2021高考数学人教版一轮复习多维层次练:第三章 第2节第1课时 导数与函数的单调性

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2021高考数学人教版一轮复习多维层次练:第三章 第2节第1课时 导数与函数的单调性

www.ks5u.com 多维层次练17‎ ‎[A级 基础巩固]‎ ‎1.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是(  )‎ 解析:由函数f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上,f′(x)>0;在(0,+∞)上,f′(x)<0,选项D满足.‎ 答案:D ‎2.(多选题)设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论错误的是(  )‎ A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增 B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减 C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为y=10‎ D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点 解析:易知f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),‎ 所以f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上递增,在(-2,2)上单调递减.‎ 因此A项,B项都不正确.‎ 易求f′(-2)=0,当b=-6时,f(x)在x=-2处的切线为y=10,C正确.‎ 作出函数f(x)=x3-12x(b=0)与y=10的图象,有三个交点,D 不正确.‎ 答案:ABD ‎3.(2020·深圳中学调研)设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,2] B.[4,+∞)‎ C.(-∞,2] D.(0,3]‎ 解析:易知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.‎ 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以f′(x)≤0在[a-1,a+1]上恒成立,即00时,xf′(x)-f(x)<0,若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是(  )‎ A.a0时,xf′(x)-f(x)<0,‎ 所以g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数.‎ 由f(x)为奇函数,知g(x)为偶函数,则g(-3)=g(3),‎ 又a=g(e),b=g(ln 2),c=g(-3)=g(3),‎ 所以g(3)0).‎ 令y′>0,得1-ln x>0,所以00时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是________.‎ 解析:因为当x>0时,′=<0,‎ 所以φ(x)=在(0,+∞)上为减函数,又φ(2)=0,‎ 所以在(0,+∞)上,当且仅当00,‎ 此时x2f(x)>0.‎ 又f(x)为奇函数,所以h(x)=x2f(x)也为奇函数.‎ 故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).‎ 答案:(-∞,-2)∪(0,2)‎ ‎9.已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R).‎ ‎(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ 解:(1)由已知得f′(x)=2+(x>0),f′(1)=2+1=3,所以切线斜率k=3,‎ 又切点坐标为(1,2),所以切线方程为y-2=3(x-1),‎ 即3x-y-1=0,‎ 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-1=0.‎ ‎(2)由已知得f′(x)=a+=(x>0),‎ ‎①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,‎ 所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).‎ ‎②当a<0时,由f′(x)=0,得x=-.‎ 在区间上,f′(x)>0,在区间上,f′(x)<0,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎10.设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)证明:当x>1时,g(x)>0.‎ ‎(1)解:由题意得f′(x)=2ax-=(x>0).‎ 当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.‎ 当a>0时,由f′(x)=0有x=,‎ 当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.‎ ‎(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1.‎ 当x>1时,s′(x)>0,所以s(x)>s(1),即ex-1>x,‎ 从而g(x)=-=>0.‎ ‎[B级 能力提升]‎ ‎11.(2020·雅礼中学质检)已知函数f(x)=sin 2x+4cos x-ax在R上单调递减,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:f′(x)=2cos 2x-4sin x-a=2(1-2sin2x)-4sin x-a=-4sin2x-4sin x+2-a=-(2sin x+1)2+3-a.‎ 由题设,f′(x)≤0在R上恒成立,‎ 因此a≥3-(2sin x+1)2恒成立,则a≥3.‎ 答案:[3,+∞)‎ ‎12.已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f <2f(1)的解集为________.‎ 解析:f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数,‎ 所以f =f(-ln x)=f(ln x).‎ 则原不等式可变形为f(ln x)0,得x>0时,f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 所以|ln x|<1⇔-12时,f′(x)>0,f(x)单调递增;‎ 当10时恒成立,‎ 所以a≤(x2-2x)=(x-1)2-恒成立.‎ 令φ(x)=(x-1)2-,x∈(0,+∞),则其最小值为-.‎ 所以当a≤-时,g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.‎ 又当a=-时,g′(x)=,‎ 当且仅当x=1时,g′(x)=0.‎ 故当a∈时,g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎[C级 素养升华]‎ ‎14.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.则m=________,f(x)的单调递减区间为________.‎ 解析:由f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3.①‎ 又g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n为偶函数,‎ 所以2m+6=0,即m=-3.②‎ 代入①式,得n=0,‎ 所以f(x)=x3-3x2-2,则f′(x)=3x2-6x,‎ 令f′(x)<0,得0
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