2017-2018学年黑龙江省富锦第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年黑龙江省富锦第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

富锦一中2017-2018学年度第二学期期中考试 数学试卷 文科 ‎ ‎ 命题人 张翠娟 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.‎ ‎1. 已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（　　）‎ A．(2，) B．(2，) C．(2，－) D．(2，－)‎ ‎3. 设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）‎ A．1，4+a B．1+a，4+a C．1，4 D．1+a，4‎ ‎4.下列命题中，真命题是( )‎ A．存在 B．是的充分条件 C．任意 D．的充要条件是 ‎5.若a，b∈{﹣1，0，1，2}，则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的 概率为（ ）A. B. C. D. ‎ ‎8.已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎9.运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为（　　）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎10某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A．40 B．39 C．38 D．37‎ ‎11.极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）‎ ‎13.函数的最小值是________．‎ ‎14.参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为　　．‎ ‎15.已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 ；‎ ‎16.已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是　　‎ 三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其他每题各12分，共70分）‎ ‎17.设函数 （1） 解不等式；(2)求函数的最小值。‎ ‎18.在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．‎ ‎（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．‎ ‎19某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程．‎ ‎（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？‎ 参数数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是 ‎20．某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ 区间 ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50]‎ 人数 ‎50‎ ‎50‎ a ‎150[]‎ b ‎（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；‎ ‎（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．‎ ‎21已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎22设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；‎ ‎（Ⅲ）证明：f（x）≤2x﹣2．‎ ‎1.A 2.C 3D 4.B 5C 6.D 7.A 8.C 9.C 10.B 11C 12A ‎13. 14.（1，0） 15. 16.a≥3‎ ‎ 17（1）‎ 时，‎ 时，‎ 时，综上，‎ ‎（2）时，‎ 时，‎ 时，综上，‎ ‎18.1）由曲线C的极坐标方程可得，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y 点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135°，所以直线l的参数方程为为参数）．‎ ‎（2）将为参数）代入x2+y2=2x+2y，有，‎ 设A，B对应参数分别为t1，t2，有，根据直线参数方程t的几何意义有，|PA|2+|PB|2=．‎ ‎ 19解：（I）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．‎ ‎（II）∵==5，==5，‎ ‎2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，22+42+52+62+82=145‎ ‎∴b==0.65 ∴a=﹣b=5﹣0.65×5=1. 75‎ ‎∴回归直线方程为y=0.65x+1.75‎ ‎（III）当x=10时，预报y的值为y=10×0.65+1.75=8.25．即销售额为82.5万元 ‎20.解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图可得，平均年龄为=（ 27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5，‎ 估计中位数为：35+=35.75，‎ ‎（III）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，‎ 利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： ‎ 第1组的人数为6×=1 第2组的人数为6×=1‎ 第3组的人数为=4 ‎ 设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，‎ 则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能，‎ 所以至少有1人年龄在第3组的概率为1﹣．‎ ‎21. 解：（1）依题意可设椭圆方程为，‎ 则右焦点F（）由题设 解得a2=3故所求椭圆的方程为；‎ ‎（2）设P为弦MN的中点，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0‎ 由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①‎ ‎∴从而 ‎∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，‎ 则即2m=3k2+1②‎ 把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．‎ 故所求m的取范围是（）．‎ ‎22解：（Ⅰ）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为f′（x）=1+2ax+，‎ 由已知条件得，即，解得a=﹣1，b=3；‎ ‎（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx．‎ 令f′（x）=1﹣2x+=0解得x=或x=1．‎ x ‎[1，）‎ ‎（，e]‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 增 ‎ ‎ 减 当x=时，取得最大值 f（）=3ln﹣；‎ 当x=e时，取得最小值 f（e）=e﹣e2+3．‎ ‎（Ⅲ）证明：设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，‎ g′（x）=﹣1﹣2x+，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，‎ 则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．‎ 即有x=1处取得极大值，且为最大值0，‎ 故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．‎