2020九年级数学下册 第三章 圆

2020九年级数学下册 第三章 圆

课时作业(二十一)‎ ‎[第三章　*3　垂径定理]‎ 一、选择题 ‎1．如图K－21－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定成立的是(　　)‎ 图K－21－1‎ A．CM＝DM B.＝ C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD ‎2．如图K－21－2，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为E，若OE＝3，则AB的长是(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－21－2‎ A．4 B．‎6 C．8 D．10‎ ‎3．绍兴是著名的桥乡，如图K－21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD为‎8 m，桥拱半径OC为‎5 m，则水面宽AB为()‎ 9‎ 图K－21－3‎ A．‎4 m B．‎5 m C．‎6 m D．‎‎8 m ‎4．2018·临安区如图K－21－4，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA长为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为(　　)‎ ‎　　‎ 图K－21－4‎ A．6 B．‎6 C．3 D．3 ‎5．如图K－21－5，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，⊙O的直径为分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()‎ 图K－21－5‎ A. B. C. D．2π ‎6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为(　　)‎ 图K－21－6‎ A. B. C. D. ‎7．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝‎10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝‎8 cm，则AC的长为()‎ A．‎2 cm B．‎4 cm C．‎2 cm或‎4 cm D．‎2 cm或‎4 cm 二、填空题 ‎8．过⊙O内一点M的最长的弦长为‎10 cm，最短的弦长为‎8 cm，那么OM的长为________．‎ ‎9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为________．‎ 9‎ 图K－21－7‎ ‎10.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．‎ 图K－21－8‎ ‎11．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.‎ 图K－21－9‎ ‎12．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝‎40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为‎10 cm，则该脸盆的半径为________cm.‎ ‎　　　‎ 图K－21－10‎ 三、解答题 ‎13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5 ，求弦CD的长及圆O的半径.‎ 图K－21－11‎ 9‎ ‎14．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.‎ 求证：(1)∠OBA＝∠OCD；‎ ‎(2)AB＝CD.‎ 图K－21－12‎ ‎15．一个半圆形桥洞截面如图K－21－13所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝‎16 m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.‎ ‎(1)求半径OD；‎ ‎(2)根据需要，水面要以每小时‎0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？‎ 图K－21－13‎ 探索存在题如图K－21－14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.‎ ‎(1)当BC＝6时，求线段OD的长．‎ ‎(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．‎ 图K－21－14‎ 9‎ 9‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[答案] D ‎2．[解析] C　连接OA，如图．‎ ‎∵OC⊥AB，OA＝5，OE＝3，‎ ‎∴AE＝＝＝4，‎ ‎∴AB＝2AE＝8.故选C.‎ ‎3．[解析] D　连接OA，∵桥拱半径OC为‎5 m，∴OA＝‎5 m．∵CD＝‎8 m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝＝‎4 m，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．‎ ‎4．[解析] A　设OA与BC相交于点D，连接AB，OB.∵AB＝OA＝OB＝6，∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA垂直平分BC，∴OD＝AD＝3，‎ 在Rt△BOD中，由勾股定理得BD＝＝3 ，∴BC＝6 .故选A.‎ ‎5．[答案] A ‎6．[解析] C　∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，‎ ‎∴AB＝＝＝5.‎ 过点C作CM⊥AB，交AB于点M，‎ 则M为AD的中点．‎ ‎∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝.‎ 在Rt△ACM中，根据勾股定理，得AC2＝AM2＋CM2，即9＝AM2＋()2，‎ 解得AM＝，∴AD＝2AM＝.故选C.‎ ‎7．[解析] C　连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝‎10 cm，AB⊥CD，AB＝‎8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)，OD＝OC＝‎5 cm.当点C的位置如图(1)所示时，∵OA＝‎5 cm，AM＝‎4 cm，CD⊥AB，∴OM＝＝‎3 cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝＝＝4 (cm)．当点C的位置如图(2)所示时，同理可得OM＝‎3 cm，∵OC＝‎5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝＝＝2 (cm)．综上所述，AC的长为‎4 cm或‎2 cm.故选C.‎ 9‎ ‎8．[答案] ‎‎3 cm ‎[解析] 由题意作图，如图所示，AB为过点M最长的弦，CD为过点M最短的弦，连接OD，‎ 则OM＝＝＝3(cm)．‎ ‎9．[答案] (3，2)‎ ‎[解析] 过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP.‎ ‎∵A(6，0)，PD⊥OA，∴OD＝3.‎ 在Rt△OPD中，∵OP＝，OD＝3，∴PD＝＝＝2，∴P(3，2)．‎ ‎10．[答案] 6‎ ‎[解析] 由AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M，N分别为AB，AC的中点，∴BC＝2MN＝6.‎ ‎11．[答案] 2 ‎ ‎[解析]　过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.‎ ‎∵OD⊥AB，∴AD＝BD.由折叠的性质可知OD＝OA＝1，在Rt△OAD中，AD＝＝＝，∴AB＝2AD＝2 .故答案为2 .‎ ‎12．[答案] 25‎ ‎[解析] 如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为R cm.由题意得OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝‎20 cm.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.故答案为25.‎ ‎13．解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，‎ ‎∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°.‎ 在Rt△OEM中，∵OE＝4，‎ ‎∴OM＝OE＝2，EM＝OE·cos30°＝4×＝2 .‎ 9‎ ‎∵DE＝5 ，‎ ‎∴DM＝DE－EM＝3 .‎ ‎∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM＝6 .‎ ‎∵在Rt△DOM中，OM＝2，DM＝3 ，‎ ‎∴OD＝＝＝.‎ 故弦CD的长为6 ，⊙O的半径为.‎ ‎14．证明：(1)过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N.‎ ‎∵PO平分∠EPF，OM⊥AB，ON⊥CD，‎ ‎∴OM＝ON.‎ 在Rt△OMB和Rt△ONC中，‎ OM＝ON，OB＝OC，‎ ‎∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL)，‎ ‎∴∠OBA＝∠OCD.‎ ‎(2)由(1)得Rt△OMB≌Rt△ONC，∴BM＝CN.‎ ‎∵OM⊥AB，ON⊥CD，‎ ‎∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB＝CD.‎ ‎15．[解析] (1)由OE⊥CD，根据垂径定理求出DE，解Rt△DOE可求半径OD；‎ ‎(2)在Rt△DOE中，由勾股定理求出OE，再用OE除以水面下降的速度，即可求出时间．‎ 解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝16 m，‎ ‎∴ED＝CD＝8 m.‎ 在Rt△DOE中，‎ ‎∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝10 m.‎ ‎(2)在Rt△DOE中，OE＝＝＝6(m)，6÷0.5＝12(时)，故水面以每小时‎0.5 m的速度下降，经过12小时才能将水排干．‎ ‎[素养提升]‎ ‎[解析] (1)根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD的长；(2)连接AB，如图，利用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，即DE的长度保持不变．‎ 解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3.‎ 在Rt△ODB中，OB＝5，BD＝3，‎ ‎∴OD＝＝4，‎ 即线段OD的长为4.‎ 9‎ ‎(2)存在，DE的长度保持不变．‎ 连接AB，如图，‎ ‎∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，‎ ‎∴AB＝＝5 .‎ ‎∵OD⊥BC，OE⊥AC，‎ ‎∴D，E分别是线段BC和AC的中点，‎ ‎∴DE是△CBA的中位线，‎ ‎∴DE＝AB＝.‎ 9‎