2019学年高一数学下学期12月五科联赛试题 新目标A版

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2019学年高一数学下学期12月五科联赛试题 新目标A版

‎2019年下期衡阳市八中高一五科联赛 数学试题 考试范围:集合及其运算、函数及其性质、三角函数的图像与性质 一、 选择题:本大题共12小题,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的.‎ ‎1.已知集合,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若,则则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知函数的定义域是,值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.函数,则的图象大致是( ) ‎ A. B. C. D.‎ 11‎ ‎7.用二分法找函数在区间上的零点近似值,取区间中点,则下一个存在零点的区间为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.关于函数,下列说法正确的是( )‎ A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为 ‎9.设偶函数在上为减函数,且,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如果函数对任意的实数,都有,且当时, ,那么函数在的最大值与最小值之差为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知函数,若在区间上单调递增,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设是定义在R上的偶函数,对任意的,都有,且当时, ,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ 一、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是 ;‎ ‎14.当时,幂函数为减函数,则实数的值为__________;‎ ‎15.某教室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)变化近似地满足函数关系:‎ ‎,则该天教室的最大温差为__________℃;‎ ‎16.下列说法正确的是___________. ‎ ‎①任意,都有; ②函数 有三个零点;‎ ‎③的最大值为; ④函数为偶函数;‎ ‎⑤不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)设全集,集合.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若集合,且,求的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎⑴已知,若为第二象限角,且,求的值;‎ ‎⑵已知,求的值.‎ 19. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,证明: 为偶函数;‎ ‎(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;‎ 11‎ ‎(3)若,求实数的取值范围,使在上恒成立.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎(1)写出函数的解析式;‎ ‎(2)求函数数的单调递增区间和对称中心;‎ ‎(3)求实数和正整数,使得在上恰有个零点.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为,其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元,其中.‎ ‎(1)当时,如何进行投资才能使得总收益最大;(总收益)‎ ‎(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为的上界.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否有上界,请说明理由;‎ ‎(2)若,函数在是以为上界的有界函数,求实数的取值范围;‎ ‎(3)已知为正整数,当时,是否存在整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ 11‎ ‎2017年下期衡阳市八中高一五科联赛 数学试题 命题人:刘亮生、赵永益 审题人:唐志军 考试范围:集合及运算、函数及其性质、三角函数图像与性质 一、 选择题:本大题共12小题,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的.‎ ‎1.已知集合,集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3.已知,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4.若,则则的值等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎5.已知函数的定义域是,值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6.函数,则的图象大致是( ) ‎ 11‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎7.用二分法找函数在区间上的零点近似值,取区间中点,则下一个存在零点的区间为(  ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎8.关于函数,下列说法正确的是( )‎ A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为 ‎【答案】C ‎9.设偶函数在上为减函数,且,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎10.如果函数对任意的实数,都有,且当时, ,那么函数在的最大值与最小值之差为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎11.已知函数,若在区间上单调递增,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎12.设是定义在R上的偶函数,对任意的,都有,且当时, ‎ 11‎ ‎,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D A C C B B C A C C C 二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是 。‎ ‎【答案】‎ ‎14.当时,幂函数为减函数,则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎15.某教室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)变化近似地满足函数关系:‎ ‎,则该天教室的最大温差为__________℃.‎ ‎【答案】 ‎ ‎16.下列说法正确的是___________. ‎ ‎①任意,都有; ②函数 有三个零点;‎ ‎③的最大值为; ④函数为偶函数;‎ ‎⑤不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.‎ ‎【答案】②③⑤‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设全集,集合.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若集合,且,求的取值范围.‎ 11‎ ‎【答案】(1)由得,解得,‎ ‎∴。。‎ 又∴‎ ‎(2)由题意得∴,解得.‎ ‎∴实数的取值范围为。‎ ‎18.⑴已知,若为第二象限角,且,求的值;‎ ‎⑵已知,求的值.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎. ‎ ‎,,又因为为第二象限角,所以,. ‎ ‎(2)因为,‎ 所以 ‎.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)当时,证明: 为偶函数;‎ 11‎ ‎(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若,求实数的取值范围,使在上恒成立.‎ ‎【答案】(1)当时, ,定义域关于原点对称,‎ 而,说明为偶函数;‎ ‎(2)在上任取、,且,‎ 则,‎ 因为,函数为增函数,得, ,‎ 而在上单调递增,得, ,‎ 于是必须恒成立,即对任意的恒成立,;‎ ‎(3)由(1)、(2)知函数在上递减,在上递增,‎ 其最小值,且,‎ 设,则, 于是不等式恒成立,等价于,即恒成立,而,仅当,即时取最大值,故 ‎20.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎(Ⅰ)写出函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)求函数数的单调递增区间与对称中心的坐标;‎ ‎(Ⅲ)求实数和正整数,使得在上恰有个零点.‎ ‎【答案】:解:(Ⅰ) ;‎ 11‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎(Ⅲ)问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.‎ 在上的草图为:‎ 当或时,直线与曲线没有交点;‎ 当或时,直线与曲线 上有1个交点,由函数的周期性可知,此时;‎ 当时,直线与曲线 上有2个交点,由函数的周期性可知,直线直线与曲线 上总有偶数个交点;‎ 当时,直线与曲线 上有3个交点,由函数的周期性及图象可知,此时.‎ 综上所述,当, 或, ,或时, 在上恰有个零点.‎ ‎21.某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为,其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元,其中.‎ ‎(1)当时,如何进行投资才能使得总收益最大;(总收益)‎ ‎(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,‎ 11‎ ‎ ‎ 令,则,其图象的对称轴 当时,总收益有最大值,此时.‎ 即甲种产品投资百万元,乙种产品投资百万元时,总收益最大 ‎(2)由题意知恒成立,‎ 即恒成立,令,设,则 则,其图象的对称轴为,①当,即时,可得,则,‎ ‎②当,即时,可得恒成立, ‎ 综上可得.∴实数的取值范围是.‎ ‎22.定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为的上界.已知函数.‎ ‎(I)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否有上界,请说明理由;‎ ‎(II)若,函数在是以为上界的有界函数,求实数的取值范围;‎ ‎(III)已知为正整数,当时,是否存在整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】:解:(I)当时,,‎ 易知在上单调递减,∴.∴在上的值域为.∴不存在常数,使得成立,∴在上没有上界.‎ ‎(II) 由题意知,在上恒成立.令,‎ 11‎ ‎∴题意等价于在上恒成立.在上恒成立..设 易知在上递减.‎ 令,有 ‎∴在上递增.∴,.∴实数的取值范围是.‎ ‎(III)当时,,∴题意等价于对任意的恒成立.∵当为正奇数时,;当为正偶数时,,‎ ‎∴.∴当,即时,不存在满足题意的;‎ 当,即时,存在满足题意的,且.‎ ‎∵为正整数,∴.此时,,∵为整数,∴.‎ 11‎
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