江西省宜春中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

江西省宜春中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

宜春中学2021届高二上学期第二次月考数学（理）试卷 一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ）‎ A. 31号 B. 32号 C. 33号 D. 34号 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样知，组距为，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.‎ ‎【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为，‎ 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取号，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.‎ ‎2.已知命题p：，，则（ ）‎ A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ：，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题选出正确选项.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，的否定是：，，故选C．‎ ‎【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，注意否定的形式变化，属于基础题.‎ ‎3.若，则下列不等式中不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A：，，所以成立；B：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C：且，根据可乘性可知结果；D：，根据乘方性可判断结果.‎ ‎【详解】A：由题意，不等式，可得，‎ 则，，所以成立，所以A是正确的；‎ B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；‎ C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；‎ D：由，可得，所以D是正确的，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4.如图在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，，若，则　　‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的三角形法则和平面向量的定义解答．‎ ‎【详解】解：，故，．所以．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形法则，属基础题．‎ ‎5. “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：考虑到原命题与逆否命题等价，所以若“”则“”其逆否命题是若“”‎ 则“且”，很显然，“”是“且”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ 考点：1.逆否命题；2.充分必要条件.‎ ‎6.一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是1，那么输入的值是（　　）‎ A. 或2 B. 或 C. 或 D. 或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这个程序框图功能可以转化为数学表达式：，分类讨论，当 时，求出的值.‎ ‎【详解】这个程序框图功能可以转化为数学表达式：，‎ 当时，；‎ 当时，；故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的功能、分段函数求自变量取值问题，考查了分类讨论思想、数学运算能力.‎ ‎7.如果三点，，在同一条直线上，则()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三点共线可知为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】三点共线 为共线向量 又，‎ ‎，解得：，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系.‎ ‎8.已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）‎ A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据图象可知，根据周期为知，过点求得，函数解析式，比较解析式，根据图像变换规律即可求解.‎ ‎【详解】由在一个周期内的图象可得,，解得，图象过点，代入解析式得，‎ 因为，所以，故，‎ 因为，将函数图象上点的横坐标变为原来的得，再向右平移个单位得的图象，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.‎ ‎9.若正数，满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．‎ ‎【详解】解:， ‎ ‎,‎ 当且仅当,又,解得时取等号.‎ 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】基本不等式解法中应掌握三种最基本类型：‎ ‎， ，‎ ‎10.在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）‎ 矩形的面积S=x（12-x）＞20‎ ‎∴x2-12x+20＜0‎ ‎∴2＜x＜10‎ 由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率 考点：几何概型 ‎11.设，且，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和差正切公式可求得；根据范围可求得；利用两角和差公式计算出；利用两角和差余弦公式计算出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 又 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换中的两角和差的正余弦和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用；关键是能够熟练应用两角和差公式进行配凑，求得所需的三角函数值.‎ ‎12.已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个函数的值域，结合对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），等价为f（x）的值域是g（x）值域的子集，进行转化求解即可．‎ ‎【详解】对任意x∈[1，+∞），则f（x）＝2x﹣1≥20＝1，即函数f（x1）的值域为[1，+∞），‎ 若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），‎ 设函数g（x）的值域为A，‎ 则满足[1，+∞）⊆A，即可，‎ 当x＜0时，函数g（x）＝x2+2a为减函数，则此时g（x）＞2a，‎ 当x≥0时，g（x）＝acosx+3∈[3﹣|a|，3+|a|]，‎ ‎①当2a＜1时，即a时，满足条件[1，+∞）⊆A，‎ ‎②当a时，此时2a≥1，要使[1，+∞）⊆A成立，‎ 则此时当x≥0时，g（x）＝acosx+3∈[3﹣a，3+a]，‎ 此时满足，即，得2≤a≤3，‎ 综上a或2≤a≤3，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为f（x）的值域是g（x）值域的子集是解题的关键，考查了分类讨论与转化的数学思想，属于中档题.‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知平面向量满足，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用化简求得，然后利用计算出.‎ ‎【详解】∵，∴，又∵，，‎ ‎∴，．‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查平面向量模的求解策略，属于基础题.‎ ‎14.将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n ，向量,则向量与共线的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次,共有种结果,满足条件事件是向量共线, 根据向量共线的条件得到,即,列举出所有的结果数,得到概率.‎ ‎【详解】由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次,共有种结果, 满足条件事件是向量与共线, 即, , 满足这种条件的有,共有3种结果, 向量与共线的概率, 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型及其概率公式,考查向量共线的充要条件,考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数,本题是一个比较简单的综合题目.‎ ‎15.函数的最大值为________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用柯西不等式求解即可．‎ ‎【详解】由柯西不等式有，，当且仅当“”时取等号，即函数y＝43的最大值为10．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎16.在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由 可得，，得 ，由余弦定理， 面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程）‎ ‎17.如图，正方体棱长为4，，，分别为，，‎ 边的中点，是正方形的中心.‎ ‎(1)求，的长；‎ ‎(2)直线上是否存在一点Q，使得.若存在求出Q点坐标，不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2) 存，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用如图坐标系，可得各点坐标，利用空间两点间的距离公式求解即可.‎ ‎（2）先设出Q的坐标，算出向量、的坐标，利用向量垂直的坐标运算得出t的值.‎ ‎【详解】(1)如图所示，可知：，‎ 所以；.‎ ‎(2)，设，则 由EQ，得t=5‎ 故Q点坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间距离公式，属于中档题．‎ ‎18.设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，利用分类讨论法来解不等式；‎ ‎（2）问题转化为解不等式，得出不等式组，从而得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 由，得，由，得，由，得.‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）不等式的解集包含，∴，即,‎ 由，得，∴,‎ ‎∴，问题∴.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式中的参数问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，通过构造不等关系来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题．‎ ‎19.设命题:实数满足；命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求解一元二次不等式可得p，q为真命题的x的范围，取交集得答案；‎ ‎（2）由￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．‎ ‎【详解】（1）由得; ，‎ 当时，，即P为真时，. ‎ 由得，即，即q为真时，. ‎ 因为为真，则p真q真，所以 ；‎ ‎（2）由得；，又，‎ 所以m＜x＜3m 由得，即； ‎ 设或，或 若的充分不必要条件 则A是B 的真子集，所以解得∴‎ 故有.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假判断，训练了充分必要条件的判定方法及应用，是基础题．‎ ‎20.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；‎ ‎（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；‎ ‎（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：‎ 方案①：所有芒果以9元/千克收购；‎ 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．‎ 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．‎ 参考数据：．‎ ‎【答案】（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03‎ 这组数据的平均数 ‎．‎ ‎（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ； ‎ 从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，． ‎ 记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：‎ ‎，，，‎ 从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.‎ ‎（3）方案①收入：（元）； ‎ 方案②：低于250克的芒果收入为（元）；‎ 不低于250克的芒果收入为（元）；‎ 故方案②的收入为（元）．‎ 由于，所以选择方案②获利多．‎ ‎【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期和上的单调增区间：‎ ‎（2）若对任意和任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，通过正弦函数的单调性求解即可．‎ ‎（2）求出三角函数最值，通过n是偶数还是奇数，列出不等式求解m 的范围，推出结果．‎ ‎【详解】（1）函数 ‎,‎ 故的最小正周期． ‎ 由题意可知：，‎ 解得：，‎ 因为，所以的单调增区间为，.‎ ‎（2）由（1）得 ‎∵∴，‎ ‎∴，,‎ 若对任意的和恒成立，‎ 则最小值大于零．‎ 当为偶数时，，所以，‎ 当为奇数时，，所以，‎ 综上所述，的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式以及三角函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎22.已知等差数列的前n项和为，并且，数列满足：，‎ ‎，记数列的前n项和为．‎ ‎（1）求数列的通项公式及前n项和为；‎ ‎（2）求数列的通项公式及前n项和为；‎ ‎（3）求的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2），；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；‎ ‎（2）先得到，再利用累乘法，得到数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求出前n项和公式Tn；‎ ‎（3）根据函数的的单调性，得到不等式，n∈N+继而求实数λ的取值范围 ‎【详解】（1）设数列{an}的公差为d，‎ 由题意得，解得，‎ ‎∴an＝n，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由题意得，‎ 累乘得．‎ 由题意得①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得：‎ ‎∴‎ ‎（3）由上面可得，令，‎ 则f（1）＝1，，，，．‎ 下面研究数列的单调性，‎ ‎∵，‎ ‎∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．‎ 又n=1时，，n=2时，，即，‎ 所以n=3或n=2时，最大为，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、累乘法错位相减法求和，以及数列的单调性的研究与应用，属于中档题．‎ ‎ ‎