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文档介绍
2016年昆明中考数学试卷及解析
2016年云南省昆明市中考数学试卷 一、填空题:每小题3分,共18分 1.﹣4的相反数为 . 2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人,将数据67300用科学记数法表示为 . 3.计算:﹣= . 4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 . 5.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是 . 6.如图,反比例函数y=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为 . 二、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分) 7.下面所给几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”,他们的得分情况如表: 人数(人) 1 3 4 1 分数(分) 80 85 90 95 那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是( ) A.90,90 B.90,85 C.90,87.5 D.85,85 9.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 10.不等式组的解集为( ) A.x≤2 B.x<4 C.2≤x<4 D.x≥2 11.下列运算正确的是( ) A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8C. =±3 D. =﹣2 12.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是( ) A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π 13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时,则所列方程正确的是( ) A.﹣=20 B.﹣=20 C.﹣=D.﹣= 14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论: ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、综合题:共9题,满分70分 15.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°. 16.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB 求证:AE=CE. 17.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4) (1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1; (2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2; (3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标. 18.某中学为了了解九年级学生体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图; (1)这次抽样调查的样本容量是 ,并补全条形图; (2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为 ,在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为 °; (3)该校九年级学生有1500人,请你估计其中A等级的学生人数. 19.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字. (1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果; (2)求出两个数字之和能被3整除的概率. 20.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732) 21.(列方程(组)及不等式解应用题) 春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元. (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元? (2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润. 22.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π) 23.如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 2016年云南省昆明市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题:每小题3分,共18分 1.﹣4的相反数为 4 . 【考点】相反数. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0即可求解. 【解答】解:﹣4的相反数是4. 故答案为:4. 2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人,将数据67300用科学记数法表示为 6.73×104 . 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于67300有5位,所以可以确定n=5﹣1=4. 【解答】解:67300=6.73×104, 故答案为:6.73×104. 3.计算:﹣= . 【考点】分式的加减法. 【分析】同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;再分解因式约分计算即可求解. 【解答】解:﹣ = = =. 故答案为:. 4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 40° . 【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质. 【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°,由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°,再由平行线的性质即可求得结论. 【解答】解:∵DE=DF,∠F=20°, ∴∠E=∠F=20°, ∴∠CDF=∠E+∠F=40°, ∵AB∥CE, ∴∠B=∠CDF=40°, 故答案为:40°. 5.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是 24 . 【考点】中点四边形;矩形的性质. 【分析】先根据E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF,AE=BE=DG=CG,故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,根据S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出结论. 【解答】解:∵E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8, ∴AH=DH=BF=CF=8,AE=BE=DG=CG=3. 在△AEH与△DGH中, ∵, ∴△AEH≌△DGH(SAS). 同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF, ∴S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4××3×4=48﹣24=24. 故答案为:24. 6.如图,反比例函数y=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为 ﹣ . 【考点】反比例函数系数k的几何意义;平行线分线段成比例. 【分析】先设点B坐标为(a,b),根据平行线分线段成比例定理,求得梯形BDCE的上下底边长与高,再根据四边形BDCE的面积求得ab的值,最后计算k的值. 【解答】解:设点B坐标为(a,b),则DO=﹣a,BD=b ∵AC⊥x轴,BD⊥x轴 ∴BD∥AC ∵OC=CD ∴CE=BD=b,CD=DO=a ∵四边形BDCE的面积为2 ∴(BD+CE)×CD=2,即(b+b)×(﹣a)=2 ∴ab=﹣ 将B(a,b)代入反比例函数y=(k≠0),得 k=ab=﹣ 故答案为:﹣ 二、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分) 7.下面所给几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 【考点】简单几何体的三视图. 【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案. 【解答】解:由几何体可得:圆锥的俯视图是圆,且有圆心. 故选:B. 8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”,他们的得分情况如表: 人数(人) 1 3 4 1 分数(分) 80 85 90 95 那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是( ) A.90,90 B.90,85 C.90,87.5 D.85,85 【考点】众数;中位数. 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,可得答案. 【解答】解:在这一组数据中90是出现次数最多的,故众数是90; 排序后处于中间位置的那个数是90,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是90; 故选:A. 9.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 【考点】根的判别式. 【分析】将方程的系数代入根的判别式中,得出△=0,由此即可得知该方程有两个相等的实数根. 【解答】解:在方程x2﹣4x+4=0中, △=(﹣4)2﹣4×1×4=0, ∴该方程有两个相等的实数根. 故选B. 10.不等式组的解集为( ) A.x≤2 B.x<4 C.2≤x<4 D.x≥2 【考点】解一元一次不等式组. 【分析】先求出每个不等式的解集,再根据口诀:大小小大中间找确定不等式组的解集即可. 【解答】解:解不等式x﹣3<1,得:x<4, 解不等式3x+2≤4x,得:x≥2, ∴不等式组的解集为:2≤x<4, 故选:C. 11.下列运算正确的是( ) A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8C. =±3 D. =﹣2 【考点】同底数幂的乘法;算术平方根;立方根;完全平方公式. 【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项. 【解答】解:A、(a﹣3)2=a2﹣6a+9,故错误; B、a2•a4=a6,故错误; C、=3,故错误; D、=﹣2,故正确, 故选D. 12.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是( ) A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π 【考点】弧长的计算;切线的性质. 【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A;根据等边三角形的判定定理判断B;根据垂径定理判断C;利用弧长公式计算出的长判断D. 【解答】解:∵AB为⊙O的直径,EF切⊙O于点B, ∴AB⊥EF,又AB⊥CD, ∴EF∥CD,A正确; ∵AB⊥弦CD, ∴=, ∴∠COB=2∠A=60°,又OC=OD, ∴△COB是等边三角形,B正确; ∵AB⊥弦CD, ∴CG=DG,C正确; 的长为: =π,D错误, 故选:D. 13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时,则所列方程正确的是( ) A.﹣=20 B.﹣=20 C.﹣=D.﹣= 【考点】由实际问题抽象出分式方程. 【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,可以列出相应的方程,从而可以得到哪个选项是正确的. 【解答】解:由题意可得, ﹣=, 故选C. 14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论: ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】①根据题意可知∠ACD=45°,则GF=FC,则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF; ②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°; ③同②证明△EHF≌△DHC即可; ④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2. 【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD, ∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°, ∴△CFG为等腰直角三角形, ∴GF=FC, ∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC, ∴EG=DF,故①正确; ②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD, 在△EHF和△DHC中,, ∴△EHF≌△DHC(SAS), ∴∠HEF=∠HDC, ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确; ③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD, 在△EHF和△DHC中,, ∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确; ④∵=, ∴AE=2BE, ∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=GH,∠FHG=90°, ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD, 在△EGH和△DFH中,, ∴△EGH≌△DFH(SAS), ∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°, ∴△EHD为等腰直角三角形, 过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示: 设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x, 则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2, ∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确; 故选:D. 三、综合题:共9题,满分70分 15.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°. 【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可. 【解答】解: 20160﹣|﹣|++2sin45° =1﹣+(3﹣1)﹣1+2× =1﹣+3+ =4. 16.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB 求证:AE=CE. 【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE,即可得出答案. 【解答】证明:∵FC∥AB, ∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE, 在△ADE和△CFE中, , ∴△ADE≌△CFE(AAS), ∴AE=CE. 17.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4) (1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1; (2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2; (3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标. 【考点】作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换. 【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置,然后顺次连接即可; (2))找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置,然后顺次连接即可; (3)找出A的对称点A′,连接BA′,与x轴交点即为P. 【解答】解:(1)如图1所示: (2)如图2所示: (3)找出A的对称点A′(﹣3,﹣4), 连接BA′,与x轴交点即为P; 如图3所示:点P坐标为(2,0). 18.某中学为了了解九年级学生体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图; (1)这次抽样调查的样本容量是 50 ,并补全条形图; (2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为 8% ,在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为 28.8 °; (3)该校九年级学生有1500人,请你估计其中A等级的学生人数. 【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)由A等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量;求出B等级的人数即可全条形图; (2)用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比;求出C等级所占的百分比,即可求出C等级所对应的圆心角; (3)由扇形统计图可知A等级所占的百分比,进而可求出九年级学生其中A等级的学生人数. 【解答】解: (1)由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷32%=50人,所以B等级的人数=50﹣16﹣10﹣4=20人, 故答案为:50; 补全条形图如图所示: (2)D等级学生人数占被调查人数的百分比=×100%=8%; 在扇形统计图中C等级所对应的圆心角=8%×360°=28.8°, 故答案为:8%,28.8; (3)该校九年级学生有1500人,估计其中A等级的学生人数=1500×32%=480人. 19.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字. (1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果; (2)求出两个数字之和能被3整除的概率. 【考点】列表法与树状图法;概率公式. 【分析】先根据题意画树状图,再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率. 【解答】解:(1)树状图如下: (2)∵共6种情况,两个数字之和能被3整除的情况数有2种, ∴两个数字之和能被3整除的概率为, 即P(两个数字之和能被3整除)=. 20.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732) 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度;通过解直角△DCE得到CE的长度,则BC=BE﹣CE. 【解答】解:如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H. 则DE=BF=CH=10m, 在直角△ADF中,∵AF=80m﹣10m=70m,∠ADF=45°, ∴DF=AF=70m. 在直角△CDE中,∵DE=10m,∠DCE=30°, ∴CE===10(m), ∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7(m). 答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7m. 21.(列方程(组)及不等式解应用题) 春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元. (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元? (2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润. 【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用. 【分析】(1)设甲种商品每件的进价为x元,乙种商品每件的进价为y元,根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出两种商品的单价; (2)设该商场购进甲种商品m件,则购进乙种商品件,根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式,解不等式可得出m的取值范围,再设卖完A、B两种商品商场的利润为w,根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数量”即可得出w关于m的一次函数关系上,根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设甲种商品每件的进价为x元,乙种商品每件的进价为y元, 依题意得:,解得:, 答:甲种商品每件的进价为30元,乙种商品每件的进价为70元. (2)设该商场购进甲种商品m件,则购进乙种商品件, 由已知得:m≥4, 解得:m≥80. 设卖完A、B两种商品商场的利润为w, 则w=(40﹣30)m+(90﹣70)=﹣10m+2000, ∴当m=80时,w取最大值,最大利润为1200元. 故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件,最大利润为1200元. 22.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π) 【考点】切线的判定;平行四边形的性质;扇形面积的计算. 【分析】(1)欲证明CF是⊙O的切线,只要证明∠CDO=90°,只要证明△COD≌△COA即可. (2)根据条件首先证明△OBD是等边三角形,∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°,推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD即可解决问题. 【解答】(1)证明:如图连接OD. ∵四边形OBEC是平行四边形, ∴OC∥BE, ∴∠AOC=∠OBE,∠COD=∠ODB, ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB, ∴∠DOC=∠AOC, 在△COD和△COA中, , ∴△COD≌△COA, ∴∠CAO=∠CDO=90°, ∴CF⊥OD, ∴CF是⊙O的切线. (2)解:∵∠F=30°,∠ODF=90°, ∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°, ∵OD=OB, ∴△OBD是等边三角形, ∴∠DBO=60°, ∵∠DBO=∠F+∠FDB, ∴∠FDB=∠EDC=30°, ∵EC∥OB, ∴∠E=180°﹣∠OBD=120°, ∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°, ∴EC=ED=BO=DB, ∵EB=4, ∴OB=OD═OA=2, 在RT△AOC中,∵∠OAC=90°,OA=2,∠AOC=60°, ∴AC=OA•tan60°=2, ∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×2﹣=2﹣. 23.如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式; (2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可; (3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍. 【解答】解:(1)由对称性得:A(﹣1,0), 设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2), 把C(0,4)代入:4=﹣2a, a=﹣2, ∴y=﹣2(x+1)(x﹣2), ∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+2x+4; (2)如图1,设点P(m,﹣2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D, ∴S=S梯形+S△PDB=m(﹣2m2+2m+4+4)+(﹣2m2+2m+4)(2﹣m), S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6, ∵﹣2<0, ∴S有最大值,则S大=6; (3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形, 理由是: 设直线BC的解析式为:y=kx+b, 把B(2,0)、C(0,4)代入得:, 解得:, ∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+4, 设M(a,﹣2a+4), 过A作AE⊥BC,垂足为E, 则AE的解析式为:y=x+, 则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2), 设Q(﹣x,0)(x>0), ∵AE∥QM, ∴△ABE∽△QBM, ∴①, 由勾股定理得:x2+42=2×[a2+(﹣2a+4﹣4)2]②, 由①②得:a1=4(舍),a2=, 当a=时,x=, ∴Q(﹣,0).查看更多