2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学考试数学试题

2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学考试数学试题

‎2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学考试数学试题 说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120‎ 分钟.‎ ‎2.将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）‎ ‎1． sin 390o = ( )‎ ‎1 1 3‎ A． B． - C．‎ ‎2 2 2‎ ‎D． - 3‎ ‎2‎ ‎2．下列程序框图表示赋值计算功能是( )‎ A B C D ‎3．某校共有高中生 1000 人，其中高一年级 400 人，高二年级 340 人，高三年级 260 人， 现采用分层抽样抽取 50 的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为( )‎ A．20，17，13 B．20，15，15 C．40，34，26 D．20，20，10‎ ‎4．袋中装有 6 只白球，5 只黄球，4 只红球，从中任取一球，抽到不是白球的概率为( )‎ ‎2 4‎ A． B．‎ ‎5 15‎ ‎3‎ C． D．非以上答案 ‎5‎ ‎5．已知 a = (x, 3) ， b = (3,1) ，且 a ^ b ，则 x 等于( )‎ A． -1‎ ‎B． -9‎ π ‎C．9 D．1‎ ‎6．下列函数中，最小正周期为 A． y = sin x ‎的是( )‎ ‎2‎ B． y = sin x cos x C． y = tan 2π ‎D． y = cos 4x ‎7．化简 ‎cos2q- 2cosq+1 的结果是( )‎ A． cosq- 1‎ ‎B． (cosq-1) 2‎ ‎C．1 - cosq ‎D． 2cosq ‎8．已知 a, b 满足| a |= 3 ，| b |= 2 ， a × b = 4 ，则| a - b |= ( )‎ A． 3 B． 5 C．3 D．10‎ ‎1 uuur uuur ‎9．已知 P1 (5,1), P2 ( , 4), P1P = 2PP2 ，则 P 点坐标是( )‎ ‎2‎ ‎11 3‎ A． ( , )‎ ‎6 2‎ ‎11 5‎ B． ( , )‎ ‎4 2‎ ‎21‎ C． (2, 3) D． ( , 2)‎ ‎6‎ ‎10．在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于 ‎1‎ 其他 10 个小长方形的面积和的 ‎4‎ ‎，且样本容量为 160，则中间一组频数为( )‎ A．32 B． 0.2 C．40 D． 0.25‎ ‎11．如下图所示算法流程图中，第 3 个输出的数是( )‎ ‎3‎ A．1 B．‎ ‎2‎ ‎5‎ C．2 D．‎ ‎2‎ 结束 否 ‎‎ A = A + 1‎ ‎2‎ 是 n≤5？‎ ‎‎ 开始 A = 1 n = 1‎ 输出 A n = n + 1‎ ‎INPUT“x=";x IF x>=0 THEN y=-1‎ ELSE y=1‎ END IF PRINT y END ‎12．函数 y = sin x + cos x, x Î[0, π] 的值域是( )‎ ‎‎ ‎(第 15 题图)‎ A．[-2, 2]‎ ‎B．[- ‎2, 2 ]‎ ‎C．[-1, 2 ]‎ ‎D．[1, 2 ]‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题．(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在横线上)‎ ‎13．如果向量 a, b 的夹角为 30o ，且| a |= 3 ，| b |= 5 ，那么 a × b 的值等于 ．‎ ‎14．计算 cos 75o cos15o + sin75o sin15o = ．‎ ‎15．写出右上方程序运行结果．若程序运行后输入 x = -2 ，则输出的结果为 ．‎ ‎1‎ ‎16．已知 cos 2a = ，则 sin 4 a- cos4 a = ．‎ ‎2‎ 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或算法步骤)‎ ‎17．（本小题满分 10 分）画出求实数 x 的绝对值的程序框图．‎ ‎18．（本小题满分 12 分）‎ 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成 六段 [40,50) ， [50,60) … [90,100] 后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息， 回答下列问题：‎ ‎（I）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（II）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分．‎ ‎19．（本小题满分 12 分）‎ 某校有学生会干部 7 名，其中男干部有 A1 ,A2 ,A3 ,A4 共 4 人；女干部有 B 1 ，B 2 ，‎ B 3 共 3 人．从中选出男、女干部各 1 名，组成一个小组参加某项活动．‎ ‎（I）求 A 1 被选中的概率；‎ ‎（II）求 A 2 ，B 2 不全被选中的概率．‎ ‎20．（本小题满分 12 分）‎ DABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 DABC 的面积为 ‎（I）求 sin B sin C ；‎ ‎（II）若 6 cos B cos C = 1 ， a = 3 ，求 DABC 的周长．‎ ‎‎ a2‎ ‎．‎ ‎3sin A ‎21．（本小题满分 12 分）‎ 已知等边 DABC 的边长为 2，⊙ A 的半径为 1， PQ 为⊙ A 的任意一条直径．‎ ‎（I）判断 BP × CQ - AP × CB 的值是否会随点 P 的变化而变化，请说明理由；‎ ‎（II）求 BP × CQ 的最大值．‎ P A Q ‎22．(本小题满分 12 分) B C 设函数 f ( x) = a cos 2 wx + f ( x) 图象的一条对称轴．‎ ‎3a coswx sin wx + b (0 < w< 2, a ¹ 0) ， x = π 是函数 ‎6‎ ‎（I）求w的值；‎ ‎（II）若 f ( x) 的定义域为[- π , π ] ，值域为[-1,5] ，求 a, b 的值．‎ 参考答案 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分）‎ ‎1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.A 11.C 12.C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）‎ ‎13.‎ ‎15 3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎14.‎ ‎2‎ ‎15.1 16. - 1‎ ‎2‎ 三、解答题 ‎17．‎ 开 始 输入 x 否 x ³ 0 ?‎ 是 输出 x 输 出 结 束 ‎………………………10 分 ‎18 ． 解 ： (1) 因 为 各 组 的 频 率 各 等 于 1 ， 故 第 四 组 的 频 率 ： f 4 = 1 - (0.025 - 0.015 ´ 2 - 0.01 - 0.005)´10 = 0.3 ………………………3 分 直方图（略）………………………6 分 ‎（2）依题意，60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率的为 ‎（0．015+0．03+0．025+0．005）´ 10=0．75 所以抽样学生的合格率为 0．75.‎ 利 用 组 中 值 估 算 抽 样 学 生 的 平 均 分 ：‎ ‎45 ´ f1 + 55 × f 2 + 65 × f 3 + 75 × f 4 + 85 × f 5 + 95 × f 6 = 71 ，‎ 估计这次考试的平均分是 71 分.………………………12 分 ‎19 ． 解 ： 选 出 男 女 干 部 各 1 名 ， 其 一 切 可 能 的 结 果 共 有 12 种 (A1 , B1 ), (A1 , B2 ), (A1 , B3 ), (A2 , B1 ) ，( A2 , B2 )，( A2 , B3 )，( A3 , B1 )，( A3 , B2 )， ( A3 , B3 )，‎ ‎( A4 , B1 )，( A4 , B2 )，( A4 , B3 )．………………………2 分 ‎（1）用 M 表示“ A1 被选中”这一事件，则 M 中的结果有 3 种：( A1 , B1 )，( A1 , B2 ，( A1 , B3 )． 由于所有 12 种结果是等可能的，其中事件 M 中的结果有 3 种，因此，由古典概型的概 ‎3‎ 率计算公式可得： P(M)=‎ ‎12‎ ‎= 1 ………………………7 分 ‎4‎ ‎（2）用 N 表示“ A2 , B2 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“ A2 , B2 全被选中”‎ 这一事件， N 只有一种结果，故 P(N )= 1 ，‎ ‎12‎ P(N ) = 1 - 1‎ ‎12‎ ‎20．‎ ‎= 11 ．………………………12 分 ‎12‎ ‎………………………6 分 ‎……………………12 分 ‎21 ． （Ⅰ）由于 BP × CQ - AP × CB = (AP - AB ) × (AQ - AC ) - AP × (AB - AC ) ，而 AQ = - AP ，‎ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2‎ 则 BP × CQ - AP × CB = (AP - AB ) × (- AP - AC ) - AP × (AB - AC ) = - AP ‎‎ uuur uuur + AB × AC uuur uuur uuur uuur ‎uuur 2‎ ‎uuur 2‎ ‎∵ AB × AC = ‎AB AC cos ÐABC = 2 ， AP ‎= AP = 1‎ uuur uuur uuur uuur uuur 2‎ ‎∴ BP × CQ - AP × CB = - AP ‎‎ uuur uuur + AB × AC = 1，‎ 即 BP × CQ - AP × CB 的值不会随点 P 的变化而变化；………………………6 分 ‎（Ⅱ）由于 BP × CQ - AP × CB = 1 ，∴ BP × CQ = 1+ AP × CB ，‎ uuur uuur uuur uuur uuur uuur ‎∵ AP × CB = ‎AP CB cos < AP ,CB > uuur uuur uuur uuur ‎∴ AP × CB £ ‎AP CB ‎= 2 （等号当且仅当 AP 与 CB 同向时成立），‎ ‎∴ BP × CQ 的最大值为 3．………………………12 分 ‎22．解：（Ⅰ）因为 a cos2 wx + ‎3a coswx sinwx + b = a(1 + cos 2wx) + 3a sin 2wx + b ‎2 2‎ p = a sin(2wx + ‎) + a + b ‎6 2‎ p a 所以 f ( x) = a sin(2wx + 6 ) + 2 + b ， ----------3 分 又因为 x = p ‎6 是其函数图象的一条对称轴，‎ p p p 所以 2w´ 6 + 6 = kp+ 2 , k Î Z ，即w= 3k + 1 ，‎ 又因为 0 < w< 2 ，所以 k = 0 ，故w= 1 ； ----------6 分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x) = a sin(2x + ‎p a ‎，‎ ‎) + + b ‎6 2‎ p p p p 5p 又因为 x Î[- 3 , 3 ] ，所以 2x + 6 Î[- 2 , 6 ，‎ p p p p p 所以当 2x + 6 = - 2 ，即 x = - 3 时， sin(2x + 6 )‎ ‎‎ min ‎= sin(- ) = -1‎ ‎，‎ ‎2‎ ‎，‎ p p p p p 所以当 2x + 6 = 2 ，即 x = 6 时， sin(2x + 6 )‎ ‎‎ max ‎= sin = 1 ----------8 分 ‎2‎ 所以当 a > 0 时，‎ ì- a + b = -1‎ ‎‎ f ( x)‎ min ‎= -a + a + b = - a + b ‎2 2‎ ì a = 3‎ ‎‎ ‎， f ( x) max ‎= a + a + b = 3a + b ‎2 2 ，‎ ï 2 ï í ‎----------10 分 所以 í 3a ‎，解得 1 ，‎ ïb = ï + b = 5 î 2‎ îï 2‎ ‎‎ f x = -a + a + b = - a + b ‎‎ f ( x)‎ ‎‎ = a + a + b = 3a + b 所以当 a < 0 时，‎ ‎( )‎ max ‎2 2 ， min ‎2 2 ，‎ ì - a + b = 5‎ ‎‎ ìa = -3‎ ï 2 ï 所以 í 3a ‎，解得 íb = 7‎ ï + b = -1‎ ïî 2‎ ‎îï 2‎ ì a = 3‎ ï ‎ìa = -3‎ ï í í 7‎ ‎．----------12 分 综上所述 1 或 ïb = ïb = î 2 î 2‎