陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试（一）数学（文）试题 Word版含解析

陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试（一）数学（文）试题 Word版含解析

西安中学高 2020 届仿真考试 文科数学 一､选择题 1.已知复数 满足 ，则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数运算求出 ，则复数 可求 【详解】已知复数 满足 ，则 故 故选：B 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的概念，准确计算是关键，是基础题 2.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解分式不等式得到 P,再进行补集和交集运算 【详解】由题 或 则 故选：C 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及分式不等式解法，是基础题 z 1z i ii + = − + z= 1 2i− − 1 2i− + 1 2i− 1+2i z z z 1z i ii + = − + ( )1 1 2z i i i i= − + − = − − z= 1 2i− + 1 1 3P x x  = <    ( ) =RC P N { }0 3x x< < { }0 3x x< ≤ { }0,1,2,3 { }1,2,3 {1 1 3 0 33 3 xP x x x xx x    −= < = > = >        }0x < ( ) =RC P N { 0x }3x≤ ≤ =N { }0,1,2,3 3.相关变量 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中 所有数据，得到线性回归方程 ，相关系数为 ；方案二：剔除点 ，根据 剩下数据得到线性回归直线方程： ，相关系数为 .则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相关系数的意义：其绝对值越接近 ，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意 义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以 ，因为剔除点 后，剩下点数据更具有线 性相关性， 更接近 ，所以 .选 D. 【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象 的考查.属基础题. 4.已知向量 ， ，若 则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出 ，利用向量平行的条件解得 x 的值. 【详解】∵ ， ， ,x y 1 1y b x a= + 1r (10,21) 2 2y b x a= + 2r 1 20 1r r< < < 2 10 1r r< < < 1 21 0r r− < < < 2 11 0r r− < < < 1 1 2, 0r r < ( )10,21 r 1 2 11 0r r− < < < ( )1,1a = ( )2,b x= ( )/ /a a b−   x 2− 0 1 2 a b−  ( )1,1a = ( )2,b x= ∴ ，又 ∴ ∴ 故选 D 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示 求平行，垂直以及夹角和模长等问题，是基础题． 5.已知 、 都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别判定“ ”与“ ”的充要条件,再分析即可. 【 详 解 】 当 时 有 , 当 时 有 . 故 “ ” 是 “ ”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件 再分析.属于基础题. 6.已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列性质求出 a7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{an}中，a3a11＝4a7， 可得 a72＝4a7，解得 a7＝4，且 b7＝a7， ∴b7＝4， 数列{bn}是等差数列，则 b5+b9＝2b7＝8． ( )1,1 xa b− = − − ( )/ /a a b−   1 x 1− = − 2x = a b a b> ln lna b> a b> ln lna b> a b> 0a b> ≥ ln lna b> 0a b> > a b> ln lna b> { }na 3 11 74a a a= { }nb 7 7b a= 5 9b b+ = 故选 D． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能 力． 7.如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域 内的概率为 .则阴影区域的面积约为 (　　) A. B. C. D. 无法计 算 【答案】C 【解析】 【分析】 求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积. 【详解】设阴影区域的面积为 ， ，所以 . 故选 C. 【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题. 8.已知 a=21.3，b=40.7，c=log38，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 利用指数函数 与对数函数 的性质即可比较 a，b，c 的大小． 【详解】 ， ． 故选：C． 【 2 3 2 3 4 3 8 3 s 2 4 3 s = 8 3s = a c b< < b c a< < c a b< < c b a< < 2xy = 3logy x= 1.3 0.7 1.4 38 2 2 4 2c log a b= < < = = =< c a b∴ < < 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 9.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三 千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了 计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 的值为 350，则判断 框中可填（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程 序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 ； 执行循环体， ； 不满足判断框内的条件，执行循环体， ； 不满足判断框内的条件，执行循环体， S 6?i > 7?i > 8?i > 9?i > 0 1S i= =， 290 2S i，= = 300 3S i= =， 310 4;S i= =， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 350． 可得判断框中的条件为 ． 故选 B． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题． 10.已知函数 与 互为反函数，函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若 ，则实数 的值为 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数函数与对数函数的关系，以及函数 的图象与 的图象关于 轴对 称，求得 ，再由 ，即可求解. 【详解】由题意，函数 与 互为反函数，所以 ， 函数 的图象与 的图象关于 轴对称，所以 ， 又由 ，即 ，解得 故选 D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系， 以及函数的对称性求得函数 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题. 11.如图 1，直线 将矩形纸 分为两个直角梯形 和 ，将梯形 320 5;S i= =， 330 6;S i= =， 340 7;S i= =， 350 8;S i，= = 7i＞ ？ ( )y f x= xy e= ( )y g x= ( )y f x= x ( ) 1g a = a e− 1 e − e 1 e ( )y g x= ( )y f x= x ( ) lng x x= − ( ) 1g a = ( )y f x= xy e= ( ) lnf x x= ( )y g x= ( )y f x= x ( ) lng x x= − ( ) 1g a = ln 1a− = 1a e = ( )g x EF ABCD ABFE CDEF CDEF 沿边 翻折，如图 2，在翻折的过程中（平面 和平面 不重合），下面说法正 确的是 图 1 图 2 A. 存在某一位置，使得 平面 B. 存在某一位置，使得 平面 C. 在翻折 过程中， 平面 恒成立 D. 在翻折的过程中， 平面 恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】 因为 与 相交，所以 与平面 相交，故 A 错误. 在任何位置都不垂直于 ，如果“存在某一位置，使得 平面 ”，则存在某一位置，使得 ， 两者矛盾，故 B 错误. 在任何位置都不垂直于 ，如果“在翻折的过程中， 平 面 恒成立”，那么 恒成立，两者矛盾，故 D 错误. 【详解】由题意知 与 不平行，且在同一平面内. 所以， 与 相交，所以 与平面 相交，故 A 错误. 在任何位置都不垂直于 ，如果“存在某一位置，使得 平面 ”，则存在 某一位置，使得 ，两者矛盾，故 B 错误. 在任何位置都不垂直于 ，如果“在翻折的过程中， 平面 恒成立”，那 么 恒成立，两者矛盾，故 D 错误. 综上，选 C. 【点睛】本题主要考查了折叠问题，直线与平面的平行、垂直，属于中档题. 12.已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线 的方程为 ； 的 EF ABFE CDEF CD∥ ABFE DE ⊥ ABFE BF∥ ADE BF ⊥ CDEF CD FE CD ABFE DE FE DE ⊥ ABFE DE FE⊥ BF FE BF ⊥ CDEF BF FE⊥ CD FE CD FE CD ABFE DE FE DE ⊥ ABFE DE FE⊥ BF FE BF ⊥ CDEF BF FE⊥ C (3, 2) 3 3y x= ± C 2 2 13 x y− = B. 左焦点到一条渐近线距离为 ； C. 直线 与曲线 有两个公共点； D. 过右焦点截双曲线所得弦长为 的直线只有三条； 【答案】C 【解析】 【分析】 求出双曲线 标准方程，根据方程判断双曲线的性质．B 直接求出左焦点到渐近线的距离， C 由直线方程与双曲线方程联立求得公共点坐标，D 考虑到过焦点，因此一是求出通径长， 一是求出实轴长，与它们比较可得． 【详解】因为双曲线的渐近线方程为 ，所以可设双曲线方程为 ，又 双曲线过点 ，所以 ，所以双曲线方程为 ，A 正确； 由双曲线方程知 ， ，左焦点为 ，渐近线方程为 ，左焦点到渐近线的中庸为 ，B 正确； 由 得 ，代入双曲线方程整理得 ，解得 ，所以 ，直线与双曲线只有一个公共点 ，C 错； 双曲线的通径长为 ，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为 的弦有两条，又两顶点间距离为 ，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为 的 弦只有一条，为实轴，所以共有 3 条弦的弦长为 ，D 正确． 故选：C． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质．求出双曲线的方程，利用方程研 究双曲线的性质是解析几何的基本方法．双曲线的弦分两种：一种弦的两个端点在同一支上， 一种弦的两个端点在双曲线的两支上，两个端点在双曲线的两支上的弦的最短的为实轴. 二､填空题 的 1 2 1 0x y− − = C 2 3 3 3y x= ± 2 2 3 x y m− = (3, 2) 2 23 ( 2) 13m = − = 2 2 13 x y− = 2 23, 1a b= = 2 2 2c a b= + = 1( 2,0)F − 3 0x y± = 2 2 2 1 1 ( 3) d −= = + − 2 1 0x y− − = 2 1x y= + 2 2 2 2 0y y+ + = 2y = − 2 ( 2) 1 1x = × − + = − ( 1, 2)- - 22 2 2 3 2 333 b a = = < 2 3 2 2 3a = 2 3 2 3 13.函数 在 处的切线方程为______ 【答案】 （或 ） 【解析】 【分析】 求出函数的导数，计算 ， 的值，从而求出切线方程即可 【详解】解： 定义域为 ， ， 又 ， 函数 在点 ， （e） 处的切线方程为： ，即 ， . 故答案为 （或 ） 【点睛】本题考查了切线方程问题，属于基础题． 14.已知一组数据分别是 ，则这组数据的中位数与众数的等比中项为_________； 【答案】 【解析】 【分析】 先把数据按照从小到大排序，确定出中位数和众数，由等比中项定义求得结果. 【详解】解：依题意知，先将这组数据按照从小到大排序为： ，中位数为 ，众数为 .则中位数与众数的等比中项为： . 故答案为： . 【点睛】本题考查中位数、众数和等比中项定义，属于基础题. 15.圆 关于直线 对称的圆的方程__________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出圆心 关于直线 对称的 ，再由圆的标准方程即可求解. ( ) lnf x x x= ( , ( ))e f e 2y x e= − 2 0x y e− − = ( )f e ( )f e′ ( )f x (0, )+∞ ( ) 1f x lnx′ = + ( )f e e= ( ) 2f e′ = ∴ ( )y f x= (e f ) 2( )y x e e= − + 2y x e= − 2 0x y e− − = 2y x e= − 2 0x y e− − = 10,2,5,2,4,2 6± 2,2,2,4,5,10 2 4 32 + = 2 2 3 6± × = ± 6± ( )2 2+1 4x y+ = 1y x= − + ( ) ( )2 21 2 4x y− + − = ( )1,0− 1y x= − + O 【详解】 的圆心为 ，半径为 ， 设圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ， 则 ，解得 ， ， 所以圆 关于直线 对称的圆的方程为 . 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的标准方程、点关于直线对称问题，属于基础题. 16.关于函数 有下述四个结论： ①函数 的图象把圆 的面积两等分； ② 是周期为 的函数； ③函数 在区间 上有 个零点； ④函数 在区间 上单调递减. 则正确结论的序号为_______________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】 化简函数 的解析式，判断该函数的奇偶性，可判断命题①的正误；利用特殊值法 可判断命题②的正误；利用导数判断函数 的单调性，可判断命题③④的正误.综合 可得出结论. 【详解】 ，定义域为 . 对于命题①， ， 函数 为奇函数，该函数的图象关于原点对称，而圆 也关于原点对称， ( )2 2+1 4x y+ = ( )1,0− 2r = ( )2 2+1 4x y+ = 1y x= − + ( ),O a b ( ) 1 12 2 1 11 b a b a − + = − +  ⋅ − = − + 1a = 2b = ( )2 2+1 4x y+ = 1y x= − + ( ) ( )2 21 2 4x y− + − = ( ) ( )2 21 2 4x y− + − = ( ) 2sin sin2 2 2 x xf x x π = + −   ( )f x 2 2 1x y+ = ( )f x π ( )f x ( ),−∞ +∞ 3 ( )f x ( ),−∞ +∞ ( )y f x= ( )y f x= ( ) 2sin sin 2sin cos sin2 2 2 2 2 x x x xf x x x x x π = + − = − = −   R ( ) ( ) ( ) ( )sin sinf x x x x x f x− = − − − = − = − ( )y f x= 2 2 1x y+ = 所以，函数 的图象把圆 的面积两等分，命题①正确； 对于命题②， ， ， ，命题②错误； 对于命题④， ，所以，函数 区间 上单调递减，命 题④正确； 对于命题③，由于函数 区间 上单调递减，且 ， 所以，函数 在区间 上有 个零点，命题③错误. 因此，正确命题的序号为：①④. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，考查了函数周期性的判断，考查了导数的应 用以及零点个数的判断，考查推理能力，属于中等题. 三､解答题 17.△ 的内角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ，△ 的面积为 ，求 . 【答案】（1） .（2） 【解析】 【分析】 （1）在 中，根据 ，结合内角和定理利用二倍角公式化简 求解. （2）由 的面积为 ，由 ，求得 ，再结合 ，利用 余弦定理求解. 【详解】（1）在 中， ， 即： ， ( )y f x= 2 2 1x y+ = ( )0 0f = ( ) sinf π π π π= − = − ( ) ( )0f fπ ≠ ( ) cos 1 0f x x= − ≤′ ( )y f x= ( ),−∞ +∞ ( )y f x= ( ),−∞ +∞ ( )0 0f = ( )y f x= ( ),−∞ +∞ 1 ABC , ,A B C , ,a b c 2sin( ) 2 3sin 2 BA C+ = B 6a c+ = ABC 3 b 3 π 2 6 ABC∆ 2sin( ) 2 3sin 2 BA C+ = ABC∆ 3 1 sin 32 ac B = 4ac = 6a c+ = ABC∆ 2sin( ) 2 3sin 2 + = BA C 2sin 2 3sin 2 ∴ = BB 22sin cos 2 3sin2 2 2 B B B= ， ， . （2）由 的面积为 得： ， 所以 ，又 由余弦定理得： ， . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及三角恒等变换，还考查了运算求解的 能力.属于中档题. 18.如图，已知 面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， （1）求证： 面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析.（2） 【解析】 【分析】 （1）推导出 平面 ， ， ，由此能证明 面 ． （2）三棱锥 的体积 ，由此能求出结果． 【详解】解：（1） 面 ，四边形 为矩形， 平面 ， 平面 ， ， 3tan 2 3 ∴ =B 0 B π< < 2 6 B π∴ = 3B π∴ = ABC∆ 3 1 sin 32 ac B = 4ac = 6a c+ = 2 2 2 22 cos ( ) 3 24= + − = + − =b a c ac B a c ac 2 6b∴ = AF ⊥ ABCD ABEF ABCD 90DAB∠ = ° / / , 1, 2AB CD AD AF CD AB= = = = AC ⊥ BCE E BCF− 1 3 BE⊥ ABCD BE AC⊥ AC BC⊥ AC ⊥ BCE E BCF− 1 3E BCF C BEF BEFV V S AD− − ∆= = × × AF ⊥ ABCD ABEF BE∴ ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD BE AC∴ ⊥ 四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， ， ， ， 面 ， 面 ， 面 ． （2） 面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， 点 到平面 的距离为 ， ， 三棱锥 的体积： ． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 19.在测试中，客观题难题的计算公式为 ，其中 为第 题的难度， 为答对该题的 人数， 为参加测试的总人数.现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题. 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示 （“√”表示答对，“×”表示答错）：  ABCD 90DAB∠ = ° / /AB CD 1AD AF CD= = = 2AB = 2 21 1 2AC BC∴ = = + = 2 2 2AC BC AB∴ + = AC BC∴ ⊥ BC BE B=  BC ⊂ BCE BE ⊂ BCE AC∴ ⊥ BCE AF ⊥ ABCD ABEF ABCD 90DAB∠ = ° / /AB CD 1AD AF CD= = = 2AB = AD∴ ⊥ BEF ∴ C BEF 1AD = 1 1 2 1 12 2BEFS EF BF∆ = × × = × × = ∴ E BCF− 1 1 11 13 3 3E BCF C BEF BEFV V S AD− − ∆= = × × = × × = i i RP N = iP i iR N （1）根据题中数据，将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表， 并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数； （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率； （3）定义统计量 ，其中 为第 题的实测 难度， 为第 题的预估难度（ ）.规定：若 ，则称该次测试的难度预 估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)见解析，24 (2) （3）该次测试的难度预估是合理的. 【解析】 试题分析：（1）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据 Pi ，得到难度系数； （2）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率；（3）由 计算出S 值 与 0.05 比较，可得答案. 试题解析： (1) 每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： ' 2 ' 2 ' 2 1 1 2 2 1 [( ) ( ) ( ) ]n nS P P P P P Pn = − + − + + − ' iP i iP i 1, 2, ,i n=  0.05S ≤ 3 5P = iR N = ( ) ( ) ( )2 2 2' ' ' 1 1 2 2 1 n nS P P P P P Pn  = − + − + + −   所以，估计 120 人中有 人答对第 5 题. (2) 记编号为 的学生为 （ ），从这5 人中随机抽取 2 人，不同的抽取方法有 10 种. 其中恰好有 1 人答对第 5 题的抽取方法为 ，共 6 种. 所以，从抽样的 10 名学生中随机抽取 2 名答对至少 4 道题的学生，恰好有 1 人答对第 5 题 的概率为 . （3） 为抽样的 10 名学生中第 题的实测难度，用 作为这 120 名学生第 题的实测难度. 因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的. 20.设 , 分别是椭圆 E： + =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线 与 E 相 交于 A、B 两点，且 ， ， 成等差数列． （Ⅰ）求 （Ⅱ）若直线 的斜率为 1，求 b 的值． 【答案】（1） （2） , 【解析】 【详解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝ . (2)l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组 消去 y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|＝ |x2－x1|，即 ＝ |x2－x1|. 120 0.2 24× = i iA 1,2,3,4,5i = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 4 2 5 5 5 4 5, , , , , , , , , , ,A A A A A A A A A A A A 6 3 10 5P = = ' iP i ' iP i ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 0.8 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.2 0.4 0.0125S  = − + − + − + − + − =  0.012 0.05S = < 1F 2F 2x 2 2 y b 1F l 2AF AB 2BF AB l 4 3 2 2b = 4 3 21 b− 2 2 2 { 1 y x c yx b + ＝ ＋ ， ＝ 2 2 1 c b − + 2 2 1 2 1 b b − + 2 4 3 2 则 ＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ － ＝ ，解得 b＝ . 21.已知函数 ， （1）若 ，求 在区间 上的单调区间； （2）若 ，证明： 时恒有 【答案】（1） 在 递减，在 递增，在 递减；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先对 求导 ，再判断其在 上的符号，即可求出 的单调区间； （2）先对 求导 ，令 ，利用导数判定 的单调性，结合零点存在 性定理及 的单调性得出 ，故有 ，命题得证. 【详解】解：（1） ； ，令 及 ，得 或 . 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上述表格可知： 在 递减，在 递增，在 递减. （2）证明： ， ， ，设 ，而 在 为增函数，又 8 9 ( ) 2 22 4(1 ) 1 b b − + ( ) 2 2 4(1 2 ) 1 b b − + ( ) 4 22 8 1 b b+ 2 2 ( ) sinf x x a x b= + + ( ) ( )xg x e x f x= − + 0, 2b a= = − ( )f x [ ]0,2π 1, 1a b= − = − ( )1,0x∈ − ( ) 0>g x ( )f x 0 3 π   ， 5 3 3 π π   ， 5 23 π π   ， ( )f x ( )f x¢ [ ]0,2π ( )f x ( )g x ( )g x′ ( ) 0g x¢ = ( )g x′ ( )g x′ ( ) 0g x¢ < ( ) ( )0 0g x g> = 2, 0 ( ) 2sina b f x x x= − = ∴ = − ( ) 1 2cosf x x′∴ = − ( ) 0f x′ = [ ]0,2x π∈ 1cos 2x = 3x π∴ = 5 3x π= x 0 3 π   ， 3 π 5 3 3 π π   ， 5 3 π 5 23 π π   ， ( )f x′ − 0 + 0 − ( )f x ( )f x 0 3 π   ， 5 3 3 π π   ， 5 23 π π   ， 1, 1a b= − = − ( ) sin 1xg x e x∴ = − − ( ) cosxg x e x′ = − ( ) cosxh x e x= − ( ) sinxh x e x′ = + ( )1,0- ，根据零点存在定理，所以存在唯一 ， 使得 ，在 上， ， 递减， ，在 上， 递增， 因此在 上总有 即 在 单调递减，所以有 . 【点睛】本题考查求函数的单调区间和证明不等式恒成立，利用导数研究函数单调性是高考 重点内容，关键是导函数的符号判断是难点，属于难题. 22.在平面直角坐标系 ， ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点． （1）请求出 点轨迹 的直角坐标方程； （2）设点 的极坐标为 若直线 经过点 且与曲线 交于点 ，弦 的中点 为 ，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】 (1)将 曲 线 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 ， 可 得 点 满 足 ．利用相关点法即可得出 点轨迹 的直角坐标方程； (2)根据已知条件求出直线 的参数方程，把直线 的参数方程代入 ，利用根与系数关系求 出 ，由直线 的参数方程中 的几何意义可将 用 表示，再将 代入即可求出 的取值范围． 1( 1) sin( 1) 0, (0) 1 0h he ′ ′− = + − < = > ( )0 1,0x ∈ − 0( ) 0h x′ = ( )01, x− ( ) 0h x′ < ( ) ( )g x h x=′ 1( ) ( 1) cos1 0g x g e−′ ′< − = − < ( )0 ,0x ( ) 0, ( ) ( )h x g x h x′ ′> = ( ) (0) 0g x g′ ′< = ( )1,0- ( ) 0,g x′ < ( )g x ( )1,0- ( ) (0) 0g x g> = xOy (2,0)P x C 2ρ = ( , )(0 )Q ρ θ θ π  C M PQ M 1C A (1, )A π l A 1C ,E F EF D | | | | | | AD AE AF⋅ 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ 3 2,3 3      C 2 2 4x y+ = ( )0 0,Q x y 2 2 4( 0)x y y+ = ≥ M 1C l l 1C 1 2 1 2,t t t t+ l t | | | | | | AD AE AF⋅ 1 2,t t 1 2 1 2,t t t t+ | | | | | | AD AE AF⋅ 【详解】(1)因为 的直角坐标方程为 ， 所以点 满足 ． 设 ，因为 为 的中点， 所以 ， ，所以 ， ， 所以 ， 整理得 的轨迹方程为 ． (2)因为直线 过点 ， 所以直线 的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角， ) 代入 得 ，所以 ， ， 所以 ． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线 的参数方程中参数 的几 何意义，本题中求 的关键是联立直线的参数方程与 的直角坐标方程的基础 上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解． 23.已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）分三种情况讨论，即可求出结果； C 2 2 4x y+ = ( )0 0,Q x y 2 2 4( 0)x y y+ = ≥ ( , )M x y M PQ (2,0)P 0 2 2 xx += 0 2 yy = 0 2 2x x= − 0 2y y= 2 2(2 2) (2 ) 4( 0)x y y− + = ≥ 1C 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ l ( 1,0)A − l 1 cos , sin , x t y t θ θ = − +  = θ θ 0, 6 πθ  ∈   1C 2 4 cos 3 0t t− + =θ 1 2 4cost t+ = θ 1 2 3t t = 1 2 1 2 | | 2cos 3 22 ,| | | | 3 3 3 t t AD AM AN t t θ +  = = ∈ ⋅ ⋅   l t | | | | | | AD AE AF⋅ 1C ( ) | 3| 2f x x= + − ( ) | |< 1f x x − x R∃ ∈ ( ) | 2 1|f x x b≥ − + b { }| 0x x < 3 2 ，∞ −   （2）先由题意得， ，令 ，求出 的最 小值，即可得出结果. 【详解】（1）由 ，可得 ， 当 时， 不成立， 当 时， ，∴ ， 当 时， ， 成立， ∴不等式 的解集为 ． （2）依题意， ， 令 ， 易知 ，则有 ，即实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型. 3 2 1 2x x b+ − − − ≥ ( ) 3 2 1 2g x x x= + − − − ( )g x ( ) 1f x x< − 3 2 1x x+ − < − 1x ≥ 3 2 1x x+ − < − 3 1x− < < 3 2 1x x+ − < − 3 0x− < < 3x ≤ − 3 2 1x x− − − < − 5 1− < ( ) 1f x x< − { }| 0x x < 3 2 1 2x x b+ − − − ≥ ( ) 6, 3 13 2 1 2 3 , 3 2 12, 2 x x g x x x x x x x   − ≤ − = + − − − = − < <   − + ≥ ( )max 1 3 2 2g x g  = =   3 2 b≥ b 3 2 ，∞ −  