2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-6-1直线与圆
专题六 解析几何
第一讲 直线与圆
[必记公式]
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．
(2)斜截式：y＝kx＋b.
(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
2．圆的三种方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
[重要关系]
1．直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.
②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(2)当两直线方程分别为：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时：
①两直线平行l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0.
②两直线垂直l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．判断直线与圆的位置关系的方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d
r⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)
3．两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
圆心距与两圆半径的关系
两圆的位置关系
|O1O2|<|r1－r2|
内含
|O1O2|＝|r1－r2|
内切
|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2|
相交
|O1O2|＝|r1＋r2|
外切
|O1O2|>|r1＋r2|
外离
[失分警示]
1．注意两平行线距离公式的应用条件
应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
2．忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
3．注意直线方程的限制条件
(1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x轴的直线；
(2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；
(3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；
(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．
考点 直线方程与位置关系
典例示法
典例1 (1)[2015·广东高考]平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
[解析] 设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则＝，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
[答案] A
(2)[2016·河南开封调研]设A(－1,2)，B(3,1)，若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪
B.∪(2，＋∞)
C.
D.
[解析] 如图所示，直线y＝kx过定点O(0,0)，kOA＝－2，kOB＝.
若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线．数形结合得k∈.故选C.
[答案] C
1．求直线方程的常用方法
(1)直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；
(2)待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数．
2．两条直线平行与垂直的判定
(1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；
(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．
提醒：(1)忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
(2)忽略检验致误
求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
针对训练
1.[2016·郑州质量预测]“a＝1”是“
直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝1或a＝－3.所以选B.
2．[2014·四川高考]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案 5
解析 易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，
∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
∴|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|时取“＝”)．
考点 圆的方程
典例示法
题型1 圆的方程
典例2 [2015·北京高考]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
[解析] 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝ ＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.
[答案] D
题型2 与圆有关的最值问题
典例3 [2016·江苏盐城检测]已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求x＋y的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
[解] (1)解法一：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
解法二：设x＝2＋cosα，y＝－3＋sinα，则x＋y＝sinα＋cosα－1＝sin－1，所以x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(2)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－.
∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
提醒：确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
2．与圆有关的最值问题
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解，与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
典例示法
题型1 圆的切线问题
典例4 [2014·江西高考]在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
[解析]
由题意易知AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度．由点到直线的距离公式得OE＝.∴圆C面积的最小值为π2＝π.故选A.
[答案] A
题型2 与圆有关的弦长问题
典例5 [2016·太原一模]已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．3 B．6
C．4 D．2
[解析] 将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝＝，|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2，故选D.
[答案] D
题型3 直线与圆位置关系的判断
典例6 [2016·福建泉州四校联考]已知m＝(2cosα，2sinα)，n＝(3cosβ，3sinβ)，若m与n的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是( )
A．相交 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
[解析] 由向量的夹角公式得cos〈m，n〉＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，圆心(cosβ，－sinβ)到直线的距离d＝＝1>，
∴直线与圆相离．
[答案] D
题型4 圆与圆位置关系的判断
典例7 圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[解析] 两圆心之间的距离为d＝＝，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝3.
则r2－r1＝10)，
则|MB2|＝|A1M|＝4－a.
在Rt△MOB2中，
|OB2|2＋|OM|2＝|MB2|2，
即4＋a2＝(4－a)2，
解得a＝，4－a＝.
故所求圆的标准方程为2＋y2＝.
4．[2014·全国卷Ⅱ]设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上，存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 解法一：当x0＝0时，M(0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(－1,0)或N(1,0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.
若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，
应有∠OMB≥∠OMN＝45°，
∴∠AMB≥90°，
∴－1≤x0<0或01，所以x1＋>2，所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.
6．[2015·山东高考]一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
答案 D
解析 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，
则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－，故选D.
一、选择题
1．[2015·湖南岳阳一模]已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为( )
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0
B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0
D．x＝1或4x＋3y－4＝0
答案 B
解析 当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
2．[2016·重庆测试]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝( )
A．－ B．±
C．－ D．±
答案 D
解析 本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．依题意圆心C的坐标为(1,2)，则圆心C到y轴的距离为1，由圆的对称性可知，若直线2x－y＋b＝0分得圆C内部的一部分面积也为S，则圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离等于1，于是有＝1，解得b＝±，故选D.
3．[2016·南昌一模]已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y00，当点位于射线BN(不包括端点B)上时，kOM<－，所以的取值范围是∪(0，＋∞)，故选D.
4．[2016·金版原创四]倾斜角互补的直线l1：m1x－y＋1－m1＝0，l2：m2x－y＋1－m2＝0分别被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长之比为，则m1m2＝( )
A．－9或－ B．9或
C．－9 D．－
答案 A
解析 本题考查直线与圆的位置关系．由题可知两条直线斜率分别为m1，m2，又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即m1＋m2＝0，被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长之比为＝，化简得3m－10m1＋3＝0，解得m1＝或3，所以m1m2＝－m＝－或－9，故选A.
5．[2016·广东综合测试]已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2]
答案 C
解析 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因为||2＋||2＝4，所以||≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，故选C.
6．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．5
答案 C
解析 解法一：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，
可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－，
解得a＝1或－5.
解法二：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为
d＝＝，
△ABC的面积为
S△ABC＝×2×
＝，
当a≥0时，a＋2－＝3－，解得a＝1；
当－2≤a<0时，|a＋2－|＝3－，无解；
当a<－2时，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5.
故a＝1或－5.
解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即＝1，解得m＝±－a，
两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离，
即＝，
(S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|.
当a≥0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝1.
当a<0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5.
故a＝1或－5.
二、填空题
7．[2016·福建厦门一模]已知a>0，b>0，若直线l1：x＋a2y＋2＝0与直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，则ab的最小值是________．
答案 2
解析 依题意可得，1×(a2＋1)＋a2·(－b)＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，∴ab＝＝a＋≥2.
当且仅当a＝，即a＝1，b＝2时，ab取到最小值2.
8．[2015·云南统考]已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________.
答案 －7
解析 由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，
又∵f′(x)＝3x2＋a，
∴f(x)的图象在点P(1，－2)处的切线方程为
y＋2＝(3＋a)(x－1)，
即(3＋a)x－y－a－5＝0，
∴＝⇒a＝－，
∴b＝，∴3a＋2b＝－7.
9．[2016·山东青岛质检]在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点．若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．
答案 (3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2)
解析 由题意得圆心C(m,2)，半径r＝4.因为点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解得3－2，
解得k<－或k>1.
11．[2016·江西九江三模]已知点P是圆F1：(x＋)2＋y2＝16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的中垂线与PF1交于M点．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴的左、右两个交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得|HK|＝|KQ|，连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
解 (1)由题意得，F1(－，0)，F2(，0)，
圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，
从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4>|F1F2|＝2，
∴点M的轨迹是以F1，F2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，焦距2c＝2，
则短半轴长b＝＝＝1，
∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)如图，设K(x0，y0)，则＋y＝1.
∵|HK|＝|KQ|，
∴Q(x0,2y0)．
∴|OQ|＝＝2，
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A(－2,0)，
∴直线AQ的方程为y＝(x＋2)．
令x＝2，得D.
又B(2,0)，N为DB的中点，
∴N.
∴＝(x0,2y0)，＝.
∴·＝x0(x0－2)＋2y0·
＝x0(x0－2)＋
＝x0(x0－2)＋
＝x0(x0－2)＋x0(2－x0)＝0.
∴⊥.
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．
12. [2015·福建高考]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
解 (1)由已知得，
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．
由
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而y0＝.
所以|GH|2＝2＋y＝(my0＋)2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，
所以|GH|>.
故点G在以AB为直径的圆外．
