【推荐】专题04+解锁由an和Sn关系求数列的通项公式的技巧-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x

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一、选择题 ‎1．【山东省济南外国语学校2017-2018学年高二10月月考】已知数列的前项和为，，则（ ）‎ A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，即是以2为公比的等比数列，所以，故选B.‎ 二、填空题 ‎2．【辽宁省本溪市第一中学2017-2018学年高二第一次月考】已知数列中，且，则=__________‎ ‎【答案】‎ ‎3．【陕西省西安电子科技中学2017-2018学年高二第一次月考】数列的前项和为，则它的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由数列的前项和为，当时， ，当时， ，当时上式不成立， ，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎4．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是___________‎ ‎【答案】‎ 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎5．【湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期一模】设数列的前项和为，且为等差数列，则的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设cn= ，‎ ‎∵数列的前n项和为，且=1，∴c1=4，c2=8，‎ ‎∴cn=c1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，‎ 即cn= =4n 当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1+（1+）an﹣（1+）an﹣1=0‎ ‎∴，即2•，‎ ‎∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，‎ ‎∴．‎ ‎6．【江西省宜春中学2018届高三上学期第一次诊断考】设Sn是数列{an}的前n项和，且， ，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎7．【黑龙江哈尔滨市第十九中学2016-2017学年高一下学期期中】己知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则an=______.‎ ‎【答案】an= ‎ ‎【解析】∵Sn=2n+1-1,‎ 当n=1时,a1=S1=3,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,‎ 显然,n=1时a1=3≠2,不符合n≥2的关系式. an=‎ 答案为an=．‎ 点睛：已知前N项和和通项的关系，求通项，注意检验n=1时，通项是否成立；‎ 三、解答题 ‎8．【山东省济南外国语学校2017-2018学年高二10月月考】设数列的前项和为，已知 ‎.‎ ‎（1）设，证明数列是等比数列（要指出首项、公比）；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用的求解方法可将转化为数列的递推公式，进而可得到，说明数列是等比数列；（2）由数列是等比数列求得，从而确定，数列求和时采用错位相减法求和.‎ ‎（2）由（1）知，从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9．【江西省崇仁县第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的首项，前项和为．‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由数列的递推公式可得数列是首项为1,，公比为3的等比数列，则其通项公式为；‎ ‎(2)结合(1)中求得的通项公式可得： ，分组求和可得数列的前n项和为 .‎ ‎（2）， ‎ 所以， ‎ ‎ ‎ ‎10．【广东省广州2017届高三下学期一模】已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系将条件转化为项之间递推关系： ，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式．（2）先求，再根据分组求和法求数列的前项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）当时， ，即，解得．‎ 当时， ，‎ 即，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列．‎ 所以．‎ 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎11．【浙江省余杭二高2017年9月高二教学质量检测】为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）已知通项与前项和的关系式，用代得另一式子，两式相减得的递推式，本题可得是等差数列，从而易得通项；（2），因此数列的前项和可用裂项相消法求得．‎ ‎【点睛】一般数列是等差数列， 是等比数列，则新数列的前项和可用裂项相消法求解，数列的前项和可用错位相减法求解，这是两种重要的数列求和方法．‎ ‎12．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二第一次月考】已知数列的前项和为且 .‎ ‎（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）存在正整数 ‎【解析】试题分析：（1）利用 可得可证为等比数列，则通项公式可求；‎ ‎（2）由（1）代入得 ，‎ 则通过计算得 ‎ ‎，则 ，‎ 则 ，‎ 计算可得 ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三上学期第二次阶段性过关考试】若数列的前项和满足 .‎ ‎(1)求证：数列是等比数列；‎ ‎ (2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由已知数列递推式求得首项，且当时，有，结合原式作差得到，即 ，从而证得为等比数列。‎ ‎(2)求出，再通过裂项相消法求数列的前项和。‎ 试题解析：‎ 证明：当时， ，计算得出，‎ 当时，根据题意得， ，‎ 所以 ，即 ‎ ‎ ，即 ‎ ‎ 数列是首项为-2，公比为2的等比数列 由（1）知， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 则 ‎14．【河北省邯郸市成安县第一中学2017-2018学年高二9月月考】已知为数列的前项和，且有 ‎， （）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求其前项和为．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 两式相减得， ，‎ 又，‎ 所以是首项为,公比为2的等比数列，‎ 所以．‎ 点睛：题目给出与的关系时，利用 ‎ 进行处理，注意检验n=1的时候是否成立.‎ ‎15．【浙江省源清中学2017年9月高三上学期第一次月考】已知正数数列的前项和为，满足， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，可得．两式相减可得，再由，可得的通项公式． （2）根据{的通项公式化简bn和bn+1，由题意可得恒成立，故恒成立，而1-2n的最大值为-1，从而求得实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，两式相减得：‎ ‎，化简得： ，可以得出为等差数列，又，‎ 所以.‎ ‎（2）设，则 ，‎ 同理，‎ 因为恒成立，所以 ‎，‎ 所以.‎ ‎16．【黑龙江哈尔滨市第十九中学2016-2017学年高一下学期期中】已知数列的前项和为,且有, ,‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由已知得, ，‎ ‎ ，‎ 两式相减,得 ‎ 所以得到．‎ ‎17．【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知数列的首项，前项和为，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由an+1=2Sn+1，得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1=3an（n≥2），a2=2S1+1=2a1+1=3，满足．利用等比数列的通项公式即可得出an．‎ ‎（2），所以，‎ 错位相减可得：‎ 点睛：已知前N项和与通项的关系，求通项；差比数列求和。错位相减；‎ ‎18．【山东省淄博市第一中学2016-2017学年高二下学期学习质量检测】数列的前n项和为，已知成等比数列.‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)若数列满足,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1) 2n−1；（2）Tn=6+(2n−3)×．‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知 和 的关系，再写一项做差， ，（2）由=，得到bn=(2n−1) =，再由错位相减，的结果．‎ ‎ ‎ ‎(II)∵数列{}满足=，‎ ‎∴bn=(2n−1) =.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×+5×+…+，‎ ‎∴2Tn=22+3×+…+(2n−3)×+(2n−1)×，‎ ‎∴Tn=6+(2n−3)×.‎ ‎19．【山西省芮城中学2016-2017学年高一下学期期末】已知数列的前项和为,且 ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先 当时， ，然后当时， ，在验证当代入仍然适合；（2），再由列相消法求得 ‎.‎ ‎（2）‎ ‎20．【河北省曲周县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的前项和，数列满足.‎ ‎（1）求， ；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由前n项和与通项公式的关系可得，结合数列的通项公式可得数列的通项公式为；‎ ‎(2)错位相减可得数列的前项和.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎21．【四川省南充市2018届高三高考适应性考试】已知数列前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）由题意易得：，显然问题转化为等比数列的前项和问题.‎ ‎（2）记数列的前项和为，‎ 由（1）知，‎ 所以.‎ ‎22．【广东省广州市海珠区2018届高三综合测试】已知数列的首项，前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）由，得（n≥2），两式相减得（n≥2），,利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由（1）知，故=log33n=n，可得,利用分组求和得结果.‎ 试题解析:‎ ‎（1）由题意得 两式相减得，‎ 所以当时， 是以为公比的等比数列.‎ 因为 所以， ，对任意正整数成立， 是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以得.‎ 点睛：已知与的关系，再写一项得出为等比数列，求和用到了分组求和，此外还有错位相减，裂项相消，并项求和，倒序相加等方法 ‎ ‎