河北省衡水市冀州中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

河北省衡水市冀州中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

‎2019—2020 学年度上学期期中考试 高三年级理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.‎ ‎【详解】根据题意：集合，集合，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,所以复数的共轭复数为,故选B.‎ 考点：复数的运算与相关概念.‎ ‎3.已知平面向量满足，，且与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 与垂直，，，与的夹角为，故选D.‎ ‎4.下列命题中，说法正确的个数是（ ）‎ ‎（1）若pq为真命题，则p，q均为真命题 ‎（2）命题“∃x0∈R，‎0”‎的否定是“∀x∈R，2x‎0”‎ ‎（3）“”是“∀x∈[1，2]，x2﹣恒成立”的充分条件 ‎（4）在△ABC中，“”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件 ‎（5）命题“若x2＝1，则x＝‎1”‎的否命题为：“若x2＝1，则x≠‎‎1”‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据真值表判断,(2)(3)(4)根据充分必要条件的用法以及特称全称量词的用法进行判断(5)根据否命题的形式判断即可.‎ ‎【详解】对(1),pq为真命题只需p,q中一真即可满足,故(1)不正确.(2)正确.‎ 对(3),“∀x∈[1,2],x2﹣恒成立”,则恒成立,即,又为的充分条件,故(3)正确.‎ 对(4),三角形正弦定理 ,故,即“”是“sinA＞sinB”的充要条件,故(4)错误.‎ 对(5),命题“若x2＝1,则x＝‎1”‎的否命题为：“若,则x≠‎1”‎,故 (5)错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断,充分必要条件的关系以及否命题,属于基础题型.‎ ‎5.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 详解：因为函数是奇函数，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 化简可得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎6.已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式整理出；由三角函数图象的平移得，由图象关于轴对称，知函数为偶函数，则，，进一步得到的最小值．‎ ‎【详解】由题意得：‎ 将图象上所有点的横坐标缩小到原来的得：‎ 所有点向右平移个单位长度得：‎ 关于轴对称 函数为偶函数 ‎， ，‎ ‎ 当时，的最小值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数图象的性质，关键是根据函数关于轴对称可得函数为偶函数，属中档题.‎ ‎7.已知，函数在区间上单调递减, 则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当，单调递减，故 所以，，所以.‎ 考点：三角函数的单调性.‎ ‎8.已知双曲线C：（a＞b＞0）两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为 A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】依题意，不妨设点在第一象限，‎ 联立解得（其中），‎ 可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，‎ 即，又因为，‎ 所以可得，‎ 解得（舍去），‎ 故所求渐近线方程为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.‎ ‎9.若函数在上单调递增，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对恒成立，‎ 故，即恒成立，‎ 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．‎ ‎【考点】三角变换及导数的应用 ‎【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，连接，构造矩形 ‎；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率。‎ ‎【详解】‎ 设左焦点为， ，连接 ‎ 则 ， ， ， ‎ 因为，且经过原点 所以四边形 为矩形 在Rt△中， ，代入 ‎ ‎ 化简得 ‎ 所以在Rt△中，，代入 ‎ ‎ 化简得 ，即 ‎ 所以选B ‎【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题。‎ ‎11.已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.‎ ‎【详解】令，则当时，，‎ 又，所以为偶函数， ‎ 从而等价于，‎ 因此选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎12.已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由得。‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减。‎ ‎∴当时，有最大值，且，‎ 且x→+∞时，f(x)→0；x→0时，x→−∞；f(1)=0。‎ 故在(0,1)上，，在(1,+∞)上，，‎ 作出函数f(x)的图象如下：‎ ‎①当时，由得，解集为(0,1)∪(1,+∞)，‎ 所以不等式的整数解有无数多个，不合题意；‎ ‎②当时，由得或。‎ 当时，解集为(1,+∞)，有无数个整数解；‎ 当时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。‎ 故不合题意。‎ ‎③当时，由得或，‎ 当时，解集为(0,1)，不含有整数解；‎ 当时，由条件知只有一个整数解。‎ ‎∵在上单调递增，在上单调递减，‎ 而，‎ ‎∴满足条件的整数解只能为3，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 综上，选D。‎ 点睛：函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用 ‎ ‎（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；‎ ‎（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；‎ ‎（3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知点P（x，y）是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用抛物线的定义得,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去半径即可转换题目中的条件分析.‎ ‎【详解】画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.‎ 又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.‎ 又当为线段与抛物线的交点时取最小值,‎ 此时 ‎【点睛】(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离.‎ ‎(2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系.‎ ‎14.已知为第二象限角，若，则___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，求得，又由为第二象限角，求得，再由诱导公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可知，即，解得，‎ 又由为第二象限角，所以，‎ 又由.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得的值，进而利用诱导公式代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15.过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为_____．‎ ‎【答案】2x﹣4y+3＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大,此时直线l与直线垂直,即可算出的斜率求得直线l的方程.‎ ‎【详解】由题得,当∠ACB最小时,直线l与直线垂直,此时 ,又,故,又直线l过点,所以,即 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.‎ ‎16.已知函数，若对任意 恒成立，则实数的取值范围是 _________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,令，利用导数求出的最大值，从而可得结果.‎ ‎【详解】,令，‎ 则，‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递增，在单调递减，‎ 的最大值为，‎ 则，即实数的取值范围是 ，‎ 故答案为,‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在中，角的对边分别是，若．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）-1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由正弦定理得：，化为，由于，所以，最后得；（2）先由且得，再由余弦定理得，，进而得．‎ 试题解析：（1）∵，由正弦定理得：，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴∴，又∴．‎ ‎（2）∵，的面积为，∴∴，‎ ‎，即，，‎ ‎∴．‎ 考点：1、正弦余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦公式及平面向量的数量积公式．‎ ‎18.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；‎ ‎(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足，且，求bc的值．‎ ‎【答案】（1）f(x)的最小正周期为T＝，f(x)的单调递减区间为（2）40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用二倍角公式和辅助角公式得到，再利用三角函数的周期公式和单调性进行求解；（2）先利用求得角，再利用正弦定理和余弦定理进行求解．‎ ‎【详解】(1)，‎ 因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎．‎ 即f(x)的单调递减区间为．‎ ‎(2)由，又A为锐角，则A＝.‎ 由正弦定理可得，‎ 则b＋c＝＝13，‎ 又，可求得bc＝40.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及三角恒等变换，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．解决本题的关键在于恰当利用正弦定理的变形进行边角转化，正弦定理“（是外接圆的直径）”的变形主要有：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）.‎ ‎19.已知抛物线C：x2＝2y，过点（－2，4）且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．‎ ‎ （1）若k＝2，求｜MN｜的值；‎ ‎ （2）记直线l1：x－y＝0与直线l2：x＋y－4＝0的交点为A，求kAM·kAN的值．‎ ‎【答案】（1）20；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立得，由韦达定理与弦长公式可得结果；（2）求得，‎ 设直线的方程为：，联立抛物线消去得，‎ 由斜率公式求得，，利用韦达定理化简可得.‎ ‎【详解】（1）依题意，直线：，‎ 联立故，‎ 设，‎ 则，，‎ 故.‎ ‎（2）联立解得，故，‎ 设直线的方程为：，，，‎ 所以联立抛物线与直线的方程消去得，‎ 则，，‎ ‎，‎ 可得，，代入可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.‎ ‎【详解】（1）面积的最大值为，则：‎ 又，，解得：，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形 设，，线段的中点为 由，消去可得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 依题意有，‎ 由可得：，可得：‎ 由可得：‎ ‎，‎ 代入上式化简可得：‎ 则：，解得：‎ 当时，点满足题意；当时，点满足题意 故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；‎ ‎（2）当函数有两个极值点且时，总有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），为极大值点（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；‎ ‎（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1]＞0，根据0＜x1＜1时，0.1＜x1＜2时，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ），，则 从而，所以时，，为增函数；‎ 时，，为减函数，所以为极大值点.‎ ‎（Ⅱ）函数的定义域为，有两个极值点 ‎，，则在上有两个不等的正实根，所以，‎ 由可得 从而问题转化为在，且时成立.‎ 即证成立.‎ 即证 即证 亦即证 . ①‎ 令则 ‎1)当时，，则在上为增函数且，①式在上不成立.‎ ‎2)当时，‎ 若，即时，，所以在上为减函数且，‎ ‎、在区间及上同号，故①式成立.‎ 若，即时，的对称轴，‎ 令，则时，，不合题意.‎ 综上可知：满足题意.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，‎ ‎）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得 ‎，即 ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：‎ 设是方程根，则：，‎ ‎∴‎ ‎，又 ‎ 或 ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．‎ ‎23.已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2．‎ ‎（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）g（x）的解集：‎ ‎（2）设，且当x∈[﹣a，），f（x）≥g（x），求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时对进行分类讨论去掉绝对值符号,再每种情况下分别解出不等式的解集即可.‎ ‎(2)根据的范围化简,将问题转化不等式中的恒成立问题即可.‎ ‎【详解】当时,,‎ ‎①当时,此时,即．‎ 解得故；‎ ‎②当时,,此时,即恒成立．‎ 此时解即为；‎ ‎③当时,,此时,即．‎ 解得故．‎ 综上所述,可得不等式的解集为：．‎ 由题意,,,‎ 则．‎ 此时在上恒成立．‎ 即在上恒成立．令,很明显在上单调递增．‎ ‎．．‎ 故a的取值范围为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查解绝对值不等式和不等式中的恒成立问题,同时也考查了分类讨论的思想,属于中等难度问题.‎ ‎ ‎