2017年高考试题——数学理(北京卷)原卷版

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2017年高考试题——数学理(北京卷)原卷版

绝密★本科目考试启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合 A={x|–2 x 1},B={x|x –1 或 x 3},则 A B= (A){x|–2 x –1} (B){x|–2 x 3} (C){x|–1 x 1} (D){x|1 x 3} (2)若复数(1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是 (A)(–∞,1) (B)(–∞,–1) (C)(1,+∞) (D)(–1,+∞) (3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (A)2 (B) (C) (D) (4)若 x,y 满足 则 x + 2y 的最大值为 (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 3 2 5 3 8 5 3 2 x x y y x       , , , (5)已知函数 ,则 (A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数 (6)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ,使得 ”是“ ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 (A)3 (B)2 (C)2 (D)2 (8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是 (参考数据:lg3≈0.48) (A)1033 (B)1053 (C)1073 (D)1093 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若双曲线 的离心率为 ,则实数 m=_________. 1( ) 3 ( )3 x xf x   ( )f x  m n 0<m n 2 3 2 M N 2 2 1yx m  3 (10)若等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=–1,a4=b4=8,则 =_______. (11)在极坐标系中,点 A 在圆 上,点 P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小 值为___________. (12)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 ,则 =___________. (13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 ______________________________. (14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数,点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时 间和加工的零件数,i=1,2,3. ①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3 中最大的是_________. ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3 中最大的是_________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题 13 分) 在△ABC 中, =60°,c= a. (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)若 a=7,求△ABC 的面积. (16)(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD,点 M 在线段 PB 上,PD// 平面 MAC,PA=PD= ,AB=4.  na  nb 2 2 a b 2 2 cos 4 sin 4 0        1sin 3  cos( )  A 3 7 6 (I)求证:M 为 PB 的中点; (II)求二面角 B-PD-A 的大小; (III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值. (17)(本小题 13 分) 为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段 时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者. (Ⅰ)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率; (Ⅱ)从图中 A,B,C,D 四人中随机学科网.选出两人,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数, 求 的分布列和数学期望 E( ); (Ⅲ)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论) (18)(本小题 14 分) 已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点(0, )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N,过 点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.    1 2 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段 BM 的中点. (19)(本小题 13 分) 已知函数 f(x)=excosx−x. (Ⅰ)求曲线 y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. (20)(本小题 13 分) 设 和 是两个等差数列,记 , 其中 表示 这 个数中最大的数. (Ⅰ)若 , ,求 的值,并证明 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数 ,存在正整数 ,当 时, ;或者存在正整数 ,使得 是等差数列. π 2 { }na { }nb 1 1 2 2max{ , , , }n n nc b a n b a n b a n     ( 1,2,3, )n   1 2max{ , , , }sx x x 1 2, , , sx x x s na n 2 1nb n  1 2 3, ,c c c { }nc M m n m nc Mn  m 1 2, , ,m m mc c c   2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷)答案 一、 (1)A (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)B (8)D 二、 (9)2 (10)1 (11)1 (12) (13) (答案不唯一) (14)Q1 p2 三、 (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)在△ABC 中,因为 , , 所以由正弦定理得 . (Ⅱ)因为 ,所以 . 由余弦定理 得 , 解得 或 (舍). 所以△ABC 的面积 . (16)(共 14 分) 解:(I)设 交点为 ,连接 . 因为 平面 ,平面 平面 ,所以 . 因为 是正方形,所以 为 的中点,所以 为 的中点. (II)取 的中点 ,连接 , . 因为 ,所以 . 7 9 1, 2, 3   60A   3 7c a sin 3 3 3 3sin 7 2 14 c AC a    7a  3 7 37c    2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 17 3 2 3 2b b     8b  5b   1 1 3sin 8 3 6 32 2 2S bc A      ,AC BD E ME PD∥ MAC MAC  PBD ME PD ME∥ ABCD E BD M PB AD O OP OE PA PD OP AD 又因为平面 平面 ,且 平面 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 . 因为 是正方形,所以 . 如图建立空间直角坐标系 ,则 , , , , . 设平面 的法向量为 ,则 ,即 . 令 ,则 , .于是 . 平面 的法向量为 ,所以 . 由题知二面角 为锐角,所以它的大小为 . (III)由题意知 , , . 设直线 与平面 所成角为 ,则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . (17)(共 13 分) 解:(Ⅰ)由图知,在服药的 50 名患者中,指标 的值小于 60 的有 15 人, 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 的值小于 60 的概率为 . (Ⅱ)由图知,A,B,C,D 四人中,指标 的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. PAD  ABCD OP  PAD OP  ABCD OE  ABCD OP OE ABCD OE AD O xyz (0,0, 2)P (2,0,0)D ( 2,4,0)B  (4, 4,0)BD   (2,0, 2)PD   BDP ( , , )x y zn 0 0 BD PD        n n 4 4 0 2 2 0 x y x z     1x  1y  2z  (1,1, 2)n PAD (0,1,0)p 1cos , | || | 2  < > n pn p n p B PD A  3  2( 1,2, )2M  (2,4,0)D 2(3,2, )2MC   MC BDP  | | 2 6sin | cos , | 9| || | MCMC MC      < > nn n MC BDP 2 6 9 y y 15 0.350  x  . 所以 的分布列为 0 1 2 故 的期望 . (Ⅲ)在这 100 名患者中,服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差. (18)(共 14 分) 解:(Ⅰ)由抛物线 C: 过点 P(1,1),得 . 所以抛物线 C 的方程为 . 抛物线 C 的焦点坐标为( ,0),准线方程为 . (Ⅱ)由题意,设直线 l 的方程为 ( ),l 与抛物线 C 的交点为 , . 由 ,得 . 则 , . 因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 ,点 A 的坐标为 . 直线 ON 的方程为 ,点 B 的坐标为 . 因为 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 C C C C1 2 1( 0) , ( 1) , ( 2)C 6 C 3 C 6P P P             P 1 6 2 3 1 6  1 2 1( ) 0 1 2 16 3 6E         y y 2 2y px 1 2p  2y x 1 4 1 4x   1 2y kx  0k  1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2y kx y x      2 24 (4 4) 1 0k x k x    1 2 2 1 kx x k   1 2 2 1 4x x k y x 1 1( , )x y 2 2 yy xx 2 1 1 2 ( , )y yx x 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22y y y y y y x xy xx x     1 2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x x      1 2 2 1 2 1(2 2) ( )2k x x x x x     , 所以 . 故 A 为线段 BM 的中点. (19)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 ,所以 . 又因为 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 . (Ⅱ)设 ,则 . 当 时, , 所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ,即 . 所以函数 在区间 上单调递减. 因此 在区间 上的最大值为 ,最小值为 . (20)(共 13 分) 解:(Ⅰ) , . 当 时, , 所以 关于 单调递减. 所以 . 所以对任意 ,于是 , 2 2 2 1 1(2 2) 4 2 kk k k x     0 2 1 1 1 2 2y yy xx  ( ) e cosxf x x x  ( ) e (cos sin ) 1, (0) 0xf x x x f     (0) 1f  ( )y f x (0, (0))f 1y  ( ) e (cos sin ) 1xh x x x   ( ) e (cos sin sin cos ) 2e sinx xh x x x x x x       π(0, )2x ( ) 0h x  ( )h x π[0, ]2 π(0, ]2x ( ) (0) 0h x h  ( ) 0f x  ( )f x π[0, ]2 ( )f x π[0, ]2 (0) 1f  π π( )2 2f   1 1 1 1 1 0,c b a     2 1 1 2 2max{ 2 , 2 } max{1 2 1,3 2 2} 1c b a b a          3 1 1 2 2 3 3max{ 3 , 3 , 3 } max{1 3 1,3 3 2,5 3 3} 2c b a b a b a             3n  1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 0k k k k k k k kb na b na b b n a a n             k kb na *k N 1 1 2 2 1 1max{ , , , } 1n n nc b a n b a n b a n b a n n        1, 1nn c n   1 1n nc c    所以 是等差数列. (Ⅱ)设数列 和 的公差分别为 ,则 . 所以 ①当 时,取正整数 ,则当 时, ,因此 . 此时, 是等差数列. ②当 时,对任意 , 此时, 是等差数列. ③当 时, 当 时,有 . 所以 对任意正数 ,取正整数 , 故当 时, . { }nc { }na { }nb 1 2,d d 1 2 1 1 1 1 2 1( 1) [ ( 1) ] ( )( 1)k kb na b k d a k d n b a n d nd k            1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( 1)( ), ,n b a n n d nd d ndc b a n d nd         当 时, 当 时, 1 0d  2 1 dm d n m 1 2nd d 1 1nc b a n  1 2, , ,m m mc c c   1 0d  1n  1 1 2 1 1 2 1( 1)max{ ,0} ( 1)(max{ ,0} ).nc b a n n d b a n d a         1 2 3, , , , ,nc c c c  1 0d  2 1 dn d 1 2nd d 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 ( 1)( ) ( )nc b a n n d nd b dn d d a dn n n            1 1 1 2 1 2( ) | |.n d d a d b d       M 1 2 1 1 2 2 1 1 | |max{ , }M b d a d d dm d d       n m nc Mn 
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