南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题15：应用题
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专题 15：应用题
目录
问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2
类型一：几何背景类型 ................................................................................................................................... 2
类型二：函数、数列背景类型 ..................................................................................................................... 25
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问题归类篇
类型一：几何背景类型
一、考题回顾
*1、（ 2008 江苏高考，平面几何背景）．某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点
P 处，已知 AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），
且与 A,B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为
y km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式；
②设 OP x (km) ，将 y 表示成 x x 的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位
置，使三条排污管道总长度最短．
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ，则 10
cos cos
AQOA , 故
10
cosOB ，又 OP＝10 10tan 10－10ta ，
所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP ，
所求函数关系式为 20 10sin 10cosy
0 4
②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA =OB= 2 2210 10 20 200x x x
所求函数关系式为 22 20 200 0 10y x x x x
（Ⅱ）选择函数模型①， '
22
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
令 'y 0 得 sin 1
2 ，因为0 4
，所以 =
6
，
当 0, 6
时， ' 0y ，y 是 的减函数；当 ,64
时， ' 0y ， 是 的增函数，所以当 =
C
B
P
O
A
D
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时， min 10 10 3y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边10 3
3 km 处。
**2．（2013 江苏高考，平面几何背景）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一
种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位
游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min，在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处
停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，
经测量，cos A＝12
13
，cos C＝ 3
5 .
(1)求索道 AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
答案：(1) 1 040 m，(2) 35
37t ，(3) 1250 625,43 14
．
乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.
设乙步行的速度为 v m/min，由题意得
500 7103350v
，解得
1250 625
43 14v ，所以为使两位游客在 C 处互相
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等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在
1250 625,43 14
(单位：m/min)范围内．
**3.（2018 江苏高考，平面几何背景）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN
（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．先规划在
此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 CDP△ ，要求 ,AB
均在线段 MN 上， ,CD均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ．
（1）用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP△ 的面积，并确定sin 的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4:3．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
解析:（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10．
设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0），
则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ）， θ∈[θ0， π
2
）．
设 f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， π
2
），
则 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f ′ ．
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令 ( )=0f ′ ，得 θ= π
6
，
当 θ∈（θ0， π
6
）时， ( )>0f ′ ，所以 f（θ）为增函数；
当 θ∈（ π
6
， π
2
）时， ( )<0f ′ ，所以 f（θ）为减函数，
因此，当 θ= π
6
时，f（θ）取到最大值．
答：当 θ= π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
**4．（2014 江苏高考，解析几何背景）如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥 BC ，同时设立一个
圆形保护区，规划要求，新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 上并与 相切的
圆，且古桥两端O 和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ，经测量，点 A 位于点O 正北方向 60 m 处，
点C 位于点 正东方向 170 处，（OC 为河岸）， 4tan 3BCO.
（1）求新桥 的长；
（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
答案：（1）150m；（ 2）10m．
解析：（1）以 ,OC OA为 ,xy轴建立直角坐标系，则 (170,0)C ， (0,60)A ，由题意 4
3BCk ，直线 BC 方
程为 4 ( 170)3yx ．又 13
4AB
BC
k k ，故直线 AB 方程为 3 604yx，由
4 ( 170)3
3 604
yx
yx
，
解得 80
120
x
y
，即 (80,120)B ，所以 22(80 170) 120 150BC ()m ；
（2）设 OM t ，即 (0, )Mt(0 60)t ，由（1）直线 BC 的一般方程为 4 3 680 0xy ，圆 M 的半
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径为 3 680
5
tr ， 由 题 意 要 求 80,
(60 ) 80,
rt
rt
，由于 0 60t ，因此
680 3 313655
t t ，∴
3136 80,5
3136 (60 ) 80,5
tt
tt
∴10 35t ，所以当 10t 时，r 取
得最大值130m，此时圆面积最大．
*5.（2015 江苏高考，解析几何背景）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交
通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 12ll， ，山区边界
曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 的距离分别为 5 千
米和 40 千米，点 N 到 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平
面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 2
ay xb
（其中 a，b 为常数）模型.
（1）求 a，b 的值；
（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.
①请写出公路 l 长度的函数解析式 ft，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
答案：（1） 1000, 0;ab
（2）①
6
2
4
9 10 9( ) ,4f t tt
定义域为[5,20] ，② min10 2, ( ) 15 3t f t千米
解析：（1）由题意知，点 ， 的坐标分别为 5,40 ， 20,2.5 ．
将其分别代入 2
ay xb
，得
4025
2.5400
a
b
a
b
， 解得
1000
0
a
b
．
（2）①由（1）知， 2
1000y x （5 20x ），则点 的坐标为 2
1000,t t
，
设在点 处的切线l 交 x ， y 轴分别于 ， 点， 3
2000y x
，
M
N
l2
l1
x
y
O
C
P
l
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则l 的方程为 23
1000 2000y x ttt ，由此得 3 ,02
t
， 2
30000, t
．
故
22 6
2
24
3 3000 3 4 10
22
tf t ttt
， 5,20t ．
②设
6
2
4
4 10g t t t
，则
6
5
16 102g t t t
．令 0gt ，解得 10 2t ．
当 5,10 2t 时， 0gt ， gt是减函数；
当 10 2,20t 时， 0gt ， gt是增函数．
从而，当 10 2t 时，函数 gt有极小值，也是最小值，所以 min 300gt ，此时 min 15 3ft ．
答：当 10 2t 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 千米．
*6.(2011 江苏高考，立体几何背景)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸
片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图
中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边
的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
答案：(1) 15 ，(2) x＝20 时，包装盒的高与底面边长的比值为 1
2 .
解析：设包装盒的高为 h（cm），底面边长为 a（cm），由已知得
.300),30(2
2
260,2 xxxhxa
（1） ,1800)15(8)30(84 2 xxxahS
所以当 15x 时，S 取得最大值.
（2） ).20(26),30(22 222 xxVxxhaV
由 00 xV 得 （舍）或 x=20. 当 )20,0(x 时， .0)30,20(;0 VxV 时当
所以当 x=20 时，V 取得极大值，也是最小值.
此时 11
22
h
a 即 装盒的高与底面边长的比值为 1 .2
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*7.(2016 江苏高考,立体几何背景)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥
1 1 1 1P A B C D ，下部分的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D (如图所示)，并要求正四棱柱的高 1OO 是正四
棱锥的高 1PO 的 4 倍.
（1）若 16 m, 2 m,AB PO则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 为多少时，仓库的容积最大？
答案：（1）312（2） 1 23PO
解析：由 PO1=2 知 OO1=4 PO1=8.因为 A1B1=AB=6
所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积 2 2 3
1 1 1
11= 6 2 24 m ;33V A B PO 锥
正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 2 2 3
1= 6 8 288 m .V AB OO 柱
所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312（m3）.
(2)设 A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则 0
k >， .
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∴ 2
20 20 20= = =10112
kx k kk
，当且仅当 =1k 时取等号.∴炮的最大射程是 10 千米.
（2）∵ 0a> ，∴炮弹可以击中目标等价于存在 0k ，使 221 (1 ) =3.220ka k a 成立，
即关于k 的方程 2 2 220 64=0a k ak a 有正根. 由 2 22= 20 4 64 0a a a 得 6a .
此时，
2 22
2
20 20 4 64
=02
a a a a
k>a
（不考虑另一根）.
∴当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标.
***2.（2009 江苏高考，函数背景）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如
果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为 m
ma
；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度
为 n
na
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满意度为
12hh ，现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成
本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ，
乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙
(1)求 和 关于 、 的表达式；当 3
5ABmm 时，求证： = ；
(2)设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 、 的值，使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立，
但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及
数学阅读能力。满分 16 分。
(1)
当 3
5ABmm 时，
2
3
5
3 5 ( 20)( 5)125
B
BB
B B B
B
m mmh m m mm
甲 ,
2
3
5
3 20 ( 5)( 20)35
B
BB
B B B
B
m mmh m m mm
乙 , = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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（2）当 3
5ABmm 时，
2
2
11=,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1
B
BB
B B B B
mh mm
m m m m
甲
由 1 1 1[5,20] [ , ]20 5B
B
m m得 ，
故当 11
20Bm 即 20, 12BAmm时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10
5
。
（3）（方法一）由（2）知： 0h = 10
5
由 0
10= 12 5 5
AB
AB
mmhhmm 甲 得： 12 5 5
2
AB
AB
mm
mm
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
令 35,,
AB
xymm则 1[ ,1]4xy、 ，即： 5(1 4 )(1 ) 2xy 。
同理，由 0
10
5hh乙 得： 5(1 )(1 4 ) 2xy
另一方面， 1 4 1xx 5、1+4y [2,5], 、1+y [ ,2],2
55(1 4 )(1 ) ,(1 )(1 4 ) ,22x y x y 当且仅当 1
4xy，即 Am = Bm 时，取等号。
所以不能否适当选取 、 的值，使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立，但等号不同时成立。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
***3. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有 2009 根．现将它们堆放在一起．
(1) 若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余
了多少根圆钢？
(2) 若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根)，且不少于七层，
①共有几种不同的方案？②已知每根圆钢的直径为 10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 4m，则选
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择哪个方案，最能节省堆放场地？
解析：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放 n 层，则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、1 为公差的
等差数列，且剩余的圆钢一定小于 n 根
从而由
2009－ ＋
2 0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
方法：（1）若已知函数类型，常根据待定系数法确定函数解析式（代点列方程）。
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（2）含参二次函数有解、最值问题的转化及有理分式函数（尤其二次分式函数 edxcx
baxy
2 ）、无理
函数等最值的求法（导数法、不等式法）。
2.数列背景函数模型
方法：（1）等差、等比数列的通项与求和
（2）数列的最值问题与数列中的不定方程求解。
三、方法运用
**例 1. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度 D （分贝）由
公式 lgD a I b( ab、 为非零常数)给出，其中 )/( 2cmWI 为声音能量.
（1）当声音强度 321 ,, DDD 满足 321 32 DDD 时，求对应的声音能量 321 ,, III 满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为 213 /10 cmW 时，声音强度为 30 分贝；当人们正常说话，声音能量为
212 /10 cmW 时，声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音，一般人在 100 分贝~120 分贝
的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
答案：(1) 3
3
2
21 III ；(2) )10,10( 46 I ．
解析：（1） 321 32 DDD
)lg(3)lg(2lg 321 bIabIabIa
321 lg3lg2lg III
（2）由题意得
4012
3013
ba
ba
160
10
b
a
令 120160lg10100 I 可得 46 1010 I
答：当声音能量 时，人会暂时性失聪.
**例 2．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放 (1 4kk且 )kR 个单位的洗衣液在一定
量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y （克/升）随着时间 x （分钟）变化的函数关系式近似为
()y k f x ，其中
2
16 1 0 59() 211 5 1645
xxfx
xx
.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）
时，它才能起到有效去污的作用.
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（Ⅰ）若投放k 个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4 （克/升），求k 的值 ；
（Ⅱ）若投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
答案:（Ⅰ） 12
5k ；（Ⅱ）14.
解析：（Ⅰ）将 3x 代入 16( 1) 49k x
， ；
（Ⅱ）当 4k 时，
2
164( 1) 0 59
24(11 ) 5 1645
xxy
xx
，
当 05x时，由 4y ，解得15x；
当5 16x 时，由 ，解得5 15x ；
所以1 15x ，故有效去污时间可达 14 分钟.
**例 3. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污
染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600 元购买了一台新型联
合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，
第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 （元）与使用年数 的关
系为： （ ，且 ），已知第二年付费 1800 元，第五年付费 6000 元.
（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用 （元）与使用年数 的函数关系；
（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）
答案：（Ⅰ） .（Ⅱ）14.
解析：（Ⅰ）依题意，当 ， ； ， ，
即 ，解得 ，
所以 .
（Ⅱ）记使用 年，年均收益为 （元），
则依题意， ，
，
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当且仅当 ，即 时取等号.
所以这台收割机使用 14 年，可使年均收益最大.
四、归类巩固
**1．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单
位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵
塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表明：当
20 200x 时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函数．[来源:Zxxk.Com]
（Ⅰ）当 0 200x 时，求函数 vx的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
f x x v x 可以达到最大，并求出最大值．（精确到 1 辆/小时）
答案：（1） vx=
60, 0 20
1 200 ,20 2003
x
xx
；
（2） 当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时．
解析：（Ⅰ）由题意：当0 20x 时， 60vx ；当 时，设 v x ax b，显然
在 20,200 是减函数，由已知得 200 0,20 60
ab
ab
，解得
1
3
200 ,3
a
b
故函数 的表达式为 =
60, 0 20
1 200 ,20 200,3
x
xx
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
60 , 0 20
1 200 ,20 200,3
xx
fx
x x x
当 时， fx为增函数，故当 20x 时，其最大值为60 20 1200 ；
当 20 200x 时， 22001 1 100002003 3 2 3
xxf x x x
，
当且仅当 200xx，即 100x 时，等号成立．
所以，当 时， 在区间 上取得最大值10000
3
．
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综上，当 100x 时， fx在区间 0,200 上取得最大值10000 3333.3 ，
即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，
最大值约为 3333 辆/小时
**2．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1万元，每生产1万件需要再投入 2 万元.设该公司一
个月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为 4 x 万元，且每万件国家给予补助
2 ln 12 exe xx万元. （e 为自然对数的底数，e 是一个常数.）
（Ⅰ）写出月利润 ()fx（万元）关于月产量 x （万件）的函数解析式；
（Ⅱ）当月生产量在[1,2 ]e 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此
时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.
【答案】（Ⅰ） 2( ) 2( 1) 2 ln 2( 0)f x x e x e x x ；
（Ⅱ）月生产量在 万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 2( ) 2f e e，
此时的月生产量值为e （万件）
解析：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得
2
2 ln 1( ) (4 2 2) 1
2( 1) 2 ln 2( 0)
exf x x x e xx
x e x e x x
（Ⅱ） 2( ) 2( 1) 2 ln 2f x x e x e x 的定义域为 ，
且 2 2( 1)( )( ) 2 2( 1) ( 0)e x x ef x x e xxx
列表如下：
x (1, )e e ( ,2 ]ee
()fx + 0 -
()fx 增 极大值 ()fe 减
由上表得： 在定义域 上的最大值为 ()fe .
且 2( ) 2f e e.即：月生产量在 万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为
，此时的月生产量值为 （万件）.
***3．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：
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其中，点 为 轴上关于原点对称的两点，曲线段 是桥的主体， 为桥顶，且曲线段 在图
纸上的图形对应函数的解析式为 ，曲线段 均为开口向上的抛物线段，且
分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（ ）的切线的斜率相等.
（1）求曲线段 在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；
（2）车辆从 经 倒 爬坡，定义车辆上桥过程中某点 所需要的爬坡能力为： （该点 与桥顶
间的水平距离） （设计图纸上该点处的切线的斜率），其中 的单位：米.若该景区可提供三种
类型的观光车:①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为 米, 米,
米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?
答案⑴ ⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和
“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.
由曲线段 在图纸上的图像对应函数的解析式为 ,
又 ,且 ,所以曲线在 B 点处的切线斜率为 ,
因为 点为衔接点,则 解得
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所以曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式为
⑵设 是曲线段 AC 上任意一点,
①若 P 在曲线段 AB 上,则通过该点所需要的爬坡能力
令 ,
所以函数 在区间 上为增函数,在区间 上是减函数,
所以 （米）
②若 P 在曲线段 BC 上,则通过该点所需要的爬坡能力
令 则
又因为 ,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和
“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．
**4．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥
面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 32 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
(2+ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万
元．
（1）试写出 关于 x 的函数关系式；
（2）当 ＝96 米，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用 最小？
答案：（1） 32y=m( + x)+2m 32,(0 0 ， 在区间(16,96)内为增函数；
所以 在 x =16 处取得最小值，此时 96n= 1 516
－ ＝
故需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小.
**5.我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础设
施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按 30 天计算）每天的旅游人数 xf 与
第 x 天 近 似 地 满 足 xxf 88 （ 千 人 ），且 参 观 民 俗 文 化 村 的 游 客 人 均 消 费 xg 近 似 地 满 足
22143 xxg （元）．
（1）求该村的第 x 天的旅游收入 xp （单位千元，1≤x≤30， Nx ）的函数关系；
（2）若以最低日收入的 20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的 5％的税率收回投资成本，试问该村
在两年内能否收回全部投资成本？
答案：（1） ()px
*
*
9688 976,(1 22, )
13208 1312.(22 30, )
x x x Nx
x x x Nx
；（ 2）能收回投资．
解析：(1)依据题意，有 *8( ) ( ) ( ) (8 ) (143 | 22 |)(1 30, )p x f x g x x x x Nx
=
(2) 01 当1 22x ， *xN 时，
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968 968( ) 8 976 2 8 976 1152p x x xxx (当且仅当 11x 时，等号成立) . [来源:Zxxk.Com]
因此， min( ) (11) 1152p x p(千元) .
02 当 22 30x ， *xN 时， 1320( ) 8 1312p x x x .
考察函数 13208yxx 的图像，可知 在 (22,30]上单调递减，
于是， min( ) (30) 1116p x p(千元) .
又1152 1116 ，
所以，日最低收入为 1116 千元.
该村两年可收回的投资资金为1116 20% 5% 30 12 2 =8035.2(千元)=803.52(万元) .
因 803.52 万元 800 万元，
所以，该村两年内能收回全部投资资金.
**6.某种海洋生物身体的长度 ft（单位：米）与生长年限 t（单位：年）满足如下的函数关系：
4
10
12tft .（设该生物出生时 t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过 8 米；
（2）设出生后第 0t 年，该生物长得最快，求 00 *t t N 的值.
答案：（1）6 年；（2）4 或 5．
解析：（1）设 4
10( ) 812tft
，即 4 12 4
t ，解得 6t ，
即该生物 6 年后身长可超过 8 米；
（2）设第 00( *)t t N 年生长最快，于是有
0
0 0 0 0
4
0 0 04 5 4 5
10 10 10 2( ) ( 1) ( 1)1 2 1 2 (1 2 )(1 2 )
t
t t t tf t f t t
，令 0 42 t u ，则 (0,8]u ，
令 2
11() 1(1 )(1 2 ) 2 3 1 2 2 323
uugu u u u u u u
，
等号当且仅当 12u u 即
1
22u
， 0
1
4 222t ， 0 4.5t 时成立，因为 0 *tN ，因此 0t 可能值为 4 或 5，
由 5(4) (3) (5) (4) 3f f f f 知，所求有年份为第 4 年和第 5 年，两年内各生长了 5
3
米．
*7.某企业生产某种商品 x 吨，此时所需生产费用为（ 100001002 xx ）万元，当出售这种商品时，每
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吨价格为 p 万元，这里 baxp （ ba, 为常数， 0x ）
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是 120 吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨 160 万元，
求 ba, 的值．
答案：（1）100 吨；（2） 1 , 1806ab ．
解析：（1）设生产平均费用为 y 元，
由题意可知 y= 10010010000100001002
xxx
xx ;
当且仅当 100x 时等号成立，
所以这种商品的产量应为 100 吨．
（2）设企业的利润为 S 元，有题意可知
10000100)( 2 xxxbaxS
= 10000)100()1( 2 xbxa
12022
100
a
bx 又由题意可知 120 160ba
160120
140240
ba
ab
180
6
1
b
a
**8.上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求1 10x ），为了保证产品的质
量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是 3100(5 1 )x x 元.
(1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
答案：（1）[3,10]；（ 2）以每小时 6 千克的速度能获得最大利润，最大利润为 457500 元.
解析：(1)根据题意， 3200(5 1 ) 3000x x 35 14 0x x
又 ，可解得3 10x
因此，所求 x 的取值范围是[3,10]
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(2)设利润为 y 元，则 42900 3 1 1 61100(5 1 ) 9 10 [ 3( ) ]6 12yxx x x
故 6x 时，
max 457500y 元．
因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为 457500 元．
**9.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点 C 在
点 A 的北偏东 47°方向，点 B 在点 C 的南偏西 36°方向，点 B 在点 A 的南偏东 79°方向，且 A、B 两点的
距离约为 3 海里.
（1）求 A、C 两点间的距离；（精确到 0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里的点
P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为 P C A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点 A
南偏西 60°方向 20 海里的点 Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 M 处，再
折向点 A 直线航行，航速为 22 海里/小时.渔政船能否先于 R 国舰艇赶到进行救助？说明理由．
北
北
Q
M
P
B
A
C
答案：(1)14.25 海里；（2）渔政船能先于 R 国舰艇赶到进行救助．
解析：（1）求得 11 , 115CAB ABC ，由 14.25sin11 sin115
AB AC AC
海里.
R 国舰艇的到达时间为：14.25 10 1.3518
小时.
在 AQM 中，
2 2 2 2400 64cos60 2 320
AQ MQ AM AM
AQ MQ
得 17.44AM 海里，
所以渔政船的到达时间为：17.44 8 1.1622
小时.
因为1.16 1.35 ，所以渔政船先到.
答：渔政船能先于 R 国舰艇赶到进行救助.
***10.为了减少放射性污染对人体的影响，某市环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研
究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 fx 与时刻 x （时）的关系为
2
22 , 0,2413
xf x a a xx
，其中 a 是与气象有关的参数，且 10, 2a
，若用每天 fx的
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最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作 Ma．
（1）令 2 1
xt x
， 0,24x ，求t 的取值范围；
（2）国家环保局规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 3
2
，试问目前市中心的综合放射性污染指数
是否超标？
解：（1）当 0x 时， 0t
当0 24x 时， )1(21 取等号当且仅当 xxx
2
11(0, ]112
xt x x x
故t 的取值范围是 10, 2
（2）当 10, 2a
时，记 22 3g t t a a
则
23 ,03
21,32
t a t a
gt
t a a t
**11. 例 2.已知城 A 和城 B 相距 20km ，现计划以 AB 为直径的半圆上选择一点C（不与点 A ， B
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重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B
的总影响度为对城 A 与城 B 的影响度之和.记点到C 城 A 的距离为 xkm ，建在C 处的垃圾处理厂
对城 A 和城 B 的总影响度为 y .统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的
距离的平方成反比例关系，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反
比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.
（1）将 y 表示成 x 的函数.
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A
和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，请说明理由.
答案：（1） 22
49(0 20)400yxxx
.
（2）点C 到城 A 的距离为 4 10km 时，函数 22
49(0 20)400yxxx
有最小值.
解析：（1）由题意知 AC BC ， AC x ， 20AB ，
则 22400BC x，
所以 22
4
400
ky xx
(0 20)x .
因为当 10 2x 时， 0.065y ，代入表达式解得 9k ，
所以 22
49
400y xx
(0 20)x .
（2）因为 22
49
400y xx
，
所以
23 2
928'
400
xy x x
242
232
18 8 400
400
xx
xx
.
令 '0y ，得 24218 8 400xx，
