数学（理）卷·2018届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试（2017

数学（理）卷·2018届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试（2017

吉林省实验中学2017-2018学年度上学期 高三年级第四次月考数学（理科）试题 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝(　　)‎ A．{x|0＜x＜} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|＜x＜1}‎ ‎2. “(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ （第3题） （第4题）‎ ‎5. 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎6. 已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ A．5 B．4 C. D．2‎ ‎7. 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2019)等于(　　)‎ A．2 B．3 C．－2 D．－3‎ ‎8. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数 的图像，若对满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知数列为等比数列，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在中,角所对的边分别为，若 ，则当角 取得最大值时， 的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且错误！未找到引用源。则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数，如果存在实数，其中，使得 ‎，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎13. 已知定义在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.‎ ‎14. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N)，记数列{an}的前n项和为Sn,则S100＝ ．‎ ‎15. 已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P－ABC的侧面积的最大值为________。‎ ‎16. 在 且错误！未找到引用源。，函数的最小值为，则的最小值为______ .‎ 三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.‎ ‎(1)求cosB的值.‎ ‎(2)若错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=2，且b=2错误！未找到引用源。，求a和c的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为等边三角形，，为的中点．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。‎ ‎(1)求Sn的表达式；‎ 错误！未找到引用源。.‎ 错误！未找到引用源。.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线..‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 函数， .‎ ‎(1)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)若对， 恒成立，求整数的最大值.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-45：参数方程极坐标选讲 以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B B C C B A D C C C A ‎13.【答案】0 14. 【答案】错误！未找到引用源。 15.【答案】：18 16.【答案】：错误！未找到引用源。‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.‎ ‎(1)求cosB的值.‎ ‎(2)若错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=2，且b=2错误！未找到引用源。，求a和c的值.‎ 由b2=a2+c2-2accosB，可得a2+c2=12，‎ 所以(a-c)2=0，即a=c，所以a=c=错误！未找到引用源。.‎ ‎18．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。‎ ‎(1)求Sn的表达式；‎ ‎(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn。‎ ‎①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，‎ ‎∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列。 ‎ ‎∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝。‎ ‎19.如图，在四棱锥中， 底面为等边三角形，，为的中点．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1) AB＝1；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）连接AC, 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为PB⊥BC，，所以BC⊥底面PAB，因为平面PAB，所以AB⊥BC，因为△BCD为等边三角形，所以∠ABD＝30°．又已知AB＝AD，BD＝，可得AB＝1． ‎ ‎（Ⅱ）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系．P(0，1，)，C(，0，0)，E(，，)，D(，，0)．由题意可知平面PAB的法向量为m＝(1，0，0)．‎ 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则即则n＝(3，－，－2)．‎ cosám，nñ＝＝．所以平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值． ‎ ‎20.已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线..‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）设， ，则， .‎ 因为点， 都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明 ，即可得结论.‎ 试题解析：（1）由题意得，则.‎ 由椭圆与圆： 的公共弦长为，其长度等于圆的直径，‎ 可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：设， ，则， .‎ 因为点， 都在椭圆上，所以所以 ‎ ‎，‎ 即.又 ，‎ 所以，即，所以所以 又 ，所以，所以， ， 三点共线.‎ ‎21.函数， .‎ ‎(1)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)若对， 恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，从而可得， ，利用点斜式可得结果；（2）对， 恒成立等价于对恒成立，利用导数研究函数的单调性，结合为正数这一条件可得结果.‎ 试题解析：(1)由得，‎ 当时， ， ， ，求得切线方程为.‎ ‎(2)若对， 恒成立等价于对恒成立，‎ 设函数，则， ‎ 再设函数，则.∵， ，即在上为增函数，‎ 又， ，所以存在，使得，‎ ‎∴当时， ，即，故在上递减；‎ 当时， ，即，故在上递增.‎ ‎∴的最小值为.‎ 由得.所以，‎ 所以，又，故整数的最大值为3.‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, ‎ 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.‎ ‎（1）直线的普通方程为：，C的直角坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线的参数方程是过点的标准参数方程，因此把直线参数方程代入圆的直角坐标方程，方程的解，则，由韦达定理可得．‎ 试题解析：（1）直线的普通方程为：， ‎ ‎，所以．‎ 所以曲线C的直角坐标方程为（或写成）．. ‎ ‎（2）点P（2，1）在直线上，且在圆C内，把代入,得,设两个实根为,则，即异号.‎ 所以.‎ 考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应 ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值几何意义得，再根据绝对值定义得,即得不等式解集，（2）原命题等价于，利用绝对值三角不等式求值域： 而，所以，再根据绝对值定义求不等式解集得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由，得，‎ 得解集为.‎ ‎（2）因为任意，都有，使得成立，所以，‎ 又，‎ 所以，解得或，所以实数的取值范围为或.‎