高中数学选修2-1公开课课件2_4_1抛物线及其标准方程

高中数学选修2-1公开课课件2_4_1抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其 标准方程 喷泉 复习回顾： 我们知道 , 椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是 , 在平面内与一个 定点 的距离和一条 定直线 的距离的比是 常数 e 的点的轨迹 . · M F l 0 ＜ e ＜ 1 (2) 当 e ＞ 1 时，是双曲线 ; (1) 当 0< e <1 时 , 是椭圆 ; ( 其中定点不在定直线上 ) l F · M e ＞ 1 那么 , 当 e =1 时 ， 它又是什么曲线 ？ · F M l · e=1 如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M ，拖动点 H ，观察点 M 的轨迹，你能发现点 M 满足的几何条件吗？ 提出问题： M F 几何画板观察 问题探究： 当 e =1 时，即 | MF |=| MH | ，点 M 的轨迹是什么？ 探究？ 可以发现 , 点 M 随着 H 运动的过程中 , 始终有 | MF |=| MH |, 即点 M 与点 F 和定直线 l 的距离相等 . 点 M 生成的轨迹是曲线 C 的形状 . ( 如图 ) M · F l · e =1 我们把这样的一条曲线叫做 抛物线 . M · F l · e =1 在平面内 , 与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的 距离相等 的点的轨迹叫 抛物线 . 点 F 叫抛物线的 焦点 , 直线 l 叫抛物线的 准线 |MF|=d d 为 M 到 l 的距离 准线 焦点 d 一、抛物线的定义 : 解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示） , 则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：  化简得 ： . M(X,y) . x y O F l 二、标准方程的推导 解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为 设动点 ，由抛物线定义得 化简得 ： 二、标准方程的推导 l 解法三：以过 F 且垂直于 l 的直线为 x 轴 , 垂足为 K . 以 F , K 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系 xoy . 两边平方 , 整理得 x K y o M ( x , y ) F 二、标准方程的推导 依题意得 这就是所求的轨迹方程 . 三、标准方程 把方程 y 2 = 2 px ( p ＞ 0) 叫做抛物线的 标准方程 . 其中 p 为正常数 , 表示焦点在 x 轴正半轴上 . 且 p 的几何意义是 : 焦点坐标是 准线方程为 : 想一想 : 坐标系的建立还 有没有其它方案 也会使抛物线方程的形式简单 ？ ﹒ y x o 方案 (1) ﹒ y x o 方案 (2) ﹒ y x o 方案 (3) ﹒ y x o 方案 (4) 焦点到准线的距离 y 2 =-2px (p>0) x 2 =2py (p>0) 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l y 2 =2px (p>0) x 2 =-2py (p>0) P 的意义 : 抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点 : (1) 左边 是二次式 , (2) 右边 是一次式 ; 决定了 焦点的位置 . 四．四种抛物线的对比 P66 思考： 二次函数 的图像为什么是抛物线？ 当 a>0 时与当 a<0 时，结论都为： y x o y=ax 2 +bx+c y=ax 2 +c y=ax 2 例 1 （ 1 ）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程 （ 2 ）已知抛物线的焦点坐标是 F （ 0 ，－ 2 ），求抛物线的标准方程 （ 3 ）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程 （ 4 ）求过点 A （ 3 ， 2 ）的抛物线的标准方程 焦点 F ( , 0 ) 3 2 准线： x = － 3 2 x 2 = － 8 y y 2 = － 4 x y 2 = x 或 x 2 = y 4 3 9 2 看图 看图 看图 课堂练习： 1 、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （ 1 ）焦点是 F （ 3 ， 0 ）； （ 2 ）准线方程 是 x = ； （ 3 ）焦点到准线的距离是 2 。 y 2 =12 x y 2 = x y 2 =4 x 、 y 2 = -4 x 、 x 2 =4 y 或 x 2 = -4 y 2 、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y 2 = 20 x (2) x 2 = y (3)2 y 2 +5 x =0 (4) x 2 +8 y =0 焦点坐标 准线方程 (1) (2) (3) (4) （ 5 ， 0 ） x = - 5 （ 0 ， — ） 1 8 y = - — 1 8 8 x = — 5 （ - — ， 0 ） 5 8 （ 0 ， - 2 ） y =2 例 2 ：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为 4.8m ，深度为 0.5m 。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。 设抛物线的标准方程是 ，由已知条件 可得，点 A 的坐标是 ，代入方程，得 即 所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是 4. 标准方程中 p 前面的 正负号 决定抛物线的 开口方向 ． 1. 抛物线的定义 : 2. 抛物线的标准方程有四种不同的形式 : 每一对焦点和准线对应一种形式 . 3. p 的几何意义是 : 焦 点 到 准 线 的 距 离 （ 2000. 全国）过抛物线 的焦点 作一条直线 交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于 （ ） A. B. C. D. 分析：抛物线 的标准方程为 ， 其 焦点为 . 取特殊情况，即直线 平行与 轴， 则 ，如图。 故 x y o l F （ 0, － 2 ） 返回 解： （ 2 ）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 p 2 = 2 ， p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x 2 = － 8y . x y o l F X = 1 返回 解： （ 3 ）因为准线方程是 x = 1 ，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y 2 = － 4x . 返回 x y o (3,2) 解： （ 4 ）因为 (3 ， 2) 点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y 2 = 2px （ p>0 ），或 x 2 = 2py （ p>0 ），将（ 3 ， 2 ）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为 y 2 = x 或 x 2 = y 4 3 9 2