【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题17三视图学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题17三视图学案

专题十七 三视图 ‎【空间几何体的三视图】‎ 光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。  注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；  俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；  侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 ‎ ‎【画三视图的规则】‎ ‎①画三视图的规则是正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽．即正视图、侧视图一样高，正视图、俯视图一样长，俯视图、侧视图一样宽; ②画三视图时应注意：被挡住的轮廓线画成虚线，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示，尺寸线用细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计; ③对于简单的几何体，如一块砖，向两个互相垂直的平面作正投影，就能真实地反映它的大小和形状．一般只画出它的正视图和俯视图（二视图）．对于复杂的几何体，三视图可能还不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面．‎ ‎【柱体、椎体、台体的表面积与体积】‎ 柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）‎ 柱体、锥体、台体的体积公式：‎ ‎【常见几何体的三视图】‎ ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文6】‎ 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点】三视图 ‎【点拨】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ 答题思路 ‎【命题意图】考本类题主要以三视图为载体，通过还原几何体考查空间想象能力，通过体积和表面积的运算考查运算求解能力．‎ ‎【命题规律】高考对三视图的考查注意以以下几个方面为主：1、已知部分三视图，考查还原为原来立体图形的直观图；2、已知三视图，考查还原为立体图形的直观图并能计算表面积或体积；3、已知三视图，需要还原立体图形后求空间角或空间距离以及相关元素的位置关系4、以三视图为载体，考查还原后几何体的外接球或内切球问题．‎ ‎【答题模板】作答三视图问题一般考虑三个方向：‎ 一、三视图所对应几何体为简单几何体或经过旋转的简单几何体；‎ 二、由简单几何体进行切割或挖去部分几何体；‎ 三、由若干简单几何体组合．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．三视图 ‎(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”．‎ ‎(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．‎ ‎(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出．‎ ‎2．体积与表面积公式：‎ ‎(1)柱体的体积公式：；‎ 锥体的体积公式：；‎ 台体的体积公式：；‎ 球体的体积公式：．‎ ‎(2)球的表面积公式：．‎ 棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积．‎ ‎3．三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑． ‎ ‎（1） 如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式．‎ ‎（2） 如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可． ‎ ‎（3） 如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可． ‎ ‎4．三视图求表面积的时候解题步骤 ‎ ‎（1） 先利用原先判定的方法来判定立体几何图形到底是什么形状的，注意：如果是组合体的时候一定不要你忘了组合体重合的部分是要去掉的． ‎ ‎（2） 关键就是考到棱锥时候怎么还原棱锥的图． ‎ ‎1． 首先俯视图肯定是底面图形，关键是找到顶点在哪里 ‎ ‎2． 若底面图形内部有一条实线，则顶点投影一定在实线与底面图形边的交点上． ‎ ‎3． 若底面图形内部有多条实线，则顶点投影一定是几个实线的交点，根据投影点找出顶点即可，图形完成． ‎ ‎4． 若底面图形内部没有实线，则顶点的投影就在地面图形的边上面，具体在哪里结合主视图和左视图即可． ‎ ‎5． 若底面图形内部没有实线，则顶点的投影就在地面图形的边上面，并且主视图和侧视图都是直角三角形时候，则顶点的投影一定在底面图形的端点位置．‎ ‎1.【2017年高考北京卷，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是三棱锥，如图：‎ 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.‎ ‎【考点】1.三视图；2.几何体的体积.‎ ‎【点拨】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.‎ ‎2.【2017年高考山东卷，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以 ‎.‎ ‎【考点】三视图及几何体体积的计算.‎ ‎【点拨】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.‎ ‎(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．‎ ‎3．【2017年高考浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点】 三视图 ‎【点拨】思考三视图中·华.资*源%库 ziyuanku.com还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ ‎4．【2017广东佛山二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎5．【2017宁夏中卫二模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为7，则等于（ ）‎ A． 2 B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图知几何体是正方体削去一个角，‎ 如图:所以几何体体积，解得 ．故选B．‎ ‎【点拨】‎ 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ ‎6．【2017重庆二诊】如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中， ，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎7．【2017河北衡水中学押题卷】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ ，‎ 它的表面积是 ．‎ 本题选择A选项．‎ ‎【点拨】三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．‎ ‎8．【2017天津红桥区二模】某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值（ ）‎ A． 2 B． 3 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】原几何体为四棱锥，底面为直角梯形， ， ， ‎ ‎ 平面， ， ．选B．‎ ‎【点拨】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎9．【2017江西师范附属中学三模】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎10．【2017福建泉州考前模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎11．【2017黑龙江虎林最后冲刺】如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为，故选A．‎ ‎12．【2017湖南考前演练三】已知如图中的所有圆的半径都等于3，且该图形为某一空间几何体的三视图，则这个空间几何体的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎13．【2017安徽马鞍山三模】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ _．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，还原后的几何体是三棱柱截去阴影以上上面几何体，三棱柱的体积是，截去的三棱锥的体积是 ‎，剩下的几何体的体积是，故填： ．‎ ‎【点拨】本题考查了根据三视图还原几何体，求几何体的体积，考查了空间想象能力，一般还原不太规则的几何体时，灵活应用补形，将其放置于正方体或长方体，然后再对其进行分割得到几何体，如果是相对规则一些的，如果有三视图有2个三角形，一般就是锥体，有两个矩形，一般就是柱体，如果有圆，两个圆一般就是球，一个圆就考查球，圆锥或圆柱．还有一些几何体，顶点在底面的射影落在了底面多边形的外边，做题时需考虑到这种情况．‎ ‎14.【2016年高考全国Ⅰ卷，文7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 ‎（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．‎ ‎【考点】三视图及球的表面积与体积 ‎【点拨】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅱ卷，文7】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎【答案】C ‎【考点】 三视图，空间几何体的体积 ‎【点拨】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅲ卷，文10】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体是斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B．‎ ‎【考点】空间几何体的三视图及表面积 ‎【点拨】对于求解多面体的表面积及体积的题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．‎ ‎17.【2016年高考北京卷，文11】）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为 ‎【考点】三视图 ‎【点拨】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.‎ ‎18.【2016年高考天津卷，文3】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选B.‎ ‎【考点】三视图 ‎【点拨】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎19.【2016年高考山东卷，文5】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ‎ ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【考点】三视图，几何体的体积 ‎【点拨】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查考生的识图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.‎ ‎20．【2016年高考四川卷，文12】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】三视图，几何体的体积 ‎【点拨】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．‎ ‎21．【2016年高考浙江卷9】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是______cm3.‎ ‎【答案】80，40‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， ‎ ‎，．‎ ‎【考点】三视图.‎ ‎【点拨】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．‎