数学卷·2017届上海市静安区高三下学期期中考试（二模）（2017

数学卷·2017届上海市静安区高三下学期期中考试（二模）（2017

上海市静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测 ‎ 高三数学试卷 2017.04‎ 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．‎ 一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．已知集合，，则________．‎ ‎2．若实数，满足约束条件则的最大值等于________．‎ ‎3．已知展开式中的系数为84，则正实数的值为 .‎ ‎4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．‎ ‎5．设为R上的奇函数．当时， (为常数)，则的值为________．‎ ‎6．设分别为直线（为参数）和曲线：（为参数）的点，则的最小值为 ．‎ ‎7．各项均不为零的数列的前项和为． 对任意，‎ 都是直线的法向量．若存在，则实数的取值范围是________．‎ ‎8．已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的余弦值是________．‎ ‎9．设，若对于任意的，都有，则的取值范围是________．‎ ‎10．若适合不等式的的最大值为3，则实数的值为_______．‎ ‎11．已知，数列满足，对于任意都满足，且，若，则的值为_________．‎ 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎12．已知则“”是“”的（ ）．‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎13．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）．‎ ‎ A． B．－1 C．1 D．－【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎14．当时，方程的根的个数是（ ）．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎15．曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）．‎ ‎（1）曲线一定经过原点；‎ ‎（2）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；‎ ‎（3）的面积不大于8；‎ ‎（4）曲线在一个面积为60的矩形范围内．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．‎ ‎16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）‎ 如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周．‎ ‎（1）求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；‎ ‎（2）设逆时针旋转至，旋转角为，且满足，求．‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ 设函数．‎ ‎（1）求函数的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）设、、为的三个内角，若，，求．‎ ‎18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）‎ 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．‎ ‎（1）求前8个月的累计生产净收入的值；‎ ‎（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．‎ ‎19．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）‎ 设点、是平面上左、右两个不同的定点，，动点满足：‎ ‎．‎ ‎（1）求证：动点的轨迹为椭圆；‎ ‎（2）抛物线满足：①顶点在椭圆的中心；②焦点与椭圆的右焦点重合．‎ 设抛物线与椭圆的一个交点为．问：是否存在正实数，使得的边长为连续自然数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）‎ 已知等差数列的前项和为，，为整数，且对任意都有．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，（），求的前项和；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若数列满足．是否存在实数，使得数列是单调递增数列．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测 高三数学试卷评分标准与答案 一、1．； 2．12； 3．2；‎ ‎4．； 5． 6．；‎ ‎7．； 8．； 9．‎ ‎10．8； 11．．‎ 二、12．A； 13．C； 14．C； 15．B．‎ 三、x y z 16．解：（1）;﹒﹒﹒3分 ‎﹒﹒3分 ‎（2）如图建立空间直角坐标系，得 ‎，，‎ 由三角比定义，得﹒﹒﹒﹒1分 则，，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ‎，得，， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎16．解：（1）因为 ‎ ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分 ‎ ， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，函数的最大值为，最小正周期． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ‎（2）由，得，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 解得，或（舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 因此，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ‎18．解：（1）据题意，解得，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 第5个月的净收入为万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ‎（2）‎ 即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 要想投资开始见效，必须且只需 即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 当时，‎ 即不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 当时，即，﹒﹒﹒﹒2分 验算得，时，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎19．解：（1）若点构成三角形则 ‎，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ‎．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得，即．1分 若点不构成三角形，也满足．1分 所以动点的轨迹为椭圆．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎（2）动点的轨迹方程为． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 抛物线的焦点坐标为与椭圆的右焦点重合．‎ 假设存在实数，使得的边长为连续自然数．‎ 因为，‎ 不妨设|，． ﹒﹒﹒﹒﹒2分 由抛物线的定义可知，解得，﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎ 设点的坐标为，‎ ‎ ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得，解得或．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以存在实数，使得的边长为连续自然数．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎20．解：（1）设的公差为，由题意得，﹒ ﹒﹒﹒2分 ‎ ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎（2）当为偶数时，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎① 当为奇数时，‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 当时也符合上式． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 ‎② 当为偶数时， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ‎ ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ‎（3）‎ 由题意得，对任意都成立，‎ ① 当为奇数时，，‎ 当时，，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 ① 当为偶数时，，‎ 当2时，，．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 综上：．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分