数学文卷·2017届江西省南昌三中高三12月第四次月考(2016
南昌三中 2016—2017 学年度上学期第四次考试
高三数学(文)试卷
命题:饶雄峰 审题:张金生
一、选择题(每题 5 分,四个选项中只有一个正确)
1、已知全集 U=R,且 A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(∁UA)∩B 等于( )
A.[-1,4) B.(2,3) C.(2,3] D.(-1,4)
2、复数 z= i
1+i
在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题
①若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β
③若 m⊥α,m∥n,n⊂β,则 α⊥β ④若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n
其中正确命题的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-3,ak+1=3
2
,Sk=-12,则正整数 k=( )
A.10 B.11 C.12 D.13
5、已知 sinα+ 2cosα= 3,则 tanα=( )
A.
2
2 B. 2 C.- 2
2 D.- 2
6、设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则
函数 y=xf′(x)的图像可能是( )
7 已知 h>0,设命题 p 为:两个实数 a, b 满足|a-b|<2h,命题 q 为:两个实数满足|a-1|
− 2x =
5 12 0x y− − =
( )f x
1( ) lnxg x xkx
−= + 1 [0,1]x ∈ 2 (0,1]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x>
k
22、(10 分)在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数).以原
点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 的极坐标方程为 .
写出 的直角坐标方程;
为直线 上一动点,当 到圆心 的距离最小时,求 的直角坐标.
23.(10 分)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1.
(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.
南昌三中高三数学月考试卷(文)
一、1、C 2、A 3、C 4、 D 5、A 6、C
7. B 8.C 9、A 10、D 11.C 12. B
二、13.
1
5 14、②③ 15.1006 16、3 3
三、17、(1)f(x)= 3sin2x-2cosx(-cosx)= 3sin2x+2cos2x= 3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6)+1,由 2kπ-π
2≤2x+π
6≤2kπ+π
2(k∈Z),得 kπ-π
3≤x≤kπ+π
6(k∈Z).
故函数 f(x)的单调增区间为[kπ-π
3,kπ+π
6](k∈Z).
(2)∵f(α
2- π
12)=2sinα+1=3
2,∴sinα=1
4.
∵α 是第二象限角,∴cosα=- 1-sin2α=- 15
4 . ∴sin2α=- 15
8 ,cos2α=7
8.
∴cos(2α+π
3)=cos2αcosπ
3-sin2αsinπ
3=7
8×1
2-(- 15
8 )× 3
2 =7+3 5
16 .
x yΟ l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t
x C 2 3sinρ θ=
( )Ι C
( )ΙΙ Ρ l Ρ C Ρ
18、(1)当 n=1 时,a1=S1,由 S1+1
2
a1=1,得 a1=2
3
,
当 n≥2 时,∵Sn=1-1
2
an,Sn-1=1-1
2
an-1,
∴Sn-Sn-1=1
2
(an-1-an),即 an=1
2
(an-1-an) ∴an=1
3
an-1(n≥2)
∴{an}是以2
3
为首项,1
3
为公比的等比数列.
故 an=2
3
·(1
3
)n-1=2·(1
3
)n(n∈N+).
(2)1-Sn=1
2
an=(1
3
)n,bn=log3(1-Sn+1)=log3(1
3
)n+1=-n-1.
1
bnbn+1
= 1
(n+1)(n+2)= 1
n+1
- 1
n+2
1
b1b2
+ 1
b2b3
+…+ 1
bnbn+1
=(1
2
-1
3
)+( 1
3
-1
4
)+…+( 1
n+1
- 1
n+2
)= 1
2
-
1
n+2
,解方程1
2
- 1
n+2
=25
51
,得 n=100.
19、(1)证明:因为 AB⊥平面 PAD,PH平面 PAD,
所以 PH⊥AB,因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,
所以 PH⊥AD.因为 AB∩AD=A,所以 PH⊥平面 ABCD.
(2)连接 BH,取 BH 中点 G,连接 EG,因为 E 是 PB 的中点,
所以 EG∥PH,因为 PH⊥平面 ABCD,
所以 EG⊥平面 ABCD,则 EG=1
2
PH=1
2
,
VE-BCF=1
3
S△BCF·EG=1
3
·1
2
·FC·AD·EG= 2
12
.
(3)证明:取 PA 中点 M,连接 MD,ME, 略
21.(Ⅰ)因为 ,所以 ,
解得: 或 ,又 ,所以 , ………2 分
由 ,解得 , ,列表如下:
1
0 0
极小值 极大值 2
所以 , ,
因为 ,所以函数 的零点是 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 时, ,
“对任意 ,存在 ,使 ”等价于“ 在 上的最小
值大于 在 上的最小值,即当 时, ”,
2 2( ) 3 4f x x mx m′ = − − − 2(2) 12 8 5f m m′ = − − − = −
1m = − 7m = − 2m > − 1m = −
2( ) 3 4 1 0f x x x′ = − + − = 1 1x = 2
1
3x =
x 1( , )3
−∞ 1
3
1( ,1)3
(1, )+∞
( )f x′ − + −
( )f x
50
27
1 50( ) ( )3 27f x f= =极小值 ( ) (1) 2f x f= =极大值
3 2 2( ) 2 2 ( 2)( 1)f x x x x x x= − + − + = − − + ( )f x 2x =
[0,1]x∈ min
50( ) 27f x =
1 [0,1]x ∈ 2 (0,1]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x> ( )f x [0,1]
( )g x (0,1] (0,1]x∈ min
50( ) 27g x <
因为 ,
① 当 时,因为 ,所以 ,符合题意;
② 当 时, ,所以 时, , 单调递减,
所以 ,符合题意;
③ 当 时, ,所以 时, , 单调递减,
时, , 单调递增,所以 时, ,
令 ( ),则 ,所以 在 上单调递
增,所以 时, ,即 ,
所以 ,符合题意,
综上所述,若对任意 ,存在 ,使 成立,则实数 的取值
范围是 .
22、(1)
(2)(3,0)
23.(1)当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1;
当 2 10 1k
< < 1(0, )x k
∈ ( ) 0g x′ < ( )g x 1( ,1)x k
∈
( ) 0g x′ > ( )g x (0,1]x∈ min
1 1 1( ) ( ) 1 lng x g k k k
= = − +
23( ) ln 27x x xϕ = − − 0 1x< < 1( ) 1 0x x
ϕ′ = − > ( )xϕ (0,1)
(0,1)x∈ 50( ) (1) 027xϕ ϕ< = − < 23ln 27x x− <
min
1 1 1 23 50( ) ( ) 1 ln 1 27 27g x g k k k
= = − + < + =
1 [0,1]x ∈ 2 (0,1]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x> k
( ,0) (0, )−∞ ∪ +∞
03222 =−+ yyx