,…命题成立,即命题对一切正奇数成立.]‎ ‎3.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为(  )‎ A.        B. C. D. C [由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2==,a3==,a4==.猜想an=.]‎ ‎4.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为 ‎(  )‎ A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2‎ C [边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n ‎-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.]‎ ‎5.用数学归纳法证明3(2+7k)能被9整除,证明n=k+1时,应将3(2+‎ ‎7k+1)配凑成(  ) 【导学号:51062212】‎ A.6+21·7k B.3(2+7k)+21‎ C.3(2+7k) D.21(2+7k)-36‎ D [要配凑出归纳假设,故3(2+7k+1)=3(2+7·7k)=6+21·7k=21(2+7k)-36.]‎ 二、填空题 ‎6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=__________时,命题亦真.‎ ‎2k+1 [n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.]‎ ‎7.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为__________. 【导学号:51062212】‎ ‎(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 [当n=k时左端为1+2+3+…+k+(k+1)+(k+2)+…+k2,‎ 则当n=k+1时,左端为 ‎1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,‎ 故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.]‎ ‎8.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为__________________.‎ f(2n)>(n≥2,n∈N*) [因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2,n∈N*).]‎ 三、解答题 ‎9.用数学归纳法证明:1+++…+<2-(n∈N*,n≥2).‎ ‎[证明] (1)当n=2时,1+=<2-=,命题成立.4分 ‎(2)假设n=k时命题成立,即 ‎1+++…+<2-.7分 当n=k+1时,1+++…++<2-+<2-+=2-+- ‎=2-命题成立.14分 由(1)(2)知原不等式在n∈N*,n≥2时均成立.15分 ‎10.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).‎ ‎(1)求a2,a3,a4;‎ ‎(2)猜想{an}的通项公式,并加以证明. 【导学号:51062213】‎ ‎[解] (1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,‎ a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,‎ a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.6分 ‎(2)由(1)可猜想数列通项公式为:‎ an=(n-1)λn+2n.8分 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,‎ ‎②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,‎ 即ak=(k-1)λk+2k,10分 那么当n=k+1时,‎ ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k ‎=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k ‎=(k-1)λk+1+λk+1+2k+1‎ ‎=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,‎ 所以当n=k+1时,猜想成立,‎ 由①②知数列的通项公式为an=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0).15分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是(  )‎ A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立 B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立 C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 D [∵f(k)≥k2成立时,f(k+1)≥(k+1)2成立,‎ ‎∴f(4)≥16时,有f(5)≥52,f(6)≥62,…,f(k)≥k2成立.]‎ ‎2.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=__________;当n>4时,f(n)=__________(用n表示).‎ ‎5 (n+1)(n-2)(n≥3) [f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,‎ f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)‎ ‎=2+3+4+…+(n-1)‎ ‎=(n+1)(n-2)(n≥3).]‎ ‎3.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.‎ ‎(1)求a1,a2,a3的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式. 【导学号:51062214】‎ ‎[解] (1)由题意知S2=‎4a3-20,‎ ‎∴S3=S2+a3=5a3-20.2分 又S3=15,∴a3=7,S2=4a3-20=8.‎ 又S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7,‎ ‎∴a2=5,a1=S1=2a2-7=3.‎ 综上知,a1=3,a2=5,a3=7.6分 ‎(2)由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.‎ ‎①当n=1时,结论显然成立;7分 ‎②假设当n=k(k≥1)时,ak=2k+1,‎ 则Sk=3+5+7+…+(2k+1)==k(k+2).‎ 又Sk=2kak+1-3k2-4k,‎ ‎∴k(k+2)=2kak+1-3k2-4k,‎ 解得2ak+1=4k+6,13分 ‎∴ak+1=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.‎ 由①②知,∀n∈N*,an=2n+1.15分
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