江苏省扬州市2019=2020学年高三上学期期中考试数学试题

江苏省扬州市2019=2020学年高三上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度第一学期高三期中调研测试 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1.已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集的定义写出．‎ ‎【详解】解：集合，，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的并集运算问题，是基础题．‎ ‎2.若（为虚数单位），则复数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎3.函数是偶函数，则______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数是偶函数，利用偶函数的性质，求出．‎ ‎【详解】解：因为函数是偶函数，所以，‎ ‎，所以，‎ ‎，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】考查了指数函数的性质和运算，偶函数的性质，基础题．‎ ‎4.双曲线的渐近线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据双曲线的渐近线公式得到 ‎ 故答案为：.‎ ‎5.抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用抛物线的定义，求解即可．‎ ‎【详解】解：抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离，‎ 就是这点到抛物线的准线的距离．‎ 抛物线的准线方程为：，‎ 所以抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离为．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力，是基本知识的考查．‎ ‎6.设函数则______.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，从而，由此能求出结果．‎ ‎【详解】解：函数 ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎7.直线与直线平行，则两直线间的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：直线与直线平行，‎ 则，即，‎ 解得或．‎ 当时，两直线重合，‎ 故，两直线方程可化为：与 所以两平行线间的距离 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎8.函数的极大值是______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究其单调性，极值即可得出．‎ ‎【详解】解：．‎ 可得：，‎ 时，；‎ 时，．‎ 时，函数取得极大值，．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查了导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，从而求得的值．‎ ‎【详解】解：将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象；‎ 再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，‎ 故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，特殊角的三角函数的值，属于基础题．‎ ‎10.梯形中，，，，若为线段的中点，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，，所在直线为，轴，建立直角坐标系，求得，，，的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，再由向量的坐标公式和向量数量积的坐标表示，计算可得所求值．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 以为坐标原点，，所在直线为，轴，建立直角坐标系，‎ 可得，，，，‎ 为线段的中点，可得，‎ ‎，，则．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，注意运用坐标法，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎11.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理，余弦定理可解得值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】解：，，‎ 由正弦定理可得，‎ 又，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，解得，‎ 又，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎12.已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线经过的定点，设直线上的点坐标，由可求得点的轨迹方程，进而求得斜率的取值范围．‎ ‎【详解】解：由题意得：直线，‎ 因此直线经过定点；‎ 设点坐标为，；，‎ 化简得：，‎ 因此点为与直线的交点．‎ 所以应当满足圆心到直线的距离小于等于半径 解得：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．‎ ‎13.已知实数，满足且，则的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，化为，根据求出的取值范围，把化为只含有的式子，根据的取值范围求出的最小值．‎ ‎【详解】解：由，可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解不等式可得，，‎ 则，‎ ‎，‎ 当且仅当即时上式取等号，‎ 最小值是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意拼凑法的运用技巧，属于中档题．‎ ‎14.已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接分离参数设函数，讨论函数的单调性，结合， ， ，的大小分析满足的条件；‎ ‎【详解】解：不等式有且仅有三个整数解，‎ 即；‎ 即 设函数，；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎， ， ， ，，‎ 要使得，有三个整数解，则 ‎，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查方程的正整数根的问题，考查分离常数的方法和数形结合分析的能力，属于中档题．‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.已知关于的不等式的解集为集合，函数的定义域为集合（其中）.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件求出集合，的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．‎ ‎（2）求出，结合建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）由得 当时，‎ 由得，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由得：.‎ ‎∵∴.‎ ‎∴∴或，‎ ‎∴或.‎ ‎∴实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合的运算以及集合关系进行转化求解是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎16.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，、的值，可得的值．‎ ‎（2）先求得的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．‎ ‎【详解】（1）解：且，‎ ‎（2），‎ ‎.‎ 则 ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎17.已知圆：，直线过点.‎ ‎（1）若与圆相切，求的斜率；‎ ‎（2）当的倾斜角为时，与轴交于点，与圆在第一象限交于点，设，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）为0或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线，若与圆相切，求出斜率；‎ ‎（2）当的倾斜角为时，设直线，由联立解方程求出，，所以．‎ ‎【详解】解：（1）直线过点且与圆相切，‎ 若斜率不存在则直线方程为，圆心到直线的距离为，不成立。‎ 故斜率存在， 设斜率为，则直线方程为：与圆相切，所以圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 解得或 所以斜率为0或 ‎（2）当的倾斜角为时，：，令，得，所以 过点作的垂线交于点，则，‎ ‎，‎ 又 所以 ‎【点睛】考查圆的切线方程，向量与圆和直线问题，两点间的距离公式，中档题．‎ ‎18.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦上，圆心是矩形的中心，若米，，.‎ ‎（1）当时，求“杠铃形图案”的面积；‎ ‎（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）平方米（2）杠铃形图案的面积的最小为平方米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出面积关于的函数解析式，再代入计算即可；‎ ‎（2）利用导数判断函数单调性，再计算函数最小值．‎ ‎【详解】解：设中点为，连结，则，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎（1）当时，杠铃形图案的面积 故当时，杠铃形图案的面积为平方米.‎ ‎（2）杠铃形图案的面积 因为，所以，‎ ‎，单调递增.‎ 所以当时，的最小值为.‎ ‎.‎ 答：杠铃形图案的面积的最小时为平方米.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查三角恒等变换，属于中档题．‎ ‎19.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，以线段为直径的圆与椭圆交于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过轴正半轴上一点作斜率为的直线.‎ ‎①若与圆和椭圆都相切，求实数的值；‎ ‎②直线在轴左侧交圆于、两点，与椭圆交于点、（从上到下依次为、、、‎ ‎），且，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）①②的最大值为3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）线段为直径的圆与椭圆交于点，可以得圆的方程及，将点代入椭圆方程得，又因为，就可解出，，进而得出椭圆方程．‎ ‎（2）①设直线 的方程为：，即，因为与圆和椭圆相切，得，△，解得，，．‎ ‎②取中点，连接，则，又，所以点为中点，写出点坐标，进而得坐标，代入椭圆方程化简得，，设，最后再求则 最值．‎ ‎【详解】解：（1）设椭圆的焦距为 因为线段为直径的圆与椭圆交于点 所以 又点在椭圆上 所以，解得 所以椭圆的方程为 ‎（2）①因为直线与圆相切，所以，即（ⅰ）‎ 由，消去得 因为直线与椭圆相切，‎ 所以即（ⅱ）‎ 联立（i）（ⅱ）得负值舍去 ‎②取中点，连结，则，‎ 又，所以为中点 由，解得 所以 代入椭圆方程化简得 设 则，当时，取最大值3，此时.‎ 又，时，，，，，‎ 符合题意，故的最大值为3.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程，以及直线与圆和椭圆相切，最值问题，属于中档题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）是否存在非负整数，使得函数是单调函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知，若存在，使得当时，最小值是，求实数的取值范围.（注：自然对数的底数）‎ ‎【答案】（1）（2）存在，的值是0，1，2；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时求出函数的导数，计算及，利用点斜式，即可求出切线方程。‎ ‎（2）求出函数的导数，要使函数是单调函数即是使或恒成立，对分类讨论，即可求出非负整数的值。‎ ‎（3）通过讨论的范围，根据函数的单调性求出的最小值，从而确定实数的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）的定义域为.‎ 当时，，.∴.‎ 所以，函数在处的切线方程为 即 ‎（2）∵，∴，.‎ 当时，.∴是单调减函数.符合 当时，若是单调增函数，则，‎ 即恒成立，这不可能；‎ 若是单调减函数，则，‎ 即恒成立，令，其开口方向向上，对称轴方程为 ‎，，故，∴‎ 又，.‎ 综上，满足条件的非负整数的值是0，1，2‎ ‎（3）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎①当0时，.‎ 当时，，在上为减函数；‎ 当时，，在上为增函数.‎ 所以当时，，不符合题意.‎ ‎②当时，.‎ ‎（i）当，即时，当变化时，，的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 若满足题意，只需满足，整理得.‎ 令，‎ 当时，，‎ 所以在上为增函数，‎ 所以，当时，.‎ 可见，当时，恒成立，故当，时，函数的最小值为.；所以满足题意.‎ ‎（ⅱ）当，即时，，，0，当且仅当时取等号.‎ 所以在上为减函数.从而在上为减函数.符合题意.‎ ‎（ⅲ）当，即时，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↘‎ 极小值0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 若满足题意，只需满足，且（若，不符合题意），‎ 即，且.‎ 又，∴.‎ 综上，.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、函数的极值、以及函数在某点的切线方程，属于难题题．‎ ‎21.已知向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据特征值的定义可知，利用待定系数法求得实数，的值。‎ ‎（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。‎ ‎【详解】解：（1）因为矩阵属于特征值的一个特征向量为，‎ 所以，即所以 ‎（2）由（1）知，所以 ‎【点睛】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。‎ ‎22.一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球；现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中.‎ ‎（1）求两次取得的球颜色相同的概率；‎ ‎（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为，求的概率分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）每次取得白球的概率为，取得红球的概率为 ‎，根据相互独立事件的积事件的概率乘法公式求解即可；‎ ‎（2）随机变量的所有可能的取值分别为2，3，4，分别求出对应的概率，列出分布列求出期望即可．‎ ‎【详解】解：（1）每次取得白球的概率是，取得红球的概率是，‎ 两次都取得白球的概率是，两次都取得红球的概率是，‎ 故两次取得的球颜色相同的概率为：.‎ ‎（2）可能的取值为2，3，4.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以的数学期望.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率，离散型随机变量的概率分布列，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎23.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点、分别在棱、上移动，且，.‎ ‎（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）若二面角的大小为，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出平面，，，建立分别以、、为，，轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线与所成角．‎ ‎（2 ）推导出平面法向量和平面的一个法向量，由二面角的余弦值，能求出的值．‎ ‎【详解】在正三棱柱中，取中点，取中点，连、，则 ‎，，又正三棱柱中，平面，、平面，所以，，所以，.‎ 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，‎ ‎，，‎ ‎（1）若，，，‎ ‎，‎ 故异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 设平面的一个法向量，则，取得：，‎ 取平面的一个法向量，‎ 由二面角的大小为，且，得 ‎，‎ 化简得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎24.设，.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）猜想的值，并加以证明.‎ ‎【答案】（1），（2）猜想：，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由组合数公式和求和的定义，计算可得所求值；‎ ‎（2）猜想，运用求和公式的定义和组合数公式，以及，结合二项式定理，以及数列的恒等式，化简计算可得证明．‎ ‎【详解】解：（1），，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎（2）猜想：，即 下面用数学归纳法证明.‎ 当时，由（1）知，，成立；‎ 假设当时，.‎ 则当时，‎ ‎.‎ 又因为，‎ 则，所以，‎ 所以 ‎，‎ 综上，，故.‎ ‎【点睛】本题考查组合数公式的运用，以及二项式定理的运用，考查猜想归纳思想，以及数列的恒等式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．‎ ‎ ‎