2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第三章 第2节第1课时 导数与函数的单调性
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多维层次练17
[A级 基础巩固]
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足．
答案：D
2．(多选题)设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论错误的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增
B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减
C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10
D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点
解析：易知f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
所以f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上递增，在(－2，2)上单调递减．
因此A项，B项都不正确．
易求f′(－2)＝0，当b＝－6时，f(x)在x＝－2处的切线为y＝10，C正确．
作出函数f(x)＝x3－12x(b＝0)与y＝10的图象，有三个交点，D
不正确．
答案：ABD
3．(2020·深圳中学调研)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(0，3]
解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以f′(x)≤0在[a－1，a＋1]上恒成立，即0
0时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a0时，xf′(x)－f(x)<0，
所以g′(x)<0.
所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，
又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)，
所以g(3)0)．
令y′>0，得1－ln x>0，所以00时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
解析：因为当x>0时，′＝<0，
所以φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，
所以在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．
答案：(－∞，－2)∪(0，2)
9．已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)由已知得f′(x)＝2＋(x>0)，f′(1)＝2＋1＝3，所以切线斜率k＝3，
又切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝3(x－1)，
即3x－y－1＝0，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－1＝0.
(2)由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.
在区间上，f′(x)>0，在区间上，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
10．设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0.
(1)解：由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.
当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，即ex－1>x，
从而g(x)＝－＝>0.
[B级 能力提升]
11．(2020·雅礼中学质检)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.
由题设，f′(x)≤0在R上恒成立，
因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.
答案：[3，＋∞)
12．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为________．
解析：f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，
所以f ＝f(－ln x)＝f(ln x)．
则原不等式可变形为f(ln x)0，得x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以|ln x|<1⇔－12时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当10时恒成立，
所以a≤(x2－2x)＝(x－1)2－恒成立．
令φ(x)＝(x－1)2－，x∈(0，＋∞)，则其最小值为－.
所以当a≤－时，g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．
又当a＝－时，g′(x)＝，
当且仅当x＝1时，g′(x)＝0.
故当a∈时，g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增．
[C级 素养升华]
14．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．则m＝________，f(x)的单调递减区间为________．
解析：由f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①
又g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n为偶函数，
所以2m＋6＝0，即m＝－3.②
代入①式，得n＝0，
所以f(x)＝x3－3x2－2，则f′(x)＝3x2－6x，
令f′(x)<0，得0
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