2013-2017高考数学分类汇编-文科 第六章 数列 第3节 数列的综合

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第六章 数列 第3节 数列的综合

第3节 数列的综合 题型76 等差数列与等比数列的综合 ‎1. （2013江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，，其中为实数.‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：.‎ ‎1.分析 （1）利用将表示出来，然后根据成等比数列，得到与的关 系，可验证；（2）先由成等差数列，得到关于的等式，求得的值后 再代入验证.‎ 解析 （1）由，得.‎ 又因为成等比数列，所以，即，化简得因为，所以.因此，对于所有的，有.从而对于所有的，有.‎ ‎（2）设数列的公差是，则，即，代入的表达式，整理得，对于所有的，有 ‎.‎ 令，则对于所有的，有. （*）在（*）式中分别取得 ‎，‎ 从而有 由②③得，代入方程①，得，从而，即 ‎.若，则由，得，与题设矛盾，所以.又因为，所以.‎ ‎2．(2013福建文17）已知等差数列的公差，前项和为. （1）若成等比数列，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎2.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的 不等式求解.‎ 解析（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得.‎ ‎（2）因为数列的公差，且，所以，即，解得.‎ ‎3. (2013天津文19）已知首项为的等比数列的前项和为， 且成等差数列. ‎ ‎（1）求数列的通项公式; ‎ ‎（2）证明. ‎ ‎3.分析 （1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前项 和，根据函数的单调性证明.‎ 解析 （1）设等比数列的公比为.‎ 因为成等差数列，所以即可得于是又因为所以等比数列的通项公式为 ‎（2）‎ 当为奇数时，随的增大而减小，所以 当为偶数时，随的增大而减小，所以 故对于有 ‎4.（2013湖北文19）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．‎ ‎4.分析 首先由成等差数列，且，求得和公比，进而得通 项公式；然后根据等比数列的前项和公式列出关于的不等式，通过解不等式进而做出 判断.‎ 解析 （1）设等比数列的公比为，则.‎ 由题意得即解得 故数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）有.假设存在，使得，则，即.‎ 当为偶数时，，上式不成立；‎ 当为奇数时，，即，即.‎ 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为.‎ ‎5.（2014天津文5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则=（ ）.‎ A. B. C. D . ‎ ‎6.（2014新课标Ⅱ文5）等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2014北京文15）（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎7. 解析 （I）设等差数列的公差为，由题意得.所以.设等比数列的公比为，由题意得，解得.所以.从而.‎ ‎（II）由（I）知.数列的前项和为，数列的前项和为.所以数列的前项和为.‎ 评注 本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基础题.‎ ‎8．（2014湖北文19）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：，且，，成等比数列. ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎9.（2014重庆文16）（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）‎ 已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.‎ ‎（I）求及；‎ ‎（II）设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通 项公式及其前项和.‎ ‎10.（2016北京文15）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列的前项和.‎ ‎10.解析 （1）等比数列的公比，所以，.‎ 设等差数列的公差为.因为，，‎ 所以，即.所以.‎ ‎（2）由（1）知，，.因此.‎ 从而数列的前项和 ‎.‎ ‎11.（2016全国乙文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和.‎ ‎11.解析 （1）由题意令中，即，‎ 解得，故.‎ ‎（2）由（1）得，即，‎ 故是以为首项，为公比的等比数列，即，‎ 所以的前项和为.‎ ‎12.（2016四川文19）已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.‎ ‎（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线的离心率为，且，求.‎ ‎12.解析 （1）由已知，，，‎ 两式相减得到，.‎ 又由，得到，故对所有都成立.‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列.从而.‎ 由，，成等差数列，可得，所以，故.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知，.‎ 所以双曲线的离心率.‎ 由，解得.‎ 所以 ‎13.（2016天津文18）已知是等比数列，前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.‎ ‎13.解析 （1）数列的公比为，由已知有，解得.‎ 又由知，所以，解得，所以.‎ ‎（2）由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，‎ 则.‎ ‎14.（2017天津文18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎14.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，，得，而，所以.又因为，解得，所以.由，可得 ①‎ 由，可得 ②‎ 联立式①②，解得，，由此可得.‎ 所以的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎（2）设数列的前项和为，由，有，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎，得.‎ 所以数列的前项和为.‎ 题型77 数列与函数、不等式的综合 ‎1.（2014四川文19）(本小题满分12分) ‎ 设等差数列的公差为，点在函数的图像上.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.‎ ‎2.（2015陕西文21）设 ‎（1）求.‎ ‎（2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.‎ ‎2.解析 (1)由题设，‎ 所以，‎ 所以，由错位相减法求得：‎ ‎，‎ 所以；‎ ‎(2)因为，，‎ 所以在内至少存在一个零点.‎ 又，所以在内单调递增，‎ 因此，在内有且只有一个零点，由于，‎ 所以，由此可得，‎ 故，所以.‎ ‎3.（2016上海文14）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 .‎ ‎3.解析 由题意或，或，依此类推，‎ 又与具备等价性，因此不妨考虑设，‎ 若，则；若，则.‎ 按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列 因此最大化处理可以出现，所以最大值为.‎ ‎4.（2016上海文22）对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：‎ ‎①，均单调递增；‎ ‎②且，则称与是无穷互补数列.‎ ‎（1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；‎ ‎（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；‎ ‎（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项 公式.‎ ‎4.解析 （1）易知，，‎ 而，，所以，从而与不是无穷互补数列.‎ ‎（2）由题意，因为，所以.‎ 数列的前项的和为.‎ ‎（3）设的公差为，，则.由，得或.‎ 若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾，‎ 因为此时不是无穷数列；若，则，，.‎ 综上所述，，.‎ ‎5.（2016江苏20）记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.假如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设，，，求证：.‎ ‎5. 解析 （1）当时，，因此，‎ 从而，.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）下面分三种情况给予证明.‎ ①若是的子集，则.‎ ②若是的子集，则.‎ ③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，，则，，.‎ 于是，，进而由得.‎ 设为中的最大数，为中的最大数，则，，.‎ 由（2）知，.于是，所以，即.又，故.‎ 从而 ，‎ 故，所以，即.‎ 综合①②③得，.‎ ‎6.（2017浙江22）已知数列满足：，.证明：当时.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎6.解析 （1）用数学归纳法证明：.‎ 当时，，假设时，，‎ 那么时，若，则，矛盾，故. ‎ 因此，所以.‎ 因此.‎ ‎（2）由，得.‎ 记函数.‎ ‎，‎ 知函数在上单调递增，所以，‎ 因此，即. （3）因为，得，以此类推，，所以，故.‎ 由（2）知，，即，‎ 所以，故.‎ 综上，.‎ 题型80 数列的应用题——暂无