【数学】2019届一轮复习人教A版排列与组合综合问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版排列与组合综合问题学案

第85题 排列与组合综合问题 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法 （ ）‎ A．336 B．408 C．240 D．264‎ ‎【答案】选A ‎【解析】方法数为：，故选A．‎ ‎【例2】已知集合，定义映射，且点．若的外接圆圆心为D，且，则满足条件的映射有 （ ）‎ A．12个； B．10个； C．6个； D．16个；‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】设为的中点，由，知三点共线，结合题意知，于是，这样满足条件的映射共有种．‎ 精彩解读 ‎【试题 】【例1】人教A版选修2-3P27习题1．2AT4改编．‎ ‎【例2】选修2-3P41复习参考题B组T1（3）改编 ‎【母题评析】本题考查有限制条件的计数问题，考查考生的分析问题、解决问题以及基本计算能力．‎ ‎【思路方法】分析问题时，可以充分利用树形图或框图进行分析．可以从不同的角度分析与思考（直接法或间接法），相互检验，从而得到正确的解答．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2016高考四川】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ ）‎ A．24 　B．48 　C．60 　D．72‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】这类题主要考查排列组合综合应用题．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D．‎ 考点：排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．‎ ‎【例2】【2016高考新课标III理】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（ ）‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0 : K]‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1[ : K]‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ 考点：计数原理的应用．‎ 这类题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力、转化与化归能力以及分类、正难则反的逆向思维、构造模型等．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．‎ ‎【难点中心】解答此类问题，应掌握以下基本方法与技巧：（1）特殊元素优先安排；‎ ‎（2）合理分类与准确分步；‎ ‎（3）排列组合综合问题先选后排；‎ ‎（4）相邻问题捆绑处理；‎ ‎（5）不相邻问题插空处理；‎ ‎（6）定序问题排除法处理；‎ ‎（7）分排问题直排处理；‎ ‎（8）“小集团”排列问题先整体后局部；‎ ‎（9）构造模型；‎ ‎（10）正难则反，等价转化．‎ ‎【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ ‎【例】【2017高考天津理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎【考点】计数原理、排列、组合 ‎【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．‎ ‎2．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．‎ ‎3．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，例如第9题，先满足特殊的甲乙两人的位置；（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．‎ ‎3．解答排列、组合问题的角度：‎ 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．‎ ‎（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；‎ ‎（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；‎ ‎（3）“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；‎ ‎（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．‎ ‎【技能方法】‎ 计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现．因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的．‎ 解排列组合题综合题的基本方法 ‎（1）限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．‎ ‎（2）正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉．‎ ‎（3）复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步．‎ ‎（4）相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．‎ ‎（5）相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．‎ ‎（6）相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段．这是针对相同元素的组合问题的一种方法．‎ ‎（7）定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．‎ ‎【易错指导】‎ ‎（1）在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义．‎ ‎（2）关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法)．‎ ‎（3）在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．‎ ‎（4）‎ 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 元素个数较少的排列组合问题 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法．‎ ‎【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？‎ ‎【答案】20‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018海南高三二模】如图，小林从位于街道处的家里出发，先到处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎2．【2018北京101中 高二下 期期中考试】将甲、乙、丙、丁四名同 按一定顺序排成一行，要求自左向右，且甲不排在第一，乙不排在第二，丙不排在第三，丁不排在第四，比如：“乙甲丁丙”是满足要求的一种排法，试写出他们四个人所有不同的排法．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由于甲不排在第一，所以第一只能排乙、丙、丁中的一个，据此可分为三类：‎ 乙甲丁丙 丙甲丁乙 丁甲乙丙 乙丙丁甲 丙丁甲乙 丁丙甲乙 乙丁甲丙 丙丁乙甲 丁丙乙甲 所以他们四个人共有9种不同的排法．‎ 考向2 “恰好”、“至少”、“至多”问题 这类问题可采用分类法或间接排除法．‎ ‎【例2】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）种？‎ A．480 B．240 C．180 D．120‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法一（直接法）：．‎ 解法二（间接法）：先从12只手套中任取4只，其中四种颜色不同及两双同色的情况不符合题意，应该去掉，所以“从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套”的不同取法共有（种）．‎ ‎【名师点睛】“恰好有一个”是“只有一个”的意思．“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”．‎ 变式练习：‎ 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有 种．‎ ‎【答案】‎ ‎【例3】5名志愿者分到3所 校支教，每个 校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）‎ A．150种 B．180种 C．200种 D．280种 ‎【答案】A ‎【解析】人数分配上有两种方式即与．若是，则有种；若是，则有种，则不同的分派方法共有种，故选．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查的知识点是排列，组合及简单计数问题．由题意知本题是一个分类问题，根据题意可知人数分配上两种方式即与，分别计算出两种情况下的情况数目，相加即可得到答案．‎ ‎【例4】【2018辽宁朝阳市高三一模】从名男同 和名女同 中选人去参加一个会议，规定男女同 至少各有人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：‎ ‎①；②；③．‎ 则其中正确算式的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】①错，计算有重复；②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，所以选C．‎ ‎【名师点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法： ‎ ‎（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）‎ A．140种 B．80种 C．70种 D．35种 ‎【答案】C ‎2．【2018广东珠海高三3月质量检测】将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一步：先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步：从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有种选法；第三步：把剩下的3个球全排列，有种排法，由乘法分步原理得不同方法共有种，故选C．‎ ‎3．【2018山东省青岛2017年高三二模】 校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数 、英语、理综 的专题讲座，每 一节课，每节至少有一 ，且数 、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】解：由于每 一节课，每节至少有一 ，必有两 在同一节，先从4 中任选2 看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数 、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为，故选C．‎ 考向3 特殊元素（或位置）的限制 某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素，再排其它的元素，即采用特殊元素（位置）优先安排策略．‎ ‎【例5】将5列车停在5条不同的轨道上，其中列车不停在第一轨道上，列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ）种．‎ A．120 B．96 C．78 D．72‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】‎ ‎1．“在”与“不在”可以相互转化．解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解．‎ ‎2．排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上．为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案．‎ ‎【例6】【2018河南商丘名校高三模拟】用0，1，2，3，4，5，6可以组成________个无重复数字的四位偶数 ‎【答案】420‎ ‎【解析】符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个． ‎ ‎【名师点睛】本题考查分类计数及简单计数问题，解题的关键是理解所研究的事件，对计数问题进行合理的分类．‎ ‎【例7】【2018安徽黄山高三一模】我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：，故选C．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 种不同的摆放方法（用数字作答）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎2．【2018四川德阳市高三三校联合测试】从5名 生中选出4名分别参加数 ，物理，化 ‎ ‎，生物四 竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A．48 B．72 C．90 D．96‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】本题以选择 生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．‎ ‎3．【2018山西省临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中 高三模拟】从0，2，3，4，5，6这6个数字中任取4个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）300．‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接利用二项展开式定理求解即可展开式中的系数，令 即可得结果；（2）分选，不选 两种情况讨论，再利用分类计数加法原理可得结果．‎ 试题解析：（1）∵，∴展开式中的系数为．‎ 令，得各项系数之和为．‎ ‎（2）若不选0，则有个；若选0，则有个．故能组成个不同的四位数．‎ 考向4 “相邻”与“不相邻”问题 ‎（1）相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．‎ ‎（2）不相邻问题插空排：元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．‎ ‎【例8】七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法一：．‎ 解法二：．‎ ‎【名师点睛】以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的，可采用“插空法”．“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”，并要注意条件的限定．‎ ‎【例9】【2018辽宁沈阳东北育才 校高三模拟】某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎【答案】B ‎【例10】【2018山西太原五中高三二模】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A．60 B．72 C．84 D．96‎ ‎【答案】C ‎【解析】 根据题意，可分三种情况讨论：‎ ‎ ①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有种安排方法，此时有种不同坐法；‎ ‎②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有种不同坐法；‎ ‎③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将 人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时，共有种不同坐法．‎ 综上所述，共有种不同的坐法，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）‎ A．56 B．336 C．840 D．330‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎2．【2018东北三省三校高三二模】在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ）‎ A．20 B．21 C．22 D．24‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理，在分类讨论时，容易漏掉一种情况，即广告牌没有蓝色时的这种结果，属于基础题，分类讨论时，要注意不重不漏．‎ ‎3．【2018北京建华实验 校零模】甲乙丙丁戊共人排成一排照相合影，如果甲乙必须在丙的同侧，则不同的排法有______种．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意先将甲乙捆绑在一起有种，再与丙一起排列一共有 种，然后再将丁戊插入共有种．‎ 考向5 定序问题与标号排位问题 ‎（1）定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法．‎ ‎（2）标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．‎ ‎【例11】（1）五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）‎ A．24种 B．60种 C．90种 D．120种 ‎（2）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）‎ A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 ‎（3）7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有 种不同的排法．‎ ‎【答案】（1）B；（2）B；（3）840．‎ ‎（3）解法一（空位法）：设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有（种）不同的排法．‎ 解法二（插入法）：先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有（种）不同的排法． ‎ ‎【例12】【2018浙江绍兴高三3月适应性模拟考试】某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有__________种不同值班方案．（用数字作答）‎ ‎【答案】1800‎ ‎【解析】第一步：从六天中选一天，有种选法；第二步，从5个人中选一个人值刚才选出的那一天值班，有种选法；第三步：把剩下的五天进行全排列，有 种排法；第四步：把刚才的数的乘积除以2，因为出现了重复的情况，且刚好重复了一倍，(假设选的是星期一，选的人是甲，所以甲在星期一值班，如果甲也值星期二的班，甲值星期一和星期二的班．如果刚开始选的是星期二，选的人也是甲，所以甲再星期二值班，如果后面甲又值星期一的班，故甲也值星期一和星期二的班．这两个是重复的)．‎ 故．故填1800．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018新疆乌鲁木齐高三二模】有五名同 站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答）‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】由题意可得：，则不同的站法种数为．‎ ‎2．【2018山东省日照高三下 期二模】从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法种数共有_________．(用数字作答)‎ ‎【答案】240‎ ‎【名师点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．‎ ‎3．【2018辽宁瓦房店市高三下 期一模】市内某公共汽车站6个候车位(成一排)现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是__________．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】根据题意，先把三名乘客全排列，有种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有种排法，则共有种候车方式．‎ 考向6 分类组合，隔板处理 ‎【例13】从6个 校中选出30名 生参加数 竞赛，每校至少有1人，这样有几种选法?‎ ‎【答案】4095‎ ‎【解析】问题相当于“把30个相同球放入6个不同盒子（盒子不能空的）有几种放法?”这类问可用“隔板法”：（种），故共有4095种选法．‎ ‎【名师点睛】把个相同元素分成份，每份至少1个元素，问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”：用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，得出共有种．‎ ‎【跟踪练习】‎ 某班45名 生要向希望工程捐书200本，其中30名团员每人至少捐2本，而其余15人可以不捐．若不考虑书的不同种类全班各位同 捐书有几种捐法?‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设30名团员分别捐书本，其余15人分别捐书本（）则：由“隔板法”知共有（种）不同捐法．‎ 考向7 “分组”与“分配”问题 ‎1．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法．‎ ‎【例14】（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）‎ A．1260 B．2025 C．2520 D．5040‎ ‎（2）12名同 分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】（1）C；（2）A．‎ ‎2．全员分配问题分组法：‎ ‎【例15】4名优秀 生全部保送到3所 校去，每所 校至少去一名，则不同的保送方案有 种．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】把四名 生分成3组有种方法，再把三组 生分配到三所 校有种，故共有种方法．‎ ‎【名师点睛】分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配．‎ ‎3．名额分配问题隔板法：‎ ‎【例16】10个三好 生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有 种不同分配方案．‎ ‎【答案】84‎ ‎4．限制条件的分配问题分类法：‎ ‎【例17】某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同 不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？‎ ‎【答案】4088‎ ‎【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：‎ ‎①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余 生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法．所以共有不同的派遣方法总数为种．‎ ‎【例18】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有 分法．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】分三步取书得种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为．‎ 若第一步取，第二步取，第三步取，该分法记为，则中还有，‎ 共有种取法，而这些分法仅是一种分法，故共有种分法． * ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018江西新余一中高三模拟】某高校大一新生中的6名同 打算参加 校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同 必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）‎ A．3600 B．1080 C．1440 D．2520‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于每名同 必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同 分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：第一类：先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个社团，不同的参加方法数为种；第二类：将6人平均分成三组，在分配到除“演讲团”外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法数为；所以由以上可知，不同的参加方法数共有1440种，故选择C．‎ ‎【名师点睛】排列组合中不同元素的分配问题，往往是先分组，再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组，②均匀分组，③部分均匀分组，由于分组的无序性，所以在均匀分组和部分均匀分组时，要注意解序，即剔除顺序．‎ ‎2．【2018广东惠州高三一模】将甲，乙等位同 分别保送到北京大 ，清华大 ，浙江大 等三所大 就读，则每所大 至少保送一人的不同保送的方法数为 （ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】A 考点：排列组合．‎ ‎【方法点晴】平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 其中为均分的组数，这是为了避免重复计数．非平均分组问题无分配对象，只要按比例分完，再用乘法计数原理来计算．非平均分组有分配对象，要把组数当作元素个数再做排列．分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的．对于后者必须先分组后排列．‎ ‎3．【2018浙江名校协作体高三上 期考试】安排甲、乙、丙、丁、戊5名大 生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 种．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，按五名同 分组的不同分2种情况讨论：‎ ‎①五人分为2、2、1的三组，有 种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案；②五人分为3、1、1的三组，有种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案，则共有 种不同的安排方案； 生甲被单独安排去金华时，共有种不同的安排方案，则 生甲被单独安排去金华的概率是．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题．有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．‎ 考向8 多元问题 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计．‎ ‎【例19】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）‎ A．210种 B．300种 C．464种 D．600种 ‎（2）从这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有 种；‎ ‎（3）从这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法有 种（不计顺序）．‎ ‎【答案】（1）B；（2）1295；（3）1225．‎ ‎（2）被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I，能被7整除的数的集合记做共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种．‎ ‎（3）将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018上海崇明区高三一模】从5男3女共8名 生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选 人作为队长和副队有种，故有种；第三类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为．‎ ‎2．【2018河北保定高三一模】甲、乙、丙、丁四位同 高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （ ）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】B 考向9 交叉问题 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 ‎．‎ ‎【例20】从6名运动员中选出4人参加4×‎100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？‎ ‎【答案】252‎ ‎【解析】设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，｛甲跑第一棒的排列｝，｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：‎ 种．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河北唐山高三二模】甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2．【2018云南昆明高三二模】定义“有增有减”数列如下：，满足，且，满足．已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有（ ）‎ A．64个 B．57个 C．56个 D．54个 ‎【答案】D ‎【解析】当四个数中只有两个相同时，共有种，当四个数中有三个数相同时，共有种，所以总方法数有．‎ ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏．在本题中，按四个数中，只有两类数和有三类数进行分类，其中两类数中又有小类，三个相同和两两相同． . . ‎ ‎3．【2018北京市朝阳三里屯高三模拟】从名骨 、名脑外 和名内 医生中选派人组成一个抗震救灾小组，则骨 、脑外 和内 医生都至少有人的选派方法种数是__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从名医生中选出名，选法由种，其中只不选骨 医生的有种，只不选脑外 医生的有种，只不选内 医生的有种，同时不选骨 和脑外 的选法有种，故各 至少有人的选法种数为．‎ ‎【名师点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．‎ 考向10 多排问题 多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．‎ ‎【例21】（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 （ ）‎ A．36种 B．120种 C．720种 D．1440种 ‎（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有 种不同排法．‎ ‎【答案】（1）C；（2）5670．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎【2018云南保山市高三二模】一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ）‎ A．5 B．25 C．55 D．75‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知：小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，共有以下四种情形：‎ 一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况；‎ 二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有种情况；‎ 三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行每次飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况；‎ 四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有种情况；‎ 故而共有种情况，故选D．‎ 考向11 排列组合混合问题，先“选”后“排”‎ 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．‎ ‎【例22】（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 种；‎ ‎（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有 种不同的分组方法；‎ ‎（3）对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有种可能？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎（3）由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品，故有： （种）可能．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018广州高三一模】某 校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大 2名，乙大 2名，丙大 1名，并且甲大 和乙大 都要求必须有男生参加， 校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A．36种 B．24种 C．22种 D．20种 ‎【答案】B ‎【解析】第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有，故选B．‎ ‎2．某 习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】采用先选后排策略：共（种）不同的参赛方法．‎ ‎【名师点睛】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列．‎ 考向12 部分条件问题 部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求．‎ ‎【例23】（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）‎ A．70种 B．64种 C．58种 D．52种 ‎（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）‎ A．150种 B．147种 C．144种 D．141种 ‎【答案】（1）C；（2）D．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎【2018北京北大附中高二期末考试】某 校开设类选修课门，类选修课门，一位同 从中共选门，若要求两类课程各至少选门，则不同的选法共有 A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，7门课程选3门有种方法，若选择的课程均为A课程，有种方法，选择的课程均为B课程，有种方法，满足题意的选择方法有：种，故选A．‎ 考向13 圆排问题 圆排问题单排法：把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：[ ： K]‎ 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种．因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列．‎ ‎【例24】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有 种不同站法．‎ ‎【答案】768‎ ‎【解析】首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法．‎ ‎【名师点睛】从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法．‎ 考向14 可重复的排列 可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法．‎ ‎【例25】把6名实习生分配到7个车间实习共有 种不同方法．‎ ‎【答案】‎ 考向15 染色问题 ‎【例26】【2018安徽江淮十校高三第三次（4月）联考】用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色，有=360种不同的方案，接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数．‎ 不使用新的颜色，有2种颜色分类方案：‎ 使用1种新的颜色，分为2类；‎ 第一类，染一条边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案．‎ 使用2种新的颜色，分为4类；‎ 第一类，染两条邻边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案；第三类，染三条边，有种方案；第四类，染四条边，有2种方案．‎ 因此不同的染色方案总数为，选C．‎ ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏．在本题中，是根据颜色来进行分类，再分步涂色．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎【2018河北鸡泽一中高三模拟】如图所示，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　)‎ A．400种 B．480种 C．460种 D．496种 ‎【答案】B ‎ 【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ 考向16 复杂的排列组合问题 ‎（一）复杂排列组合问题构造模型法．‎ ‎【例27】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 种．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．‎ ‎【名师点睛】一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型（如占位填空模型、排队模型、装盒模型等）可使问题容易解决．‎ ‎（二）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法．‎ ‎【例28】（1）30030能被多少个不同偶数整除？‎ ‎（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？‎ ‎【答案】（1）32；（2）174．‎ ‎【解析】（1）先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个．‎ ‎（2）因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有对．‎ ‎【名师点睛】分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略．‎ ‎（三）利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理．‎ ‎【例29】（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？‎ ‎（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？‎ A B ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【例30】平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行．求：‎ ‎（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）；（2）这些直线交成多少个三角形．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）解法一：由题设这10点所确定的直线是．‎ 这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，由任意两条直线交一个点，共有个交点．而在原来10点上有9条直线共点于此．所以，在原来点上有点被重复计数；所以这些直线交成新的点是：．‎ 解法二：如图对给定的10点中任取4个点，四点连成6条直线，这6条直线交3个新的点．故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍，即这些直线新交成的点的个数是：．‎ ‎（2）这些直线所交成的三角形个数可如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述630个点或原来的10个点，所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合，即（个）．‎ ‎【点评】用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义． . . ‎ ‎（四）化归策略：处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题．‎ ‎【例31】25人排成5×5方队，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有 种．‎ ‎【答案】600‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018四川高三“联测促改”活动】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数 史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．‎ 例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）‎ A．48 B．60 C．96 D．120‎ ‎【答案】C 可以组成的三位数的个数为：种，同理可以组成的三位数的个数为：种，‎ 对于，组合出的可能的算筹为：共6种，‎ 可以组成的三位数的个数为：种，同理可以组成的三位数的个数为：种，利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为 ‎．故选C．‎ ‎【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎2．【2018北京首都师大附中高二期末考试】在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_________．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种；②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有种．∴所有的出场顺序的排法种数为．‎ ‎【名师点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．‎