南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题15:应用题

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南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题15:应用题

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 40 页 专题 15:应用题 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一:几何背景类型 ................................................................................................................................... 2 类型二:函数、数列背景类型 ..................................................................................................................... 25 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 40 页 问题归类篇 类型一:几何背景类型 一、考题回顾 *1、( 2008 江苏高考,平面几何背景).某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界), 且与 A,B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= (rad),将 y 表示成 的函数关系式; ②设 OP x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位 置,使三条排污管道总长度最短. 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= (rad) ,则 10 cos cos AQOA , 故 10 cosOB  ,又 OP=10 10tan 10-10ta , 所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP        , 所求函数关系式为 20 10sin 10cosy   0 4  ②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=  2 2210 10 20 200x x x     所求函数关系式为  22 20 200 0 10y x x x x      (Ⅱ)选择函数模型①,     ' 22 10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1 cos cos siny            令 'y  0 得 sin 1 2  ,因为0 4  ,所以 = 6  , 当 0, 6   时, ' 0y  ,y 是 的减函数;当 ,64   时, ' 0y  , 是 的增函数,所以当 = C B P O A D 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 40 页 时, min 10 10 3y  。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边10 3 3 km 处。 **2.(2013 江苏高考,平面几何背景)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一 种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位 游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处 停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m, 经测量,cos A=12 13 ,cos C= 3 5 . (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 答案:(1) 1 040 m,(2) 35 37t  ,(3) 1250 625,43 14  . 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得 500 7103350v    ,解得 1250 625 43 14v ,所以为使两位游客在 C 处互相 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 40 页 等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在 1250 625,43 14  (单位:m/min)范围内. **3.(2018 江苏高考,平面几何背景)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN (P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.先规划在 此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为 CDP△ ,要求 ,AB 均在线段 MN 上, ,CD均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为 . (1)用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP△ 的面积,并确定sin 的取值范围; (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:3.求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 解析:(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PH⊥MN,所以 OH=10. 设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k>0), 则年总产值为 4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ), θ∈[θ0, π 2 ). 设 f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0, π 2 ), 则 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f                  ′ . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 40 页 令 ( )=0f ′ ,得 θ= π 6 , 当 θ∈(θ0, π 6 )时, ( )>0f ′ ,所以 f(θ)为增函数; 当 θ∈( π 6 , π 2 )时, ( )<0f ′ ,所以 f(θ)为减函数, 因此,当 θ= π 6 时,f(θ)取到最大值. 答:当 θ= π 6 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. **4.(2014 江苏高考,解析几何背景)如图:为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设立一个 圆形保护区,规划要求,新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 上并与 相切的 圆,且古桥两端O 和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ,经测量,点 A 位于点O 正北方向 60 m 处, 点C 位于点 正东方向 170 处,(OC 为河岸), 4tan 3BCO. (1)求新桥 的长; (2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 答案:(1)150m;( 2)10m. 解析:(1)以 ,OC OA为 ,xy轴建立直角坐标系,则 (170,0)C , (0,60)A ,由题意 4 3BCk  ,直线 BC 方 程为 4 ( 170)3yx   .又 13 4AB BC k k   ,故直线 AB 方程为 3 604yx,由 4 ( 170)3 3 604 yx yx       , 解得 80 120 x y    ,即 (80,120)B ,所以 22(80 170) 120 150BC     ()m ; (2)设 OM t ,即 (0, )Mt(0 60)t ,由(1)直线 BC 的一般方程为 4 3 680 0xy   ,圆 M 的半 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 40 页 径为 3 680 5 tr  , 由 题 意 要 求 80, (60 ) 80, rt rt      ,由于 0 60t ,因此 680 3 313655 t t   ,∴ 3136 80,5 3136 (60 ) 80,5 tt tt          ∴10 35t ,所以当 10t  时,r 取 得最大值130m,此时圆面积最大. *5.(2015 江苏高考,解析几何背景)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交 通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 12ll, ,山区边界 曲线为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 的距离分别为 5 千 米和 40 千米,点 N 到 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平 面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 2 ay xb  (其中 a,b 为常数)模型. (1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式  ft,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度. 答案:(1) 1000, 0;ab (2)① 6 2 4 9 10 9( ) ,4f t tt 定义域为[5,20] ,② min10 2, ( ) 15 3t f t千米 解析:(1)由题意知,点 ,  的坐标分别为 5,40 , 20,2.5 . 将其分别代入 2 ay xb  ,得 4025 2.5400 a b a b       , 解得 1000 0 a b    . (2)①由(1)知, 2 1000y x (5 20x ),则点 的坐标为 2 1000,t t   , 设在点 处的切线l 交 x , y 轴分别于  ,  点, 3 2000y x   , M N l2 l1 x y O C P l 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 40 页 则l 的方程为  23 1000 2000y x ttt    ,由此得 3 ,02 t , 2 30000, t  . 故   22 6 2 24 3 3000 3 4 10 22 tf t ttt              ,  5,20t  . ②设   6 2 4 4 10g t t t  ,则   6 5 16 102g t t t   .令   0gt  ,解得 10 2t  . 当  5,10 2t  时,   0gt  ,  gt是减函数; 当  10 2,20t  时,   0gt  ,  gt是增函数. 从而,当 10 2t  时,函数  gt有极小值,也是最小值,所以  min 300gt  ,此时  min 15 3ft  . 答:当 10 2t  时,公路l 的长度最短,最短长度为15 3 千米. *6.(2011 江苏高考,立体几何背景)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸 片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图 中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点.设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 答案:(1) 15 ,(2) x=20 时,包装盒的高与底面边长的比值为 1 2 . 解析:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),由已知得 .300),30(2 2 260,2  xxxhxa (1) ,1800)15(8)30(84 2  xxxahS 所以当 15x 时,S 取得最大值. (2) ).20(26),30(22 222 xxVxxhaV  由 00  xV 得 (舍)或 x=20. 当 )20,0(x 时, .0)30,20(;0  VxV 时当 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最小值. 此时 11 22 h a  即 装盒的高与底面边长的比值为 1 .2 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 40 页 *7.(2016 江苏高考,立体几何背景)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥 1 1 1 1P A B C D ,下部分的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D (如图所示),并要求正四棱柱的高 1OO 是正四 棱锥的高 1PO 的 4 倍. (1)若 16 m, 2 m,AB PO则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当 为多少时,仓库的容积最大? 答案:(1)312(2) 1 23PO  解析:由 PO1=2 知 OO1=4 PO1=8.因为 A1B1=AB=6 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积  2 2 3 1 1 1 11= 6 2 24 m ;33V A B PO     锥 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积  2 2 3 1= 6 8 288 m .V AB OO   柱 所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312(m3). (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 0 k >, . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 26 页 共 40 页 ∴ 2 20 20 20= = =10112 kx k kk   ,当且仅当 =1k 时取等号.∴炮的最大射程是 10 千米. (2)∵ 0a> ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 0k  ,使 221 (1 ) =3.220ka k a 成立, 即关于k 的方程 2 2 220 64=0a k ak a   有正根. 由    2 22= 20 4 64 0a a a     得 6a  . 此时,    2 22 2 20 20 4 64 =02 a a a a k>a     (不考虑另一根). ∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. ***2.(2009 江苏高考,函数背景)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如 果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满意度为 m ma ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度 为 n na .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ,则他对这两种交易的综合满意度为 12hh ,现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成 本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 , 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1)求 和 关于 、 的表达式;当 3 5ABmm 时,求证: = ; (2)设 ,当 、 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多 少? (3)记(2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 、 的值,使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立, 但等号不同时成立?试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及 数学阅读能力。满分 16 分。 (1) 当 3 5ABmm 时, 2 3 5 3 5 ( 20)( 5)125 B BB B B B B m mmh m m mm      甲 , 2 3 5 3 20 ( 5)( 20)35 B BB B B B B m mmh m m mm      乙 , = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 27 页 共 40 页 (2)当 3 5ABmm 时, 2 2 11=,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1 B BB B B B B mh mm m m m m      甲 由 1 1 1[5,20] [ , ]20 5B B m m得 , 故当 11 20Bm  即 20, 12BAmm时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 。 (3)(方法一)由(2)知: 0h = 10 5 由 0 10= 12 5 5 AB AB mmhhmm  甲 得: 12 5 5 2 AB AB mm mm ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 35,, AB xymm则 1[ ,1]4xy、 ,即: 5(1 4 )(1 ) 2xy   。 同理,由 0 10 5hh乙 得: 5(1 )(1 4 ) 2xy   另一方面, 1 4 1xx    5、1+4y [2,5], 、1+y [ ,2],2 55(1 4 )(1 ) ,(1 )(1 4 ) ,22x y x y      当且仅当 1 4xy,即 Am = Bm 时,取等号。 所以不能否适当选取 、 的值,使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立,但等号不同时成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ***3. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在一起. (1) 若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余 了多少根圆钢? (2) 若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),且不少于七层, ①共有几种不同的方案?②已知每根圆钢的直径为 10cm,为考虑安全隐患,堆放高度不得高于 4m,则选 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 28 页 共 40 页 择哪个方案,最能节省堆放场地? 解析:(1)当纵断面为正三角形时,设共堆放 n 层,则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、1 为公差的 等差数列,且剩余的圆钢一定小于 n 根 从而由    2009- + 2 0 且 a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0) 方法:(1)若已知函数类型,常根据待定系数法确定函数解析式(代点列方程)。 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 29 页 共 40 页 (2)含参二次函数有解、最值问题的转化及有理分式函数(尤其二次分式函数 edxcx baxy   2 )、无理 函数等最值的求法(导数法、不等式法)。 2.数列背景函数模型 方法:(1)等差、等比数列的通项与求和 (2)数列的最值问题与数列中的不定方程求解。 三、方法运用 **例 1. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D (分贝)由 公式 lgD a I b( ab、 为非零常数)给出,其中 )/( 2cmWI 为声音能量. (1)当声音强度 321 ,, DDD 满足 321 32 DDD  时,求对应的声音能量 321 ,, III 满足的等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 213 /10 cmW 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说话,声音能量为 212 /10 cmW 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,一般人在 100 分贝~120 分贝 的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪. 答案:(1) 3 3 2 21 III  ;(2) )10,10( 46 I . 解析:(1) 321 32 DDD  )lg(3)lg(2lg 321 bIabIabIa  321 lg3lg2lg III  (2)由题意得      4012 3013 ba ba       160 10 b a 令 120160lg10100  I 可得 46 1010   I 答:当声音能量 时,人会暂时性失聪. **例 2.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 (1 4kk且 )kR 个单位的洗衣液在一定 量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (分钟)变化的函数关系式近似为 ()y k f x ,其中    2 16 1 0 59() 211 5 1645 xxfx xx           .根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升) 时,它才能起到有效去污的作用. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 30 页 共 40 页 (Ⅰ)若投放k 个单位的洗衣液,3分钟时水中洗衣液的浓度为4 (克/升),求k 的值 ; (Ⅱ)若投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? 答案:(Ⅰ) 12 5k  ;(Ⅱ)14. 解析:(Ⅰ)将 3x  代入 16( 1) 49k x  , ; (Ⅱ)当 4k  时,    2 164( 1) 0 59 24(11 ) 5 1645 xxy xx           , 当 05x时,由 4y  ,解得15x; 当5 16x 时,由 ,解得5 15x ; 所以1 15x ,故有效去污时间可达 14 分钟. **例 3. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污 染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花 137600 元购买了一台新型联 合收割机,每年用于收割可以收入 6 万元(已减去所用柴油费);该收割机每年都要定期进行维修保养, 第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,所付费用 (元)与使用年数 的关 系为: ( ,且 ),已知第二年付费 1800 元,第五年付费 6000 元. (Ⅰ)试求出该农机户用于维修保养的费用 (元)与使用年数 的函数关系; (Ⅱ)这台收割机使用多少年,可使平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用) 答案:(Ⅰ) .(Ⅱ)14. 解析:(Ⅰ)依题意,当 , ; , , 即 ,解得 , 所以 . (Ⅱ)记使用 年,年均收益为 (元), 则依题意, , , 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 31 页 共 40 页 当且仅当 ,即 时取等号. 所以这台收割机使用 14 年,可使年均收益最大. 四、归类巩固 **1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单 位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵 塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 200x 时,车流速度v 是车流密度 x 的一次函数.[来源:Zxxk.Com] (Ⅰ)当 0 200x 时,求函数  vx的表达式; (Ⅱ)当车流密度 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)    f x x v x 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 答案:(1)  vx=   60, 0 20 1 200 ,20 2003 x xx     ; (2) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 解析:(Ⅰ)由题意:当0 20x 时,   60vx ;当 时,设  v x ax b,显然 在 20,200 是减函数,由已知得 200 0,20 60 ab ab    ,解得 1 3 200 ,3 a b     故函数 的表达式为 =   60, 0 20 1 200 ,20 200,3 x xx     (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得     60 , 0 20 1 200 ,20 200,3 xx fx x x x      当 时,  fx为增函数,故当 20x  时,其最大值为60 20 1200 ; 当 20 200x 时,       22001 1 100002003 3 2 3 xxf x x x      , 当且仅当 200xx,即 100x  时,等号成立. 所以,当 时, 在区间 上取得最大值10000 3 . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 32 页 共 40 页 综上,当 100x  时,  fx在区间 0,200 上取得最大值10000 3333.3  , 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时 **2.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1万元,每生产1万件需要再投入 2 万元.设该公司一 个月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完,每万件的销售收入为 4 x 万元,且每万件国家给予补助 2 ln 12 exe xx万元. (e 为自然对数的底数,e 是一个常数.) (Ⅰ)写出月利润 ()fx(万元)关于月产量 x (万件)的函数解析式; (Ⅱ)当月生产量在[1,2 ]e 万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此 时的月生产量值(万件). (注:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本). 【答案】(Ⅰ) 2( ) 2( 1) 2 ln 2( 0)f x x e x e x x       ; (Ⅱ)月生产量在 万件时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 2( ) 2f e e, 此时的月生产量值为e (万件) 解析:(Ⅰ)由于:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本,可得 2 2 ln 1( ) (4 2 2) 1 2( 1) 2 ln 2( 0) exf x x x e xx x e x e x x               (Ⅱ) 2( ) 2( 1) 2 ln 2f x x e x e x      的定义域为 , 且 2 2( 1)( )( ) 2 2( 1) ( 0)e x x ef x x e xxx          列表如下: x (1, )e e ( ,2 ]ee ()fx + 0 - ()fx 增 极大值 ()fe 减 由上表得: 在定义域 上的最大值为 ()fe . 且 2( ) 2f e e.即:月生产量在 万件时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 ,此时的月生产量值为 (万件). ***3.某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥将河两岸的路连接起来,剖面设计图纸如下: 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 33 页 共 40 页 其中,点 为 轴上关于原点对称的两点,曲线段 是桥的主体, 为桥顶,且曲线段 在图 纸上的图形对应函数的解析式为 ,曲线段 均为开口向上的抛物线段,且 分别为两抛物线的顶点,设计时要求:保持两曲线在各衔接处( )的切线的斜率相等. (1)求曲线段 在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域; (2)车辆从 经 倒 爬坡,定义车辆上桥过程中某点 所需要的爬坡能力为: (该点 与桥顶 间的水平距离) (设计图纸上该点处的切线的斜率),其中 的单位:米.若该景区可提供三种 类型的观光车:①游客踏乘;②蓄电池动力;③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为 米, 米, 米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥? 答案⑴ ⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥,而“蓄电池动力”和 “内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥. 由曲线段 在图纸上的图像对应函数的解析式为 , 又 ,且 ,所以曲线在 B 点处的切线斜率为 , 因为 点为衔接点,则 解得 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 34 页 共 40 页 所以曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式为 ⑵设 是曲线段 AC 上任意一点, ①若 P 在曲线段 AB 上,则通过该点所需要的爬坡能力 令 , 所以函数 在区间 上为增函数,在区间 上是减函数, 所以 (米) ②若 P 在曲线段 BC 上,则通过该点所需要的爬坡能力 令 则 又因为 ,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥,而“蓄电池动力”和 “内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥. **4.罗源滨海新城建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 32 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万 元. (1)试写出 关于 x 的函数关系式; (2)当 =96 米,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用 最小? 答案:(1) 32y=m( + x)+2m 32,(0 0 , 在区间(16,96)内为增函数; 所以 在 x =16 处取得最小值,此时 96n= 1 516 - = 故需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小. **5.我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础设 施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数  xf 与 第 x 天 近 似 地 满 足   xxf 88 ( 千 人 ),且 参 观 民 俗 文 化 村 的 游 客 人 均 消 费  xg 近 似 地 满 足   22143  xxg (元). (1)求该村的第 x 天的旅游收入  xp (单位千元,1≤x≤30,  Nx )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成本,试问该村 在两年内能否收回全部投资成本? 答案:(1) ()px * * 9688 976,(1 22, ) 13208 1312.(22 30, ) x x x Nx x x x Nx             ;( 2)能收回投资. 解析:(1)依据题意,有 *8( ) ( ) ( ) (8 ) (143 | 22 |)(1 30, )p x f x g x x x x Nx          = (2) 01 当1 22x , *xN 时, 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 36 页 共 40 页 968 968( ) 8 976 2 8 976 1152p x x xxx       (当且仅当 11x  时,等号成立) . [来源:Zxxk.Com] 因此, min( ) (11) 1152p x p(千元) . 02 当 22 30x , *xN 时, 1320( ) 8 1312p x x x    . 考察函数 13208yxx   的图像,可知 在 (22,30]上单调递减, 于是, min( ) (30) 1116p x p(千元) . 又1152 1116 , 所以,日最低收入为 1116 千元. 该村两年可收回的投资资金为1116 20% 5% 30 12 2     =8035.2(千元)=803.52(万元) . 因 803.52 万元  800 万元, 所以,该村两年内能收回全部投资资金. **6.某种海洋生物身体的长度  ft(单位:米)与生长年限 t(单位:年)满足如下的函数关系:   4 10 12tft   .(设该生物出生时 t=0) (1)需经过多少时间,该生物的身长超过 8 米; (2)设出生后第 0t 年,该生物长得最快,求  00 *t t N 的值. 答案:(1)6 年;(2)4 或 5. 解析:(1)设 4 10( ) 812tft  ,即 4 12 4 t  ,解得 6t  , 即该生物 6 年后身长可超过 8 米; (2)设第 00( *)t t N 年生长最快,于是有 0 0 0 0 0 4 0 0 04 5 4 5 10 10 10 2( ) ( 1) ( 1)1 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) t t t t tf t f t t                   ,令 0 42 t u  ,则 (0,8]u , 令 2 11() 1(1 )(1 2 ) 2 3 1 2 2 323 uugu u u u u u u         , 等号当且仅当 12u u 即 1 22u   , 0 1 4 222t   , 0 4.5t  时成立,因为 0 *tN ,因此 0t 可能值为 4 或 5, 由 5(4) (3) (5) (4) 3f f f f    知,所求有年份为第 4 年和第 5 年,两年内各生长了 5 3 米. *7.某企业生产某种商品 x 吨,此时所需生产费用为( 100001002  xx )万元,当出售这种商品时,每 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 37 页 共 40 页 吨价格为 p 万元,这里 baxp  ( ba, 为常数, 0x ) (1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低,那么这种商品的产量应为多少吨? (2)如果生产出来的商品能全部卖完,当产量是 120 吨时企业利润最大,此时出售价格是每吨 160 万元, 求 ba, 的值. 答案:(1)100 吨;(2) 1 , 1806ab   . 解析:(1)设生产平均费用为 y 元, 由题意可知 y= 10010010000100001002  xxx xx ; 当且仅当 100x 时等号成立, 所以这种商品的产量应为 100 吨. (2)设企业的利润为 S 元,有题意可知 10000100)( 2  xxxbaxS = 10000)100()1( 2  xbxa 12022 100   a bx 又由题意可知 120 160ba       160120 140240 ba ab      180 6 1 b a **8.上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1 10x ),为了保证产品的质 量,需要一边生产一边运输,这样按照目前的市场价格,每小时可获得利润是 3100(5 1 )x x 元. (1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 答案:(1)[3,10];( 2)以每小时 6 千克的速度能获得最大利润,最大利润为 457500 元. 解析:(1)根据题意, 3200(5 1 ) 3000x x   35 14 0x x    又 ,可解得3 10x 因此,所求 x 的取值范围是[3,10] 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 38 页 共 40 页 (2)设利润为 y 元,则 42900 3 1 1 61100(5 1 ) 9 10 [ 3( ) ]6 12yxx x x         故 6x  时, max 457500y  元. 因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润,最大利润为 457500 元. **9.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿,点 C 在 点 A 的北偏东 47°方向,点 B 在点 C 的南偏西 36°方向,点 B 在点 A 的南偏东 79°方向,且 A、B 两点的 距离约为 3 海里. (1)求 A、C 两点间的距离;(精确到 0.01) (2)某一时刻,我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船,其航线为 P C A(直线行进),而我东海某渔政船正位于点 A 南偏西 60°方向 20 海里的点 Q 处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行 8 海里至点 M 处,再 折向点 A 直线航行,航速为 22 海里/小时.渔政船能否先于 R 国舰艇赶到进行救助?说明理由. 北 北 Q M P B A C 答案:(1)14.25 海里;(2)渔政船能先于 R 国舰艇赶到进行救助. 解析:(1)求得 11 , 115CAB ABC     ,由 14.25sin11 sin115 AB AC AC   海里. R 国舰艇的到达时间为:14.25 10 1.3518   小时. 在 AQM 中, 2 2 2 2400 64cos60 2 320 AQ MQ AM AM AQ MQ       得 17.44AM  海里, 所以渔政船的到达时间为:17.44 8 1.1622   小时. 因为1.16 1.35 ,所以渔政船先到. 答:渔政船能先于 R 国舰艇赶到进行救助. ***10.为了减少放射性污染对人体的影响,某市环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研 究后,发现一天中环境综合放射性污染指数  fx 与时刻 x (时)的关系为    2 22 , 0,2413 xf x a a xx     ,其中 a 是与气象有关的参数,且 10, 2a  ,若用每天  fx的 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 39 页 共 40 页 最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作  Ma. (1)令 2 1 xt x  ,  0,24x ,求t 的取值范围; (2)国家环保局规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 3 2 ,试问目前市中心的综合放射性污染指数 是否超标? 解:(1)当 0x  时, 0t  当0 24x 时, )1(21 取等号当且仅当  xxx 2 11(0, ]112 xt x x x      故t 的取值范围是 10, 2   (2)当 10, 2a  时,记   22 3g t t a a    则   23 ,03 21,32 t a t a gt t a a t            **11. 例 2.已知城 A 和城 B 相距 20km ,现计划以 AB 为直径的半圆上选择一点C(不与点 A , B 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 40 页 共 40 页 重合)建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与城 B 的影响度之和.记点到C 城 A 的距离为 xkm ,建在C 处的垃圾处理厂 对城 A 和城 B 的总影响度为 y .统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的 距离的平方成反比例关系,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反 比例关系,比例系数为k .当垃圾处理厂建在 AB 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数. (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断在 AB 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,请说明理由. 答案:(1) 22 49(0 20)400yxxx    . (2)点C 到城 A 的距离为 4 10km 时,函数 22 49(0 20)400yxxx    有最小值. 解析:(1)由题意知 AC BC , AC x , 20AB  , 则 22400BC x, 所以 22 4 400 ky xx  (0 20)x . 因为当 10 2x  时, 0.065y  ,代入表达式解得 9k  , 所以 22 49 400y xx  (0 20)x . (2)因为 22 49 400y xx  , 所以    23 2 928' 400 xy x x          242 232 18 8 400 400 xx xx   . 令 '0y  ,得  24218 8 400xx,
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