2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题17圆锥曲线（热点难点突破）文（含解析）

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题17圆锥曲线（热点难点突破）文（含解析）

圆锥曲线 ‎1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 答案　A 解析　由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即||＝b，则||＝3b. ‎ 在△AF2O中，||＝a , ||＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故选A. ‎ ‎2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，‎ 由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，‎ 可得|PF1||PF2|＝，‎ 则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，‎ 可得·c＝·，‎ 7‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为(　　)‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 ‎ 答案　D 解析　如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.‎ ‎4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．‎ 答案　(1，)∪(，＋∞) ‎ 解析　设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，‎ 令x＝－c，可得y＝±b＝±，‎ 设A，B，D(0，b)，‎ 7‎ 可得＝，‎ ＝，＝，‎ 若∠DAB为钝角，则·<0，‎ 即0－·<0，‎ 化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2，‎ 可得c2<2a2，即e＝<，‎ 又e>1，可得10，‎ 由e＝，可得e4－4e2＋2>0，‎ 又e>1，可得e>；‎ 又·＝>0，‎ ‎∴∠DBA不可能为钝角．‎ 综上可得，e的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．‎ ‎5．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.‎ 答案　2 解析　方法一　特殊化，设MN⊥x轴，‎ 则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.‎ 方法二　由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；‎ 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，‎ 则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立方程 整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，‎ 7‎ Δ＝8k2＋8>0.‎ 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－，x1x2＝， ‎ 则|MN|＝ ‎＝.‎ 直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，‎ 则解得x2＝，y2＝，‎ 则|OP|2＝x＋y＝，‎ 又|PQ|＝2|OP|，‎ 所以|PQ|2＝4|OP|2＝，‎ 所以＝2.‎ 综上，＝2.‎ ‎6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．‎ 答案　± 解析　由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，‎ 所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，‎ 若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，‎ ‎∴直线l的斜率存在．‎ ‎∴可设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立 化为x2－x＋＝0，‎ 所以x1＋x2＝p＋，‎ 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，‎ 7‎ 由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，‎ 可得k2＝，所以k＝±.‎ ‎7．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________． ‎ 答案　 由题意得≤1，‎ 所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，‎ 所以e2≥，‎ 又因为0b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．‎ 7‎ ‎(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，‎ 由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，‎ 显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝－，‎ 所以|y1－y2|＝ ‎＝ ＝，‎ 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2| ‎ ‎＝＝，‎ 化简得18t4－t2－17＝0，‎ 即(18t2＋17)(t2－1)＝0，‎ 解得t＝1，t＝－(舍去)．‎ 又圆O的半径r＝＝，‎ 所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.‎ 7‎ 7‎