2019学年高一数学下学期12月五科联赛试题 新目标A版

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‎2019年下期衡阳市八中高一五科联赛 数学试题 考试范围：集合及其运算、函数及其性质、三角函数的图像与性质 一、 选择题：本大题共12小题，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.‎ ‎1．已知集合,集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．若，则则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．函数，则的图象大致是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ 11‎ ‎7．用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．关于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为 ‎9．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．如果函数对任意的实数，都有，且当时， ，那么函数在的最大值与最小值之差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ 一、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 ；‎ ‎14．当时，幂函数为减函数，则实数的值为__________；‎ ‎15．某教室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）变化近似地满足函数关系：‎ ‎，则该天教室的最大温差为__________℃；‎ ‎16．下列说法正确的是___________． ‎ ‎①任意，都有； ②函数 有三个零点；‎ ‎③的最大值为； ④函数为偶函数；‎ ‎⑤不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）设全集，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，且，求的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎⑴已知，若为第二象限角，且，求的值；‎ ‎⑵已知，求的值．‎ 19． ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，证明： 为偶函数；‎ ‎（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ 11‎ ‎（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）求函数数的单调递增区间和对称中心；‎ ‎（3）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为，其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元，其中．‎ ‎（1）当时，如何进行投资才能使得总收益最大；（总收益）‎ ‎（2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否有上界，请说明理由；‎ ‎（2）若，函数在是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知为正整数，当时，是否存在整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ 11‎ ‎2017年下期衡阳市八中高一五科联赛 数学试题 命题人：刘亮生、赵永益 审题人：唐志军 考试范围：集合及运算、函数及其性质、三角函数图像与性质 一、 选择题：本大题共12小题，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.‎ ‎1．已知集合,集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3．已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4．若，则则的值等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎5．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6．函数，则的图象大致是（ ） ‎ 11‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎7．用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（　　）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎8.关于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为 ‎【答案】C ‎9.设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎10．如果函数对任意的实数，都有，且当时， ，那么函数在的最大值与最小值之差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎11．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎12．设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ‎ 11‎ ‎，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D A C C B B C A C C C 二、填空题:本题共6小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 。‎ ‎【答案】‎ ‎14．当时，幂函数为减函数，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎15．某教室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）变化近似地满足函数关系：‎ ‎，则该天教室的最大温差为__________℃．‎ ‎【答案】 ‎ ‎16．下列说法正确的是___________． ‎ ‎①任意，都有； ②函数 有三个零点；‎ ‎③的最大值为； ④函数为偶函数；‎ ‎⑤不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.‎ ‎【答案】②③⑤‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．设全集，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，且，求的取值范围.‎ 11‎ ‎【答案】（1）由得，解得，‎ ‎∴。。‎ 又∴‎ ‎（2）由题意得∴，解得.‎ ‎∴实数的取值范围为。‎ ‎18．⑴已知，若为第二象限角，且，求的值；‎ ‎⑵已知，求的值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎． ‎ ‎，，又因为为第二象限角，所以，． ‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）当时，证明： 为偶函数；‎ 11‎ ‎（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.‎ ‎【答案】（1）当时， ，定义域关于原点对称，‎ 而，说明为偶函数；‎ ‎（2）在上任取、，且，‎ 则，‎ 因为，函数为增函数，得， ，‎ 而在上单调递增，得， ，‎ 于是必须恒成立，即对任意的恒成立，；‎ ‎（3）由（1）、（2）知函数在上递减，在上递增，‎ 其最小值，且，‎ 设，则， 于是不等式恒成立，等价于，即恒成立，而，仅当，即时取最大值，故 ‎20．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎（Ⅰ）写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数数的单调递增区间与对称中心的坐标；‎ ‎（Ⅲ）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.‎ ‎【答案】：解：（Ⅰ） ；‎ 11‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ）问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.‎ 在上的草图为：‎ 当或时，直线与曲线没有交点；‎ 当或时，直线与曲线 上有1个交点，由函数的周期性可知，此时；‎ 当时，直线与曲线 上有2个交点，由函数的周期性可知，直线直线与曲线 上总有偶数个交点；‎ 当时，直线与曲线 上有3个交点，由函数的周期性及图象可知，此时.‎ 综上所述，当， 或， ，或时， 在上恰有个零点.‎ ‎21．某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为，其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元，其中．‎ ‎（1）当时，如何进行投资才能使得总收益最大；（总收益）‎ ‎（2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，‎ 11‎ ‎ ‎ 令，则，其图象的对称轴 当时，总收益有最大值，此时.‎ 即甲种产品投资百万元，乙种产品投资百万元时，总收益最大 ‎（2）由题意知恒成立，‎ 即恒成立，令，设，则 则，其图象的对称轴为，①当，即时，可得，则，‎ ‎②当，即时，可得恒成立， ‎ 综上可得.∴实数的取值范围是.‎ ‎22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界．已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否有上界，请说明理由；‎ ‎（II）若，函数在是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；‎ ‎（III）已知为正整数，当时，是否存在整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】：解：（I）当时，，‎ 易知在上单调递减，∴．∴在上的值域为．∴不存在常数，使得成立，∴在上没有上界．‎ ‎（II） 由题意知，在上恒成立．令，‎ 11‎ ‎∴题意等价于在上恒成立．在上恒成立．．设 易知在上递减．‎ 令，有 ‎∴在上递增．∴，．∴实数的取值范围是．‎ ‎（III）当时，，∴题意等价于对任意的恒成立．∵当为正奇数时，；当为正偶数时，，‎ ‎∴．∴当，即时，不存在满足题意的；‎ 当，即时，存在满足题意的，且．‎ ‎∵为正整数，∴．此时，，∵为整数，∴．‎ 11‎