2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题 含部分解析

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题 含部分解析

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题 请注意：时量120分钟 满分100分或120分 特别提示：第？题和第？题为创新班加试试题 ‎（试题、答题卡、答案分做电子版，另所有客观题答案务必做成表格形式放在答案文档的第一行）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．命题“若，则”的逆命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】命题“若，则”的逆命题是“若，则”，所以命题“若，则”的逆命题是若，则，选C.‎ ‎2．抛物线的准线方程是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线中，准线.‎ ‎3．双曲线的渐近线的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的渐近线的方程为，故选C。‎ ‎4．已知向量， ，则“”是“”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时， 可以推出， 当时， 不能推出 所以，“”是“”成立的充分不必要条件. 选A. ‎ ‎5. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，当，则圆锥曲线是椭圆，，离心；‎ 当时则是双曲线，，离心率，故选C.‎ ‎7．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎8．命题：“”，使，命题：“，是成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对恒成立,所以命题p是假命题. 由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q为真命题. 所以B选项错. 选B.‎ ‎9．函数的图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，排除， ，显然在上， ， 函数为递增，排除C,故选D.‎ ‎10．抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 因抛物线的准线是，故，则，由题设若可得，则，即 ‎，所以，应选答案C。‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则，，于是，又，所以，所以， ，因此， ，直线斜率为，‎ 由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．‎ ‎12．若实数满足，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点：利用导数求最值 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）‎ ‎13．若抛物线上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为 ．【答案】10‎ ‎14．已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为 ．【答案】3‎ ‎15． 如图，点分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小是 ．【答案】‎ ‎16．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则 .【答案】‎ ‎三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分8分）已知且。设:函数在区间内单调递减；:曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题 ，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 试题分析：本题考查复合命题真假判定，考查了指数函数的单调性与曲线的交点问题。根据指数函数在区间内单调递减，可得；曲线与轴交于不同的两点，则，求出或。因为“”为真命题，“”为假命题，所以与恰好一真一假，即可求出实数的取值范围。‎ 试题解析：由“函数在区间内单调递减” 可知:，‎ 由“曲线与轴交于不同的两点” 可知:或，‎ 因为“”为真命题，“”为假命题，所以与恰好一真一假，‎ ‎①当真，假时，，即.‎ ‎②当假，真时，，即.‎ 综上可知，的取值范围为：.‎ ‎18．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，.‎ ‎（1）求证：PD⊥平面PAB； ‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）．‎ ‎19．（本小题满分10分）已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】(1)依题意可得，解得，‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ ‎(2)直线的方程为，设、，由可得，‎ 由韦达定理可得，，‎ 则 原点到直线的距离为，于是，‎ ‎∴△的面积为.‎ ‎20．（本小题满分8分）已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎21．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.‎ ‎（1）证明： ； （2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：(1)利用题意首先证明面 然后利用线面垂直的结论可得 .‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值为．‎ 试题解析：⑴证明：取中点，连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ 面 ‎ ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 设面的法向量为 由，令，即 面的一个法向量，设二面角的大小为，则 ‎ ‎22．（本小题满分10分）已知椭圆： 的长轴长为6，且椭圆与圆： 的公共弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于,两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形. 若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ 试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设， 的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．‎ 试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆： ‎ 的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的解析式为，设， 的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则. 由得，故，所以， .因为，所以，即，所以. 当时， ，所以；当时， ，所以.‎ 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.‎