中考数学复习：将军饮马问题课件-35张

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将军饮马问题 第七单元　图形的变化 　　将军饮马问题解决的是线段和差最值问题 , 解决的方法是通过轴对称 , 化折为直 , 把两条线段的和转化为一条线段的长 , 利用两点之间线段最短的性质解决问题 . 常见的几种类型如下 : 类型一　一定直线 , 同侧两定点 点 A , B 是直线 l 外同侧两点 , 在直线 l 上求作一点 P , 使 AP + BP 最小 . 解决方法 : 作点 A 关于直线 l 的对称点 A'. 连接 A'B , 交直线 l 于点 P , 则点 P 使 AP + BP 最小 . 图 W5-1 1 . 如图 W5-2, ∠ BAC =30°, M 为 AC 上一点 , AM =2, 点 P 是 AB 上一动点 , PQ ⊥ AC , 垂足为点 Q , 则 PM + PQ 的最小值为 　　　　 .  图 W5-2 2 . 如图 W5-3, 在矩形 ABCD 中 , AD =4, ∠ DAC =30°, 点 P , E 分别在 AC , AD 上 , 则 PE + PD 的最小值是 　　　　 .  图 W5-3 3 . 如图 W5-4, 菱形 ABCD 中 , AB =2, ∠ A =120°, 点 P , Q , K 分别为线段 BC , CD , BD 上的任意一点 , 则 PK + QK 的最小值为 　　　　 .  图 W5-4 图 W5-5 5 . [2018· 遵义 ] 如图 W5-6, 抛物线 y = x 2 +2 x -3 与 x 轴交于 A , B 两点 , 与 y 轴交于点 C , 点 P 是抛物线对称轴上任意一点 , 若点 D , E , F 分别是 BC , BP , PC 的中点 , 连接 DE , DF , 则 DE + DF 的最小值为 　　　　 .  图 W5-6 6 . 如图 W5-7,△ ABC 中 , ∠ ACB =90°, AC =4, BC =6, CD 平分∠ ACB 交 AB 于点 D , 点 E 是 AC 的中点 , 点 P 是 CD 上的动点 , 则 PA + PE 的最小值是 　　　　 .  图 W5-7 类型二　一定点 , 两定直线 P 是∠ AOB 内一点 , 分别在 OA , OB 上求作点 Q , R , 使得 PQ + PR + QR ( 即 △ PQR 的周长 ) 最小 . 解决方法 : 分别作点 P 关于直线 OA , OB 的对称点 P' , P″ , 连接 P'P″ , 与 OA , OB 的交点即为所求点 Q , R , 此时 PQ + PR + QR ( 即 △ PQR 的周长 ) 最小 . 图 W5-8 7 . 如图 W5-9, 点 P 是∠ AOB 内任意一点 , OP =5 cm, 点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点 , 若 △ PMN 周长的最小值是 5 cm, 则∠ AOB 的度数是 ( 　　 ) A . 25° B . 30° C . 35° D . 40° 图 W5-9 [ 答案 ] B 8 . 如图 W5-10, 四边形 ABCD 中 , ∠ C =50°, ∠ B = ∠ D =90°, E , F 分别是 BC , DC 上的点 , 当 △ AEF 的周长最小时 , ∠ EAF 的度数为 ( 　　 ) A . 50° B . 60° C . 70° D . 80° 图 W5-10 [ 答案 ] D 　 [ 解析 ] 分别作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A' , A″ , 连接 A'A″ , 交 BC 于 E , 交 CD 于 F , 则 A'A″ 长即为 △ AEF 周长的最小值 . 作 DA 延长线 AH , 易知∠ DAB =130°, ∠ HAA' =50° . 又∠ EA'A = ∠ EAA' , ∠ FAD = ∠ A″ , 且 EA'A + ∠ EAA' = ∠ AEF , ∠ FAD + ∠ A″ = ∠ AFE , 所以∠ AEF + ∠ AFE = ∠ EA'A + ∠ EAA' + ∠ FAD + ∠ A″ =2( ∠ AA'E + ∠ A″ )=2 ∠ HAA' =100°, 所以∠ EAF =180°-100°=80°, 故选 D . 9 . 如图 W5-11, 在 △ ABC 中 , 点 D , E , F 分别在 AB , AC , BC 上 , 试求作周长最小的 △ DEF. 图 W5-11 解 : 将 D 视为定点 , 分别作出点 D 关于 AC , BC 的对称点 D' , D″ , 连接 D'D″ 交 AC , BC 于点 E , F. 此时 △ DEF 的周长等于 D'D″ 长 . 无论点 D 的位置如何变化 , 点 C 对线段 D'D″ 的张角不变 , 即∠ D'CD″ =2 ∠ ACB , 因此为使 D'D″ 最小 , 只需 CD' = CD″ = CD 的值最小即可 , 显然当 CD ⊥ AB 时 , CD 最小 , 从而 △ DEF 的周长最小 . 10 . 如图 W5-12, 矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上 , 边 OC 在 y 轴上 , 点 B 的坐标为 (10,8), 沿直线 OD 折叠矩形 , 使点 A 正好落在 BC 上的 E 处 , E 点坐标为 (6,8), 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 O , A , E 三点 . (1) 求此抛物线的解析式 ; (2) 求 AD 的长 ; (3) 点 P 是抛物线对称轴上的一动点 , 当 △ PAD 的周长最小时 , 求点 P 的坐标 . 图 W5-12 10 . 如图 W5-12, 矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上 , 边 OC 在 y 轴上 , 点 B 的坐标为 (10,8), 沿直线 OD 折叠矩形 , 使点 A 正好落在 BC 上的 E 处 , E 点坐标为 (6,8), 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 O , A , E 三点 . (2) 求 AD 的长 ; 解 : (2) 由折叠得 DE = AD , BE =10-6=4, BD =8- AD , 在 Rt△ DBE 中 , DE 2 = BE 2 + BD 2 , ∴ AD 2 =4 2 +(8- AD ) 2 , 解得 AD =5 . 图 W5-12 10 . 如图 W5-12, 矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上 , 边 OC 在 y 轴上 , 点 B 的坐标为 (10,8), 沿直线 OD 折叠矩形 , 使点 A 正好落在 BC 上的 E 处 , E 点坐标为 (6,8), 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 O , A , E 三点 . (3) 点 P 是抛物线对称轴上的一动点 , 当 △ PAD 的周长最小时 , 求点 P 的坐标 . 图 W5-12 类型三　两定点 , 两直线 P , Q 是∠ AOB 内两定点 , 分别在边 OA , OB 上寻找点 M , N , 使得四边形 PQMN 的周长最小 . 解决方法 : 分别作 P 关于直线 OB 的对称点 P' , Q 关于 OA 的对称点 Q' , 连接 P'Q' , 与 OA , OB 的交点即为所求点 M , N , 使得四边形 PQMN 的周长最小 . 图 W5-13 11 . 如图 W5-14, 四边形 OMCN 是矩形台球桌面 , 有黑白两球分别位于 B , A 两点的位置上 , 试问怎样撞击白球 , 使白球依次碰撞球台边 OM , ON 后 , 反弹击中黑球 ? 图 W5-14 解 : 作法 :(1) 作点 A 关于 OM 的对称点 A' , 点 B 关于 ON 的对称点 B' ; (2) 连接 A'B' , 交 OM 于 P , 交 ON 于 Q. 则沿 AP 方向撞击白球即可 . 类型四　两动两定型 ( 造桥选址问题 ) 已知 A , B 是两个定点 , 直线 m ∥ n , m , n 之间的距离为 d , 分别在直线 m , n 上找点 M , N , 使得 AM + MN + BN 的值最小 . 解决方法 ( 平移原理 ): 将点 A 向下平移 d 个单位长度至 A' , 连接 A'B , 交 n 于点 N , 过点 N 作 NM ⊥ m 于点 M , 连接 AM , 此时 AM + MN + BN 的值最小 . 图 W5-15 12 . 如图 W5-16, 已知 A , B 是两个定点 , 在定直线 l 上找两个动点 M 与 N , 且 MN 等于定长 d ( 动点 M 位于动点 N 左侧 ), 使 AM + MN + NB 最小 . 图 W5-16 解 : 如图所示 , 点 M , N 即为所求 . 类型五　线段差的绝对值最大 (1) 如图 W5-17 ① , A , B 两点在直线 l 的同侧 , 在直线 l 上找一点 P , 使 | PA - PB | 最大 . 解决方法 : 连接 AB 并延长交直线 l 于点 P , 点 P 即为所求 . (2) 如图② , A , B 两点在直线 l 的异侧 , 在直线 l 上找一点 P , 使 | PA - PB | 最大 . 解决方法 : 作其中一点关于直线 l 的对称点 , 转化为点在直线同侧的线段差最大问题 . 图 W5-17 13 . 如图 W5-18, A , B 两点在直线 l 的两侧 , 点 A 到直线 l 的距离 AM =4, 点 B 到直线 l 的距离 BN =1, 且 MN =4, P 为直线 l 上的动点 , 则 | PA - PB | 的最大值为 　　　　 .  图 W5-18 [ 答案 ] 5 　 [ 解析 ] 作点 B 关于直线 l 的对称点 B' , 连接 AB' 并延长交直线 l 于 P. ∴ B'N = BN =1, 作 B'D ⊥ AM 于 D , 利用勾股定理求出 AB' =5, ∴ | PA - PB | 的最大值为 5 . 14 . 已知 : 如图 W5-19, 把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中 , OC =3, BC =2, 取 AB 的中点 M , 连接 MC , 把 △ MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到 △ DAO. (1) 直接写出点 D 的坐标 . (2) 已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上 , 点 P 在第一象限内的抛物线上移动 , 过点 P 作 PQ ⊥ x 轴于点 Q , 连接 OP. 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点 T , 使得 | TO - TB | 的值最大 ? 若存在 , 求出点 T 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 图 W5-19 14 . 已知 : 如图 W5-19, 把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中 , OC =3, BC =2, 取 AB 的中点 M , 连接 MC , 把 △ MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到 △ DAO. (2) 已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上 , 点 P 在第一象限内的抛物线上移动 , 过点 P 作 PQ ⊥ x 轴于点 Q , 连接 OP. 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点 T , 使得 | TO - TB | 的值最大 ? 若存在 , 求出点 T 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 图 W5-19